微积分（下）

第 7 章 多元函数微分学 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．1

7．1 多元函数的基本概念及其极限 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．1

7．1．1 n 维欧式空间 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．1

7．1．2 多元函数 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．2

7．1．3 多元函数的重极限与连续 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．3

7．1．4 多元函数的累次极限 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．7

习题 7．1 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．8

7．2 偏导数与高阶偏导数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．9

7．2．1 偏导数的定义 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．9

7．2．2 高阶偏导数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．11

习题 7．2 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．14

7．3 全微分 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．14

习题 7．3 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．18

7．4 复合函数求导法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．19

习题 7．4 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．25

7．5 隐函数求导法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．26

习题 7．5 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．30

7．6 偏导数的几何应用 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．31

7．6．1 空间曲线的切线与法平面 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．31

7．6．2 曲面的切平面与法线 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．33

7．6．3 二元函数全微分的几何意义 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．35

习题 7．6 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．35

7．7 多元函数的极值 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．36

7．7．1 多元函数的无条件极值 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．36

7．7．2 条件极值与拉格朗日乘数法 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．42

习题 7．7 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．46

7．8 方向导数与梯度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．46

7．8．1 场的基本概念 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．46

7．8．2 方向导数 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．46

7．8．3 梯度 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．49

习题 7．8 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．51

综合题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．52

第 8 章 多元数量值函数积分学 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．53

8．1 黎曼积分 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．53

8．1．1 二重积分的概念 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．53

8．1．2 黎曼积分的概念 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．54

8．1．3 黎曼积分的分类 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．54

8．1．4 黎曼积分的性质 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．55

习题 8．1 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．57

8．2 二重积分的计算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．58

8．2．1 直角坐标系下二重积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．58

8．2．2 极坐标系下二重积分的计算 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．62

8．2．3 二重积分的对换对称性 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．66

8．2．4 二重积分的变量代换 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．67

习题 8．2 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．70

8．3 三重积分的计算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．72

8．3．1 直角坐标系下三重积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．72

8．3．2 柱坐标系下三重积分的计算 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．75

8．3．3 球坐标系下三重积分的计算 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．77

8．3．4 三重积分一般的变量代换 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．79

习题 8．3 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．81

8．4 第一型曲线积分 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．83

习题 8．4 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．86

8．5 第一型曲面积分的计算 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．87

习题 8．5 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．93

8．6 黎曼积分的应用实例 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．93

8．6．1 物体质心 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．94

8．6．2 转动惯量 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．96

习题 8．6 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．98

8．7 含参变量的积分 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．99

习题 8．7 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．101

综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．101

第 9 章 多元向量值函数积分学 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．104

9．1 向量场 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．104

9．1．1 向量场与向量线 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．104

9．1．2 向径的导数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．105

9．2 第二型曲线积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．106

9．2．1 第二型曲线积分的定义 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．106

9．2．2 第二型曲线积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．108

9．2．3 两种类型曲线积分的关系 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．111

习题 9．2 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．112

9．3 格林公式及平面流速场的环量与旋度 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????．113

9．3．1 格林公式 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．113

9．3．2 平面流速场的环量与旋度 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．117

习题 9．3 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．117

9．4 平面曲线积分与路径无关的条件及保守场 ??????????????????????????????????????????????????????????????．118

9．4．1 平面曲线积分与路径无关的条件 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????．118

9．4．2 保守场、原函数、全微分方程 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．123

习题 9．4 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．126

9．5 第二型曲面积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．127

9．5．1 第二型曲面积分的定义 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．127

9．5．2 第二型曲面积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．130

习题 9．5 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．135

9．6 高斯公式、通量与散度 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．136

9．6．1 高斯公式 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．136

9．6．2 向量场的通量与散度 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．139

9．6．3 第二型曲面积分的三个等价条件 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????．140

习题 9．6 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．142

9．7 斯托克斯公式、环量与旋度 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．144

9．7．1 斯托克斯公式 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．144

9．7．2 向量场的环量与旋度 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．146

习题 9．7 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．150

9．8 外微分形式 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．151

9．8．1 外积和外微分形式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．151

9．8．2 外微分运算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．151

9．8．3 梯度、旋度与散度的数学意义 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．152

9．8．4 多变量微积分的基本定理（一般的斯托克斯公式） ????????????????????????????????????????????????．154

综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．154

第 10 章 无穷级数 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．156

10．1 数项级数的敛散性 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．156

10．1．1 敛散性的概念 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．156

10．1．2 数项级数的几个基本性质 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．158

10．1．3 柯西收敛原理 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．160

习题 10．1 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．161

10．2 正项级数的敛散性及其判别法 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．162

习题 10．2 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．172

10．3 任意项级数的敛散性及其判别法 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????．174

习题 10．3 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．181

10．4 函数项级数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．182

10．4．1 函数项级数的收敛域与和函数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．182

10．4．2 函数项级数的一致收敛性 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．183

习题 10．4 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．189

10．5 幂级数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．189

10．5．1 幂级数的收敛半径和收敛域 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．190

10．5．2 幂级数的运算 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．194

习题 10．5 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．196

10．6 函数的幂级数展开 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．197

10．6．1 泰勒级数及直接展开法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．197

10．6．2 间接展开法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．201

10．6．3 幂级数和函数 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．204

习题 10．6 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．206

10．7 幂级数的应用举例 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．208

10．7．1 函数值的近似计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．208

10．7．2 在积分计算中的应用 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．209

10．7．3 方程的幂级数解法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．210

习题 10．7 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．212

10．8 傅里叶级数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．213

10．8．1 三角函数系的正交性 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．213

10．8．2 傅里叶级数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．214

10．8．3 正弦级数和余弦级数 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．216

10．8．4 以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????．217

10．8．5 有限区间上的函数的傅里叶展开 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????．219

习题 10．8 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．220

综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．222