卷三十二】则甲乙表与乙戊直景之比例若甲巳高与巳庚逺也【六卷四】若权线在丁丙倒景邉即髙小于逺而矩度上截取甲丁戊与甲己庚为等角形何者两形之丁与己各为直角巳甲庚与甲戊丁相对之两内角等【一卷廿九】即其余角亦等故【一卷三十二】则丁戊倒景与甲丁表之比例若甲巳髙与巳庚逺也【六卷四】次以表为第一数直景为第二数以倒景为第一数表为第二数各以甲巳为第三数依法算之各得巳庚之逺
第八题
测井之深
法曰己壬辛庚井其口之边或径为己庚欲测己壬
之深用矩极甲角切目以乙从己向
对边或径之水际辛如前法稍移就
之令甲乙己辛为一直线即权线垂
下截取矩度之甲乙戊与己壬辛为等角形何者两形之乙与壬各为直角壬巳辛与乙甲戊两角为巳壬甲癸两平行线【井甃必用垂线故与权线平行】之同方内外角等【一卷二十九】即其余角亦等故则乙戊直景与甲乙表之比例若等巳庚口之壬辛底与巳壬深也【六卷四】次以直景为第一数表为第二数巳庚为第三数依法算之即得巳壬之深
若权线在倒景即表与倒景之比例若井之巳庚口与巳壬深观甲癸丁角形可推何者癸与乙甲戊相对两内角等【一卷廿九】即与壬巳辛角等故以表为第一数倒景为等二数巳庚口为第三数依法算之亦得巳壬之深
注曰乙戊直景三度巳庚井口十二尺依法算得四十八尺即巳壬之深丁癸倒景四十八度依法算同
第九题
以平镜测高
法曰欲测甲乙之高以平镜依地平线置丙人依地平线立于丁目在戊向物顶甲
稍移就之令目见甲在镜中心是甲之景从镜心反射于目成甲丙戊角即目光至镜心偕足至镜心两线作戊丙丁角与甲丙乙角等【此论见欧几里得镜书第一题】即甲乙丙戊丁丙为等角形【乙丁两皆直角故】则足至镜心丁丙与目至足之高丁戊
之比例若物之底至镜心乙丙与其高甲乙也【六卷四】今量丁丙为第一数丁戊为第二数乙丙为第三数依法算之即得甲乙之高
注曰可以防水当镜若测极逺可以水泽当镜
第十题
以表测高
法曰欲测甲乙之高依地平线任立一表于丙为丁丙与地平为直角【凡立表以线垂下三面附表即与地平为直角】次依地平线退立于戊使目在巳视表末丁与物顶甲为一直线若表仅与身等或小于身则俛首移就之可也【或别立一小表为巳戊亦可】
次量目至足之数次想从巳目至甲乙上之庚防作直线与乙戊平行而分丁丙表于辛即巳辛丁巳庚甲为等角形【六卷四】则等丙戊之辛巳与辛丁之比例若等乙戊之庚巳与庚甲也次量丙戊为第一数辛丁为第二数乙戊为第三数依法算之即得甲庚之髙加目至足之数巳戊即得甲乙之高
若戊不欲至乙或不能则用两表较算如前图立于戊目在己巳得辛巳等丙戊之度次依地平线或前或却又立一表【或即用前表或两表等】为癸壬依前法令丑子与巳戊目至足之度等而使丑癸甲为一直线即又得寅丑等壬子之度其壬子若移前所得必小于丙戊何者巳辛与辛丁之比例若巳庚与庚甲丑寅与寅癸若丑庚与庚甲【六卷四】而巳庚与庚甲大于丑庚与庚甲【五卷八】即巳辛与辛丁亦大于丑寅与寅癸也又辛丁与寅癸既等【癸壬丁丙元等所减寅壬辛丙等即所存亦等】即巳辛
必大于丑寅也【五卷十】次以两测所得之巳辛与丑寅相减得卯辛较以为第一数以表目相减之较丁辛或癸寅为第二数以两相距之较戊子或巳丑为第三数依法算之即得甲庚之髙加目至足之数即得甲乙之髙
论曰两测较外辛与表目较辛丁或癸寅其比例若距较戊子或巳丑与庚甲何者巳辛与辛丁既若巳庚与庚甲【五卷四】更之即巳辛与巳庚若辛丁与庚甲也【五卷十一】依显丑寅与丑庚若寅癸与庚甲也则丑寅与丑庚亦若辛丁与庚甲也【辛丁与寅癸等故】而巳辛全线与巳庚全线若巳辛所截取之巳卯【巳印与丑寅等故】与巳庚所截取之丑庚也则巳辛全与巳庚全亦若巳辛分余之卯辛与巳庚分余之巳丑也【五卷十九】前巳论巳辛与巳庚若辛丁与庚甲即卯辛与巳丑亦若辛丁与庚甲也更
之即两测较卯辛与表目较辛丁若距较等子戊之巳丑与甲庚也若却后而得壬子则反上论之第十一题
以表测地平逺
法曰欲于甲测甲乙地平逺先依地平线立一表为丙甲与地平为直角其表稍小于身之长次却立于戊目在丁视表末丙与逺际乙为一直线次想巳丙作直线与甲乙平行而分丁戊于巳即丙巳丁丙甲乙为等角形【六卷四】何者甲与巳两为直角丙丁巳乙丙甲为平行
线同方内外角等【一卷廿九】即其余角必等故【一卷三十二】则表目较丁巳与表目相距之度巳丙之比例若丙甲表与甲乙也次以丁巳为第一数丙巳为第二数丙甲为第三数依法算之即得甲乙之逺
