之因两景各与本表等故欲知目前日景所至在丙耶在丁丙乙丙之内耶又有一法如日轮离地平四十五度即景当在丙日在四十五度以上即景在丁丙之内日在四十五度以下即景在乙丙之内
论曰戊甲巳巳甲乙乙甲丁丁甲戊既四皆直角即等而对直角之各圜界亦等【三卷廿六】是每分为四分圜之一也而戊巳亦四分圜之一也又甲丙对角线分乙甲丁角为两平分【一卷三十四注】即丁甲丙丙甲乙两角等戊甲寅寅甲巳两交角亦等【一卷十五】而戊寅寅巳两圜界亦等夫戊巳圜界既九十度即戊寅必四十五度则日在寅景必在丙日在寅之下倒景必在乙丙之内日在寅之上直景必在丁丙之内【凡云某卷某题者皆引几何原本为证下同】
今从上论解二景之转合于矩度者如日轮髙四十五度而其光过甲乙即矩度上权线在丙日在四十
五度以上即权线在乙丙邉
之内日在四十五度以下即
权线在丁丙邉之内故矩度
上之乙丙邉为直景而丁丙
为倒景
论曰前圜之甲戊巳分圜形既四分之一试两平分之于庚即日在庚为四十五度在辛为四十五度以上在壬为四十五度以下设于辛庚壬各出日光下射为辛甲乙庚甲乙壬甲乙三景线同过甲心而以矩度承之其甲为地心而甲乙邉与日景相直次以巳甲线引长之至地心下为丙而甲丙为矩度之权线夫戊庚庚巳圜界既等即戊甲庚庚甲巳两角亦等【三卷廿七】戊甲巳既直角即戊甲庚庚甲巳皆半直角【一卷十五】而矩度上之乙甲丙角在庚甲乙景线及甲丙权线内者亦半直角凡直角方形之对角线必分两直角为两平分即甲丙为依庚甲乙景线之甲乙丙丁直角方形之对角线【一卷三十四注】则日在庚为四十五度权线必在丙又巳甲辛角小于巳甲庚半直角即辛甲乙景线及甲丙权线内之乙甲癸交角亦小于半直角【一卷十五】凡直角方形之对角线必分两直角为两平分【一卷三十四注】则于依辛甲乙景线之甲乙丙丁直角方形上若作一甲丙对角线其权线必不至丙必在乙丙之内而分乙丙边于癸是日在四十五度之
上其权线必在乙丙邉之内
也又巳甲壬角大于巳甲庚半
直角即壬甲乙景线及甲丙权
线内之乙甲癸交角亦大于半
直角【一卷十五】凡直角方形之对角
线必分两直角为两平分【一卷三十四注】则于依壬甲乙景线之甲乙丙丁直角方形上若作一甲丙对角线其权线必过丙必在丁丙之内而分丁丙邉于癸是日在四十五度之下其权线必在丁丙邉之内也故矩度之内其傍通光耳之分度边为直景而对通光耳之分度边为倒景
本题十五首
第一题
日轮髙四十五度直景倒景皆与表等在四十五度以上则直景小于表而倒景大于表在四十五度以下则直景大于表而倒景小于表
依矩度即可明此题之义葢上已论日轮在四十五度权线必在丙即显乙丙直景丁丙倒景皆与甲乙甲丁两表等何者直角方形之各边俱等故也若日在四十五度以上权线必在乙丙分度边上而倒景当在丁丙之引出边上是直景小于倒景而倒景大于甲丁表若日在四十五度以下权线必在丁丙分
度边上而直景当在乙丙之引出邉上是倒景小于直景而直景大于甲乙表
第二题
表随日所至皆为直景与倒景连比例之中率
先设日轮在四十五度而权线在丙题言甲乙或甲丁表皆为乙丙直景与丁
丙倒景连比例之中率
论曰甲乙丙丁直角方形之四边既等即乙丙直景与甲乙或甲丁表之比例若表与丁丙倒景何者三线等即为两相同之比例故
次设日轮在四十五度以上权线
在乙丙直景边内分乙丙于戊而
倒景在丁丙之引出边上遇权线于已题言甲乙或甲丁表为乙戊直景与丁巳倒景连比例之中率论曰乙与丁两直角等而乙甲戊与已相对之两内角亦等【一卷廿八】即甲乙戊巳丁甲为等角形【六卷四】则乙戊直景与甲乙或甲丁表之比例若表与丁巳倒景是甲乙或甲丁表为两景之中率【六卷八之系】
后设日轮在四十五度以下权线
在丁丙倒景边内分丁丙于戊而
直景在乙丙之引出边上与权线遇于已题言甲乙或甲丁表为丁戊倒景与乙巳直景连比例之中率论曰丁与乙两直角等而丁甲戊与巳甲戊丁与乙甲巳各相对之两内角各等【一卷廿八】即甲丁戊甲乙巳为等角形【六卷四】则丁戊倒景与甲乙或甲丁表之比例若表与乙巳直景是甲乙或甲丁表为两景之中率【六卷八之系】
