人数、物价各几何？ 荅曰：七人， 物价五十三。 〔二〕今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？ 荅曰：九人， 鸡价七十。 〔三〕今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三。问人数、琎价各几何？ 荅曰：四十二人， 琎价十七。 〔四〕今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十。问家数、牛价各几何？ 荅曰：一百二十六家， 牛价三千七百五十。 盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以为实。并盈、不足为法。实如法而一。有分者，通之。盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数。 其一术曰：并盈不足为实。以所出率以少减多，余为法。实如法得一人。以所出率乘之，减盈、增不足即物价。 〔五〕今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？ 荅曰：三十三人。 金价九千八百。 〔六〕今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几何？ 荅曰：二十一人， 羊价一百五十。 两盈、两不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，以少减多，余为实。两盈、两不足以少减多，余为法。实如法而一。有分者通之。两盈、两不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法实，实为物价，法为人数。 其一术曰：置所出率，以少减多，余为法。两盈、两不足，以少减多，余为实。实如法而一得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。 〔七〕今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？ 荅曰：一十人， 豕价九百。 〔八〕今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足。问人数、犬价各几何？ 荅曰：二人， 犬价一百。 盈、适足，不足、适足术曰：以盈及不足之数为实。置所出率，以少减多，余为法。实如法得一人。其求物价者，以适足乘人数得物价。 〔九〕今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得米七斗。问故米几何？ 荅曰：二斗五升。 术曰：以盈不足术求之，假令故米二斗，不足二升。令之三斗，有余二升。 〔一０〕今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸。瓠生其下，蔓日长一尺。问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？ 荅曰：五日、十七分日之五。 瓜长三尺七寸、十七分寸之一， 瓠长五尺二寸、十七分寸之十六。 术曰：假令五日，不足五寸。令之六日，有余一尺二寸。 〔一一〕今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？ 荅曰：二日、十三分日之六。 各长四尺八寸、十三分寸之六。 术曰：假令二日，不足一尺五寸。令之三日，有余一尺七寸半。 〔一二〕今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问几何日相逢？各穿几何？ 荅曰：二日、十七分日之二。 大鼠穿三尺四寸、十七分寸之十二， 小鼠穿一尺五寸、十七分寸之五。 术曰：假令二日，不足五寸。令之三日，有余三尺七寸半。 〔一三〕今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十。今将钱三十，得酒二斗。问醇、行酒各得几何？ 荅曰：醇酒二升半， 行酒一斗七升半。 术曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十。令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二。 〔一四〕今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛。问大、小器各容几何？ 荅曰：大器容二十四分斛之十三， 小器容二十四分斛之七。 术曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗。令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗。 〔一五〕今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆。问出漆、得油、和漆各几何？ 荅曰：出漆一斗一升、四分升之一， 得油一斗五升， 和漆一斗八升，四分升之三。 术曰：假令出漆九升，不足六升。令之出漆一斗二升，有余二升。 〔一六〕今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤。问玉、石重各几何？ 荅曰：玉一十四寸，重六斤二两。 石一十三寸，重四斤十四两。 术曰：假令皆玉，多十三两。令之皆石，不足十四两。不足为玉，多为石。各以一寸之重乘之，得玉石之积重。 〔一七〕今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百。今并买一顷，价钱一万。问善、恶田各几何？ 荅曰：善田一十二亩半， 恶田八十七亩半。 术曰：假令善田二十亩，恶田八十亩，多一千七百一十四钱、七分钱之二。令之善田一十亩，恶田九十亩，不足五百七十一钱、七分钱之三。 〔一八〕今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等。交易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？ 荅曰：金重二斤三两一十八铢， 银重一斤十三两六铢。 术曰：假令黄金三斤，白银二斤、一十一分斤之五，不足四十九，于右行。令之黄金二斤，白银一斤、一十一分斤之七，多一十五于左行。以分母各乘其行内之数，以盈不足维乘所出率，并以为实。并盈不足为法。实如法，得黄金重。分母乘法以除，得银重。约之得分也。 〔一九〕今有良马与驽马发长安至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增十三里。驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问几何日相逢及各行几何？ 荅曰：一十五日、一百九十一分日之一百三十五而相逢。 良马行四千五百三十四里、一百九十一分里之四十六。 驽马行一千四百六十五里、一百九十一分里之一百四十五。 术曰：假令十五日，不足三百三十七里半。令之十六日，多一百四十里。以盈、不足维乘假令之数，并而为实。并盈不足为法。