方程二章就没有他们的注释。九章算术所有与圆面积有关的问题，都取圆周率三计算，刘徽注以为应取五十分之一百五十七，李淳风等补注认为可以用七分之二十二计算，这是对的。但七分之二十二是祖冲之的所谓「约率」，而李淳风等引用此率，称它为「密率」。后世人误认七分之二十二为「密率」的很多，这是李注的谬种流传。少广章开立圆术，李淳风等注释引祖之说，介绍球体积公式的理论基础。缀术书失传后，祖冲之父子对于球体积的研究，幸有李淳风等的征引而得流传到现在。 刘、李注本九章算术到北宋仁宗时有贾宪所撰的细草，原书早已失传，但永乐大典中保存杨辉所引的贾宪开方法是非常宝贵的数学史料。南宋末有杨辉详解九章算法十二卷（一二六一），现在仅存商功、均输、盈不足、方程、句股五章和「九章算法纂类」。杨辉钞录的九章算术本文和刘、李二家注文有很多脱误，但也有可据以对校永乐大典本的文字。清嘉庆初年李潢撰九章算术细草图说九卷，有校勘、有补图、有详草、有说明，发挥九章算术刘徽注的原意，对于读者是大有裨益的。 版本与校勘 刘、李注本九章算术在宋代有北宋元丰七年（公元一０八四年）秘书省刻本和南宋嘉定年鲍澣之刻本。明代永乐大典依据九章名义分类抄录，到清朝初年并未散佚。明代留心古典数学的人很少，九章算术非但没有新的刻本，连宋代遗留下来的旧书也渐次散佚。清初南京黄虞稷家中有南宋刻本九章算术，仅存方田、粟米、衰分、少广、商功五章。一六七八年梅文鼎到南京应乡试时曾到黄家翻阅过。这个残本九章算术于乾隆中为曲阜孔继涵所得，嘉庆中为阳城张敦仁所得，今存上海图书馆。常熟毛扆于一六八四年向黄家借钞得一影宋钞本。这个影宋的残本九章算术于乾隆中转入清宫，作为天禄琳琅阁藏书，今存故宫博物院。一九三二年故宫博物院把它影印为天禄琳琅丛书的一种。 乾隆三十八年（一七七三）开四库全书馆，婺源戴震充四库全书纂修及分校官。次年，戴震从永乐大典中抄集九章算术九卷，并且做了一番校勘工作。四库全书本和武英殿聚珍版本九章算术都有戴震的校订文字和补图。商务印书馆刊行的丛书集成本是依据武英殿本排印的。 戴震的儿女亲家孔继涵刻微波榭本算经十书，其中九章算术九卷采用戴震的校定本。戴震校正的文字，颠扑不破的果然不少，但也有些地方，他师心自用，把原本不错的文字改掉，后来的读者很容易被他蒙蔽而引起误会。所以作为一个善本书看，微波榭本的参考价值是远不如武英殿本的。微波榭本九章算术卷九的最后一页上题称「大清乾隆三十八年癸巳秋阙里孔氏依汲古阁影宋刻本重雕」，书的底本和刻书年代都有问题，显然是不足征信的。此后依据微波榭本翻刻的九章算术有常熟屈曾发的重刻本、南昌梅启照的算经十书本和商务印书馆的万有文库本、四部丛刊本等等。 嘉庆年锺祥李潢撰九章算术细草图说，用微波榭本作底本，校正了很多错误文字。戴震所谓「舛误不可通」而无法校订的文句，经过李潢校订后，一般都能文从字顺容易理解了。但碰到戴震误改原文的地方，他就没有能够纠正过来。方程章最后一题的刘徽注中，叙述了两个「新术」的演算程序，文字冗长，数字繁琐，旧刻本的讹文夺字很多，不容易整理。李潢的友人戴敦元和李锐各代为校正一术。李潢就照录他们的校定稿作为细草图说的一部分。又，均输章第八题答数、术文和李淳风等的注文俱有讹字，李潢未能订正，沈钦裴于李潢死后算校编辑付刻时代为校正。 为了要恢复唐代立于学官的刘、李注本九章算术，我根据天禄琳琅丛书本和宜稼堂本杨辉详解九章算法所引，重加校订，写出了校勘记四百六十余条。戴震、李潢二家所校定的文字认为是正确的，于校勘记中声明他们的开辟草莱的功绩。也有各本俱误而各家漏校或误校的文字，只能凭个人意见，擅自校改，但在校勘记中保留各本原有的异文衍字。商功章阳马术和句股章容圆术的刘徽注中各有意义难于理解而不能句读的文字，无法校订，只能付之缺疑。 刘徽九章算术注原序 昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术以合六爻之变。暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数，其详未之闻也。按周公制礼而有九数，九数之流，则九章是矣。 往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。 徽幼习九章，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。且算在六艺，古者以宾兴贤能，教习国子。虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方。至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。 周官大司徒职，夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，谓之地中。说云，南戴日下万五千里。夫云尔者，以术推之。按九章立四表望远及因木望山之术，皆端旁互见，无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差，句股则必以重差为率，故曰重差也。立两表于洛阳之城，令高八尺。南北各尽平地，同日度其正中之景。以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即日去人也。以径寸之筩南望日，日满筩空，则定筩之长短以为股率，以筩径为句率，日去人之数为大股，大股之句即日径也。虽天圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物，考论厥数，载之于志，以阐世术之美。辄造重差，并为注解，以究古人之意，缀于句股之下。度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入。博物君子，详而览焉。 九章算术卷第一 方田 〔一〕今有田广十五步，从十六步。问为田几何？ 荅曰：一亩。 〔二〕又有田广十二步，从十四步。问为田几何？ 荅曰：一百六十八步。 方田术曰：广从步数相乘得积步。 以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。 〔三〕今有田广一里，从一里。问为田几何？ 荅曰：三顷七十五亩。 〔四〕又有田广二里，从三里。问为田几何？ 荅曰：二十二顷五十亩。 里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。 〔五〕今有十八分之十二。问约之得几何？ 荅曰：三分之二。 〔六〕又有九十一分之四十九。问约之得几何？ 荅曰：十三分之七。 约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。 〔七〕今有三分之一，五分之二。问合之得几何？ 荅曰：十五分之十一。 〔八〕又有三分之二，七分之四，九分之五。问合之得几何？ 荅曰：得一、六十三分之五十。 〔九〕又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问合之得几何？ 