注曰直景表倒景三线既为连比例即直景倒景两线矩内直角形与表上直角方形等【六卷十七】故表度十二则其羃为一百四十四若以为实以所设景数为法除之即得所求景数假如权线所至在倒景之三度即以三为法除其实一百四十四得四十八度为直景又如权线所至在所设景之五度三分度之二即所求景为二十五度十七分度之七何者以五度三分度之二为法除其实一百四十四即得二十五度十七分度之七是二景互变相代法【畸分除法见后附】
第三题
物之髙立于地平以直角其景与物之比例若直景与表亦若表与倒景
解曰物之髙以直角立于地平如巳庚其景在地平上为庚辛题言直景与表之比例若庚辛与巳庚又言表与倒景之比例若庚辛与巳庚【凡言地平者皆依直线取平若不平者烦先准平然后测量后仿此】
先论权线在丙者曰权线恒与物之髙为平行线何者两线下至庚辛皆为直角故【一卷廿八】即辛甲丙角与巳角等【一卷廿九】而乙与
庚两直角又等则甲乙丙巳庚辛为等角形【一卷廿二】是乙丙直景与甲乙表之比例若庚辛景与巳庚髙【六卷四】
二论曰若权线在乙丙直景边内而分乙丙于戊依前论显乙甲戊角与巳角等【一卷廿九】乙角与庚角等则甲乙戊巳庚辛为等角形【一卷三十二】是乙戊直景与甲乙表之比例若庚辛景与巳庚髙【六卷四】
三论第一图之倒景曰权线在丙其巳角丁丙甲角各与乙甲丙角等【一卷廿九】即自相等丁角与庚角又等则甲丁丙与巳庚辛亦等角形【一卷三十二】是甲丁表与丁丙倒景之比例若庚辛景与巳庚髙【六卷四】
后论曰若权线在丁丙倒景边内而分丁丙于戊依前论显乙甲戊角与巳角等【一卷廿九】即丁戊甲角与巳角亦等【一卷廿八】丁角与庚角又等则丁戊甲巳庚辛为等角形【一卷三十二】是甲丁表与丁戊倒景之比例若庚辛景与巳庚髙【六卷四】注曰前既论【本篇第一题】日轮在四十五度直景倒景皆与表等在四十五度以上直景小于表在四十五度以下表大于倒景即显日轮在四十五度各物在地平之景与其物之髙等在四十五度以上即景小于
物在四十五度以下即景大于物如上三图可见第四题
冇物之景测物之髙
法曰如前图以矩度向日甲耳在前取日光透耳两窍以权线与矩度平直相切任其垂下细审所值何度何分若在十二度之中对角线上则景与物必正相等【本篇三题注】故量其景长即得其物髙若权线在直景边即景小于物【本篇三题注】则直景与表之比例若物之景与其髙用三数法以直景上所值度分为第一数以全表度十二为第二数以物景之度为第三数算之即所得数为其物髙【三数算法见后附】
注曰欲测巳庚之髙以矩度承日审权线如在直景乙戊得八度正庚辛景三十步即以表度十二庚辛三十步相乗得三百六十为实以乙戊八度为法除之得四十五即巳庚之髙四十五步
若权线在倒景邉即景大于物【本篇三题注】则表与倒景之比例若物之景与其髙用三数法以表为第一数以倒景上所值度分
为第二数以物景之度为第三数算之即所得数为其物髙
注曰欲测巳庚之髙以矩承日审权线如在倒景于戊得七度五分度之一庚辛景六十步即以丁戊七度五分度之一庚辛六十步相乗得二千一百六十为实以表度六十分为法除之得三十六即巳庚之髙三十六度【因权值有畸分五分度之一故以分母五通七度通作三十五分以分子一从之为三十六分其表度十二亦通作六十分说见算家六分法】
第五题
有物之髙测物之景
法曰如前图以矩度承日审值度分若权线在丙则景与物等【本篇三题注】
若权线在直景边即物大于景【夲篇三题注】即直景与表之比例若景与物反之则表与直景若物之髙与其景【五卷四之系】用三数法以表为第一数直景度分为第二数物髙度为第三数算之即所得数为景度
若权线在倒景边即物小于景【本篇三题注】则表与倒景之比例若景与物反之则倒景与表若物之髙与其景【五卷四】用三数法以倒景度分为第一数表为第一数物髙度
