为起数之宗固推步善法矣 【周天者数从所起而先有畸零故析之而为半周天为象限为十二宫为二十四象七十二候莫不先有畸零
而日行之盈缩不与焉故推步稍难今以周天为整数而但求盈缩是以整御零为法倍易】 且所谓度生于日者经度耳而术家所难尤在纬
度今以三百六十命度则经纬通为一法故黄赤虽有正斜而度分可以互求七曜之天虽有内外大小而比例可以相较以其为三百六十者
同也半之则一百八十四分之则九十而八线之法缘之以生故以制测器则度数易分以测七曜则度分易得以算三角则理法易明亦取其
适于用而已矣 【三百六十立算实本回回至欧罗巴乃发明之耳】 况七曜之顺逆诸行进退损益全在小轮为推步之要眇然而小轮之
与大轮比例悬殊若镒与铢而累黍不失者以其度皆三百六十也以至太阴之会望转交五星之岁轮无一不以三百六十为法而地球亦然
故以日躔纪度但可施于黄道之经而整度之用该括万殊斜侧纵横周通环应可谓执简御棼法之最善者矣
（臣）等又按天为浑圆赤道黄地道平三者各有经纬度赤道匀分三百六十度平分之为半周各一百八十度四分之为象限各九十
度六分之为纪限各六十度十二分之为宫为时各三十度是为赤经从经度出弧线与赤道十字相交各引长之会于南北极皆成全圜亦分
为三百六十度两极相距各一百八十度两极距赤道各九十度是为赤纬依纬度作圈与赤道平行名距等圈此圈大小不一距赤道近则大
距赤道远则小其度亦三百六十与赤道之度相应赤道之用有动有静动者随天左旋与黄道相交日躔之南北于是乎限静者太虚之位亘
古不移昼夜之时刻于是乎纪此赤道之经纬也黄道之宫度并如赤道其与赤道相交之两点为春秋分相距皆半周平分两交之中为冬夏
至距两交各一象限六分象限为节气各十五度是为黄经从经度出弧线与黄道十字相交各引长之周于天体即成全圜其各圜相凑之处
不在赤道之南北两极而别有其枢心是为黄极黄极之距赤极即两道相距之度其距黄道亦皆九十度是为黄纬而月与五星出入黄道之
南北者于是乎辨此黄道之经纬也凡南北圈过赤道极者必与赤道成直角而不能与黄道成直角其过黄道极者亦必与黄道成直角而不
能与赤道成直角惟过黄赤两极之圈其过黄赤道也必当冬夏二至之度所以并成直角为极至交圈以赤道度为主而以黄道度准之则互
形大小者浑圆之体当腰之度最宽所谓腰围大圈也渐近两端则渐狭所谓距等圈也二至时黄道以腰度当赤道距等圈之度故黄道一度
当赤道一度有余二分时两道虽皆腰度然赤道平而黄道斜故黄道一度当赤道一度不足也此所谓同升之差而七政升降之斜正伏见之
先后皆由是而推焉至于地平经纬则以各人所居之天顶为极盖人所居之地不同故天顶各异而经纬从而变也地在天中体圆而小随人
所立凡目力所极适得大圆之一半则地虽圆而与平体无异故谓之地平乃诸曜出没之界昼夜晦明之交也地平亦分三百六十度四分之
为四方各相距九十度二十四分之为二十四向各十五度是为地平经从经度出弧线上会于天顶并皆九十度是为地平纬亦曰高弧高弧
从地平正午上会天顶者其全圜必过赤道南北两极名为子午圈乃诸曜出入地平适中之界而北极之高下晷景之长短中星之推移皆由
是而测焉此地平之经纬也以上度法及赤道黄地道平经纬度
△岁实
书云期三百有六旬有六日以闰月定四时成岁此历家岁实之法所由昉也前代诸术所定不一周髀算经以三百六十五日为经岁余
四分日之一故四年而闰一日太初术阏逢摄提格太初元年大余五十四索隐曰一岁十二月六大六小合三百五十四日以六除之五六三
十余三百日余五十四日故下云大余者日也其岁余之数亦四分之一故下文命天度曰小余八盖以三十二为度法三统四分皆因其数自
灵帝时会稽东部尉刘洪始减岁余后世因之代有损益其测验之法率以前岁冬至距今岁冬至计其小余时刻并入大余以为岁实至于授
时术考验尤详郭守敬改法自言创造简仪高表凭所测实数考正者七事一曰冬至二曰岁余其求冬至也自丙子年立冬后依每日测到晷
景逐日取对冬至前后日差同者为准得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻己卯冬至在戊申