荅曰：得二、六十分之四十三。 合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。 〔一０〕今有九分之八，减其五分之一。问余几何？ 荅曰：四十五分之三十一。 〔一一〕又有四分之三，减其三分之一。问余几何？ 荅曰：十二分之五。 减分术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一。 〔一二〕今有八分之五，二十五分之十六。问孰多？多几何？ 荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。 〔一三〕又有九分之八，七分之六。问孰多？多几何？ 荅曰：九分之八多，多六十三分之二。 〔一四〕又有二十一分之八，五十分之十七。问孰多？多几何？ 荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。 课分术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一，即相多也。 〔一五〕今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？ 荅曰：减四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平于十二分之七。 〔一六〕又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？ 荅曰：减三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。 平分术曰：母互乘子，副并为平实，母相乘为法。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法，以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少，以法命平实，各得其平。 〔一七〕今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？ 荅曰：人得一钱、二十一分钱之四。 〔一八〕又有三人，三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问人得几何？ 荅曰：人得二钱、八分钱之一。 经分术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。 〔一九〕今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？ 荅曰：三十五分步之十二。 〔二０〕又有田广九分步之七，从十一分步之九。问为田几何？ 荅曰：十一分步之七。 〔二一〕又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？ 荅曰：九分步之四。 乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。 〔二二〕今有田广三步、三分步之一，从五步、五分步之二。问为田几何？ 荅曰：十八步。 〔二三〕又有田广七步、四分步之三，从十五步、九分步之五。问为田几何？ 荅曰：一百二十步、九分步之五。 〔二四〕又有田广十八步、七分步之五，从二十三步、十一分步之六。问为田几何？ 荅曰：一亩二百步、十一分步之七。 大广田术曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法。实如法而一。 〔二五〕今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？ 荅曰：一百二十六步。 〔二六〕又有圭田广五步、二分步之一，从八步、三分步之二。问为田几何？ 荅曰：二十三步、六分步之五。 术曰：半广以乘正从。 〔二七〕今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？ 荅曰：九亩一百四十四步。 〔二八〕又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？ 荅曰：二十三亩七十步。 术曰：并两邪而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并，亩法而一。 〔二九〕今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步。问为田几何？ 荅曰：一亩一百三十五步。 〔三０〕又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问为田几何？ 荅曰：四十六亩二百三十二步半。 术曰：并踵舌而半之，以乘正从。亩法而一。 〔三一〕今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？ 荅曰：七十五步。 〔三二〕又有圆田，周一百八十一步，径六十步、三分步之一。问为田几何？ 荅曰：十一亩九十步、十二分步之一。 术曰：半周半径相乘得积步。 又术曰：周径相乘，四而一。 又术曰：径自相乘，三之，四而一。 又术曰：周自相乘，十二而一。 〔三三〕今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？ 荅曰：一百二十步。 〔三四〕又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？ 荅曰：五亩六十二步、四分步之一。 术曰：以径乘周，四而一。 〔三五〕今有弧田，弦三十步，矢十五步。问为田几何？ 荅曰：一亩九十七步半。 〔三六〕又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。问为田几何？ 荅曰：二亩一百五十五步、八十一分步之五十六。 术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。 〔三七〕今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？ 荅曰：二亩五十五步。 〔三八〕又有环田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，径十二步、三分步之二。问为田几何？ 荅曰：四亩一百五十六步、四分步之一。 术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。 密率术曰：置中外周步数，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，内分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以
【打 印】 【来源：读书之家-dushuzhijia.com】