为第三数算之即所得数为景度
第六题
以目测髙
法曰欲于辛目测巳庚之髙先用一有度分之表与地平为直角以审目至足之髙次以矩度向物顶甲耳在前目乙后而乙辛为目至足之髙以权线与矩度平直相切任其垂下目切于乙不动而以甲角稍移就物顶令目光穿两耳窍至物顶作一直线【如不能以目透通光耳中只取两耳角或两小表相对亦可】细审权线值何度分依前题论直景与表之比例表与倒景之比例皆若庚辛或等庚辛之乙壬【若自乙至壬作直线即与庚辛平行相等见一卷三十四】与巳壬【壬庚与乙辛等见一卷三十八】观上论【本篇三题】及本图自明葢三图之甲乙丙甲乙戊甲丁戊各与其巳壬乙为等角形则量辛庚之度而作直景与表之比例或作表与倒景之比例皆若辛庚与三数法所求得之他数即
得巳壬之高次加目至足乙辛之高即得巳庚之高注曰如欲测巳庚高权线在直景即以直景乙戊为第一数表为第二数庚辛为第三数若在倒景即以表为第一数以丁戊倒景为第二数庚辛为第三数各算定各加自目至足乙辛数即得
若权线不在丙而有平地可前可却即任意前却至权线值丙而止即不必推算可知其高
若辛不欲至庚或不能【或为山水林木屋舍所隔或地非平面】则用两直景较算其法依前用矩度向物顶审权线在直景否如在倒景即以所值度分变作直景【本篇二题注】次从辛依地平直线或前或却任意逺近至癸仍用矩度向物顶审权线在直景否如在倒景亦以所值度分变作直景【本篇二题注】次以两直景度分相减之较为第一数以表为第二数以辛癸大小两相距之较为第三数依法算之即得巳壬之高加自目至足乙癸即得巳庚之高何者两景较与其表之比例若两相距之较与物之高故下论详之
论曰以两直景之小乙戊线减其大乙戊线存子戊线为景较以两相距之小庚辛线减其大庚癸线存癸辛线为距较则子戊较线与甲乙表之比例若癸
辛较线与巳壬线何者依上论【本篇三题】大乙戊直景与甲乙表之比例若乙壬或等乙壬之庚癸大相距之逺与巳壬之髙更之即大乙戊直景与大相距癸庚之比例若甲乙表与巳壬之高【五卷十六】依显小乙戊直景或等小乙戊之乙子与小相距之庚辛之比例若甲乙表与巳壬之高则大乙戊直景与大相距庚癸之比例亦若乙子小直景与小相距之庚辛也夫大乙戊与大相距庚癸两全线之比例既若两所减之乙子与庚辛【五卷十九】转之即大乙戊与庚癸两全线之比例亦若两减余之子戊与辛癸【五卷十九】而前巳论乙戊全与庚癸全之比例若甲乙表与巳壬之高则两减余之子戊与辛癸之比例亦若甲乙表与巳壬之高【五卷卜一】更之则景较子戊与甲乙表之比例若距较
癸辛与巳壬之高【五卷十六】
注曰如前图欲测巳庚之高先于辛得直景小乙戊为五度次却立于癸得直景大乙戊为十度景较五度以为第一数以表度为第二数次量距较癸辛十步以为第三数依法算得二十四步加自目至足乙辛或一步即如巳庚髙二十五步如后图先于辛得直景小乙戊
为十一度次却立于癸得倒景九度即如前法变作大乙戊直景十六度景较五度以为第一数以表度为第二数次量距较癸辛二十步以为第三数依法算得四十八步加自目至足乙辛或一步即知巳庚高四十九步
若山上有一楼台欲测其楼台之高先于平地总测楼台顶至地平之高次测山髙减之即得有楼台高数层欲测各层之高仿此
第七题
地平测逺
法曰欲于巳测巳庚地平之逺先用一有度分之表与地平为直角以审目至足之高为甲巳若量极逺者则立楼台或山岳之上以目下至地平为甲巳【欲知山岳楼台之高巳具前测高法】次以矩极甲角切于目以乙向逺际庚如前法稍移就之令甲乙庚为一直线细审权线值何度分如权线在丙则高与逺等若在乙丙直景邉即高大于逺而矩度上截取甲乙戊与甲己庚为等
角形何者两形之乙与己各为直角庚甲己与乙甲戊为同角即其余角必等故【一卷
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