日夜半后五十七刻庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻辛巳冬至在己未日夜半后六刻其求岁余也自刘宋大明以来测景验气得冬至
时刻真数者有六用以相距各得其时合用岁余考验四年相符不差仍自宋大明壬寅年距至今八百一十九年每岁合得三百六十五日二
十四刻二十五分减大明术一十一秒其二十五分为今历合周之数 【按金赵知微重修大明历小余二十四分三十六秒实多授时一十
一秒郭所减者赵术非祖冲之原数也】 其上考下求又有消长之法其法自至元十八年辛巳元顺推至一百年则岁实当消一分如逆推至
一百年则岁实当长一分每相距增一百年则岁实各消长一分以是为上考下求之本洪武十七年元统作大统术诸数悉仍授时而去其岁
实消长之说以洪武十七年甲子为元监副李德芳言统不用消长之法以考鲁献公十五年戊寅岁天正冬至比辛巳为元差四日半强今当
复用辛巳为元及消长之法万历中郑世子载堉进历书议岁余曰阴阳消长之理以渐而积未有不从秒起授时考古于百年之际顿加一分
于理未安假如鲁隐公三年辛酉岁下距至元辛巳二千年以授时本法算之于岁实当加二十分得庚午日六刻为其年天正冬至至次年壬
戌岁下距至元辛巳一千九百九十九年本法当加十九分得乙亥日五十刻四十四分为其年天正冬至两冬至相减得相距三百六十五日
四十四刻四十四分则是岁余九分日之四非四分日之一也历法之谬莫甚于此新法酌量设若每年增损二秒推而上之则失昭公己丑增
损一秒至一秒半则失僖公辛亥今约取中数以定距自相乘七因八归所得百约之为分得一秒七十五忽则辛亥己丑皆得矣其后徐光启
修历法着学历小辩曰岁实小余自汉迄元渐次消减今新法定用岁实更减于元不知者必谓不惟先天更先大统乃以推壬申冬至大统得
己亥寅正一刻而新法得辰初一刻十八分何也盖正岁年与步月离相似冬至无定率与定朔定望无定率一也朔望无定率宜以平朔望加
减之冬至无定率宜以平年加减之故新法之平冬至虽在大统前而定冬至恒在大统后也
（臣）等谨按天行盈缩无骤增骤减之理郭氏百年消长之法郑世子谓其于理未安是也宋寍宗时杨忠辅造统天历所定岁实与授
时同以斗分差乘距差为躔差暗藏加减之法约百年加减一分零六秒弱郭氏盖本统天术而为之者然杨忠辅术逐年分算而郭术则以距
算总乘其数骤变较之杨术尤为不伦且消长分数必当时测定之岁实数已真确知其无可加减而后可据以为消长之根若授时则所测岁
余尚非真数也一岁小余二十四刻二十五分积之四岁正得九十七刻丁丑年冬至既在戊戌日夜半后八刻半则辛巳年冬至宜在己未夜
半后五刻半不应有六刻如以辛巳之六刻为确则丁丑年宜在九刻不应祗八刻半此四年既皆实测所得则已多半刻矣而云相符不差何
也又考大明五年辛丑祖冲之所测景长冬至在乙酉日夜半三十二刻七分自大明壬寅 【辛丑年之十一月冬至实即壬寅岁前天正冬
至也】 下距至元辛巳八百一十九年以授时岁实积之凡二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分以辛巳天正冬至己未日子正后
六刻逆计之则当时冬至在乙酉日子正后五十四刻较祖氏所记后天愈多矣既不能与当时所测算者密合乃为百年长一之法以合之则
此年冬至又在甲申日七十九刻太不又失之先天乎而云自大明壬寅距今每岁合得此数何也徐光启以定朔定望拟定冬至其论最确而
其消长所以然之故则引而未发盖太阳因有高卑而生盈缩春分当平行之处则所得岁实为恒率得其恒乃可以求其定犹月之有平朔平
望而后可求定朔定望也李天经历法条议曰以圭表测冬夏二至非法之善盖二至前后太阳南北之行度甚微计一丈之表其一日之景差
不过一分三十秒则一秒得六刻有奇若测差二三秒即差几二十刻安所得准乎今法独用春秋二分盖以此时太阳一日南北行二十四分
一日之景差一寸二分即测差一二秒不满一刻较二至为最密西法以春分为岁首其岁余由累测春分得之既以每年春分测得岁实之平