实如法而一，得日数。不尽者，以等数除之而命分。 〔二０〕今有人持钱之蜀，贾利十三。初返归一万四千，次返归一万三千，次返归一万二千，次返归一万一千，后返归一万。凡五返归钱，本利俱尽。问本持钱及利各几何？ 荅曰：本三万四百六十八钱、三十七万一千二百九十三分钱之八万四千八百七十六。利二万九千五百三十一钱、三十七万一千二百九十三分钱之二十八万六千四百一十七。 术曰：假令本钱三万，不足一千七百三十八钱半。令之四万，多三万五千三百九十钱八分。 九章算术卷第八 方程 〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？ 荅曰： 上禾一秉，九斗、四分斗之一， 中禾一秉，四斗、四分斗之一， 下禾一秉，二斗、四分斗之三。 方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。 〔二〕今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗。下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何？ 荅曰： 上禾一秉实一斗、五十二分斗之一十八， 下禾一秉实五十二分斗之四十一。 术曰：如方程。损之曰益，益之曰损。损实一斗者，其实过一十斗也。益实一斗者，其实不满一十斗也。 〔三〕今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？ 荅曰： 上禾一秉实二十五分斗之九， 中禾一秉实二十五分斗之七， 下禾一秉实二十五分斗之四。 术曰：如方程，各置所取，以正负术入之。 正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。 〔四〕今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉。上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？ 荅曰： 上禾一秉五升， 下禾一秉二升。 术曰：如方程，置上禾五秉正，下禾七秉负，损实一斗一升正。次置上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正。以正负术入之。 〔五〕今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉。下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？ 荅曰： 上禾一秉实八升， 下禾一秉实三升。 术曰：如方程，置上禾六秉正，下禾一十秉负，损实一斗八升正。次置上禾五秉负，下禾一十五秉正，损实五升正。以正负术人之。 〔六〕今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉。下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉。问上、下禾实一秉各几何？ 荅曰： 上禾一秉实八斗， 下禾一秉实三斗。 术曰：如方程，置上禾三秉正，下禾一十秉负，益实六斗负。次置上禾二秉负，下禾五秉正，益实一斗负。以正负术入之。 〔七〕今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五直金八两。问牛羊各直金几何？ 荅曰： 牛一，直金一两、二十一分两之一十三， 羊一，直金二十一分两之二十。 术曰：如方程。 〔八〕今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千。卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足。卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？ 荅曰： 牛价一千二百， 羊价五百， 豕价三百。 术曰：如方程，置牛二、羊五正，豕一十三负，余钱数正；次牛三正，羊九负，豕三正；次牛五负，羊六正，豕八正，不足钱负。以正负术入之。 〔九〕今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡适平。并燕、雀重一斤。问燕、雀一枚各重几何？ 荅曰： 雀重一两、一十九分两之十三， 燕重一两、一十九分两之五。 术曰：如方程，交易质之，各重八两。 〔一０〕今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问甲、乙持钱各几何？ 荅曰： 甲持三十七钱半， 乙持二十五钱。 术曰：如方程，损益之。 〔一一〕今有二马、一牛价过一万，如半马之价。一马、二牛价不满一万，如半牛之价。问牛、马价各几何？ 荅曰： 马价五千四百五十四钱、一十一分钱之六， 牛价一千八百一十八钱、一十一分钱之二。 术曰：如方程，损益之。 〔一二〕今有武马一匹，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至阪，皆不能上。武马借中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，乃皆上。问武、中、下马一匹各力引几何？ 荅曰： 武马一匹力引二十二石、七分石之六， 中马一匹力引十七石、七分石之一， 下马一匹力引五石、七分石之五。 术曰：如方程各置所借，以正负术入之。 〔一三〕今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？ 荅曰：井深七丈二尺一寸。 甲绠长二丈六尺五寸， 乙绠长一丈九尺一寸， 丙绠长一丈四尺八寸， 丁绠长一丈二尺九寸， 戊绠长七尺六寸。 术曰：如方程，以正负术入之。 〔一四〕今有白禾二步、青禾三步、黄禾四步、黑禾五步，实各不满斗。白取青、黄，青取黄、黑，黄取黑、白，黑取白、青，各一步，而实满斗。问白、青、黄、黑禾实一步各几何？ 荅曰： 白禾一步实一百一十一分斗之三十三， 青禾一步实一百一十一分斗之二十八， 黄禾一步实一百一十一分斗之一十七， 黑禾一步实一百一十一分斗之一十。 术曰：如方程，各置所取，以正负术入之。 〔一五〕今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉，重皆过于石。甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一。问甲、乙、丙禾一秉各重几何？ 荅曰： 甲禾一秉重二十三分石之十七， 乙禾一秉重二十三分石之十一， 丙禾一秉重二十三分石之十。 术曰：如方程，置重过于石之物为负。以正负术入之。 〔一六〕今有令一人、吏五人、从者一十人，食鸡一十；令一十人、吏一人、从者五人，食鸡八；令五人、吏一十人、从者一人，食鸡六。问令、吏、从者食鸡各几何？ 荅曰： 令一人食一百二十二分鸡之四十五， 吏一人食一百二十二分鸡之四十一， 从者一人食一百二十二分鸡之九十七。 术曰：如方程，以正负术入之。 〔一七〕今有五羊、四犬
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