率又随其时之高冲及本轮均输加减之即定数可得不必言消长矣盖冬至近高冲则两岁冬至之距必多于平率夏至近最高则两岁夏至
之距必少于平率又古时太阳本轮均轮半径之差大于今日则加减均数亦大而冬至岁实当更增至元辛巳高冲约与冬至同度则岁实尤
大也以上岁实
△日躔盈缩
唐书志日躔盈缩略例曰北齐张子信积候合蚀加时觉日行有入气差然损益未得其正至刘焯立盈缩躔衰术与四象升降麟德术因
之凡阴阳往来皆驯积而变日南至其行最急急而渐损至春分及中而后迟迨日北至其行最舒而渐益之以至秋分又及中而后益急急极
而寒若舒极而燠若及中而雨旸之气交自然之数也元授时术冬至日行一度强出赤道二十四度弱自此日轨渐北积八十八日九十一分
当春分前三日交在赤道实行九十一度三十一分而适平自后其盈日损复行九十三日七十一分当夏至之日入赤道内二十四度弱实行
九十一度三十一分日行一度弱向之盈分尽损而无余自此日轨渐南积九十三日七十一分当秋分后三日交在赤道实行九十一度三十
一分而复平自后其缩日损行八十八日九十一分出赤道外二十四度弱实行九十一度三十一分复当冬至向之缩分尽损而无余盈缩均
有损益初为益末为损自冬至以及春分春分以及夏至日躔自北陆转而西西而南于盈为益益极而损损至无余而缩自夏至以及秋分秋
分以及冬至日躔自南陆转而东东而北于缩为益益极而损损至于无余而复盈盈初缩末俱八十八日九十一分而行一象缩初盈末俱九
十三日七十一分而行一象盈缩极差皆二度四十分由实测晷景而得仍以算术推考与所测允合明大统术因之万历末西法论太阳盈缩
主本天高卑之法其说谓太阳在本天终古平行人由黄道测其行度遂生盈缩盖黄道以地为心太阳本天不以地为心于是有两心之差而
高卑判矣夏至前后在本天之高半故去黄道近而离地远远则见其本天之度小而人以黄道视之迟于平行矣是则行度之所以有缩也冬
至前后在本天之低半故云黄道远而离地近近则见其本天之度大而人以黄道视之速于平行矣是则行度之所以有盈也又有本轮之法
谓太阳本天与地同心而本天之周别有本轮以居太阳其在本轮上半顺动天西行去地远为高故右移之度减于平行为减在本轮下半逆
动天而东去地近为卑故右移速于平行为加在本轮之左右去地不远不近为高卑适中谓之中距其行与平行等此即不同心之法而小变
之盖本轮全径即两心差也至盈缩起算古法定于二至西法则谓太阳本天距地极远之点谓之最高距地极近之点谓之最卑亦曰高冲此
二点为盈缩之界每年行一分余
（臣）等谨按古历太阳之行有各恒气十五日奇之总率而无每日细数太阴之行但有每一日之总率而无一日内分十二限之总率
有之皆自授时始皆以平立定三差得之其法以盈缩日数分为六段各以段日除其段之积度得数相减为一差一差又相减为二差则其数
齐同乃缘此以生定差及平差立差定差者盈缩初日最大之差也于是以平差立差减之则为每日之定差矣其分为六段者一年二十四定
气分四象限各有六气故也李天经历法条议云七曜加减分用平立定之差法尚不足盖加减平行以求自行乃历家要务第天实圆体与平
行异类旧所用三差法俱从句股平行定者于天体未合即盈缩损益之数未得其真今新法加减诸表乃以圆齐圆始可合天今考西法所用
以测天者有平三角弧三角诸法皆以划圆八线为主而割圆八线之法正弦余弦半径相对成反正二句股形于圆内半径正割与半径余切
余割成大小二句股形于圆外且锐角分两句股钝角补成句股皆不能外句股之法第变而用角度则有八线即可得其正弧余弧视古之用
弧矢法求弧背者为精密矣若弧三角形正弧则以黄赤及地平经纬为十比例斜弧则用边角比例及垂弧总较三法然亦不外乎同式句股
形也
（臣）等又按西术以最高最卑二点为太阳盈缩起算之端二点每年自有行分其高卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半
乃于本轮之周设一均轮以消息之
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