第十二题
以矩尺测地平逺【今木工为方所用】
法曰欲于甲测甲乙地平逺先立一表为丁甲与地平为直角次以矩尺之内直角置表末丁以丁戊尺向远际乙稍移就之令丁戊乙为一直线次从丁丙尺上依一直线视地
平得巳次量巳甲为第一数丁甲为第二数又为第三数依法算之即得甲乙之逺
论曰巳丁乙既直角若从丁作丁甲为巳乙之垂线即丁甲为甲巳甲乙之中率【六卷八之系】次以丁甲表自乗为实以甲巳之度为法除之即得甲乙之逺【六卷十七】第十三题
移测地平远及水广
法曰欲于乙测乙戊地平逺及江河溪壑之广凡近而不能至者于此际立一表为甲乙与地平为直角次以一小尺或竹木等为丙丁邪加表上稍移就彼际戊作一直线次以表带尺旋转向地平视丙丁尺端所直得
巳次自乙量至巳即得乙戊之数
论曰甲乙戊与甲乙巳两直角形等即相当之乙戊与乙巳两边亦等则量乙巳得乙戊【一卷廿六】
又论曰若以乙为心巳戊为界作圜即乙巳戊为同圜之各半径等
注曰如不用表以身代作甲乙表不用尺或以笠覆至目代作丙丁如上测之尤便
第十四题
以四表测远【前题测逺诸法不依极髙不得极逺此法于平地可测极逺】
法曰欲于乙测甲远【或城或山凡可
望见者皆是不论平否】择于平旷处【前云
依地平线者必依直线取平此不必拘】立一表
于乙次任却后若干大尺更立一表为丁令两表与甲【甲者是所测处指定一物或人或木或山及楼台之顶皆是】为一直线次从乙依乙丁之垂线任横行若干丈尺更立一表为丙次从丁与乙丙平行任若干丈尺稍逺于乙丙又立一表为戊【四表俱任意长短】从戊过丙望甲亦作一直线次以丁戊乙丙相减之较为第一数乙丁为第二数乙丙为第三数依法算之即得甲乙之逺
论曰试作丙巳直线即得丙巳戊与甲乙丙为等角形【六卷四】何者甲乙丙丙巳戊两为直角丙戊巳甲丙乙为平行线同方内外角等【一卷廿九】即余角必等故则戊巳与等丙巳之乙丁之比例若丙乙与乙甲注曰如丁戊为三十六乙丙为三十乙丁为四十即以三十与三十六之较六为第一数以四十为第二数以三十为第三数依法算之得二百四十为甲乙之远
第十五题
测髙深广逺不用推算而得其度分
不诸布算难用前法其有畸分者更难今求不用布
算而全数畸分俱可推得与布算同
功其法曰凡测髙深广远必先得三
率而推第四率三率者其一直景或
倒景其二所立处至所测之底若不
能至者则景较或两测较其三表或
距较也设如测一髙景较八距较十
步其景较八与表十二之比例若距较十步与所求之髙【此不论目至足之髙】则于平面作甲乙甲丙两直线任相聨为甲角从甲向乙规取八平分任意长短以当景较为甲丁次用元度从丁向乙规取十二平分以当表度次从甲向丙规取十平分其用度依前度任等不等以当距较为甲戊次从戊至丁作一直线次从乙作一直线与戊丁平行而截甲丙线于丙次规取自甲至戊诸分内之一分为度从戊向丙规得若干
分即所求之髙
论曰甲乙丙角形内之戊丁
与乙丙两线平行即甲丁与
丁乙之比例若甲戊与戊丙
【六卷二】则戊丙当为十五分与
三数法合加目至足之髙即
得全髙
又法曰若景较七度有半距较八步三分步之一即物髙度十三步三分步之一如后图加目至足之髙即得全髙
若恒以甲丁为第一数丁乙为第二数甲戊为第三数即恒得戊丙为第四数
三数算法【附】
三数算法即九章中异乗同除法也先定某为第一数某为第二第三数次以第二第三两数相乘为实以第一数为法除之即得所求第四数
如月行三日得三十七度问九日行几何度即以三十七度为第二数九为第三数相乗得三百三十三数为实次以三为第一数为法除之得一百一十一数即所求第四月行九日度数
如有畸分即用通分约分法依上算如一星行八日三时得十二度二分度之一问十四日六时行几何度即以八日三时通作九十九为第一数以十二度二分度之一通作二十五为第二数以十四日六时通作一百七十四为第三数次以二十五与一百七十四相乗得四千三百五十为实以九十九为法除之得四十三分九十三次以二分为一度约得二十一度三十三分度之三十二即所求第四本星行十四日六时度分之数
测量法义
钦定四库全书
测量异同
明 徐光启 撰
九章算法勾股篇中故有用表用矩尺测量数条与今译测量法义相较其法畧同其义全阙学者不能识其所繇既具新论以攷旧文如视掌矣今悉存诸法对题胪列推求同异以竢讨论其旧篇所有今译所无者仍补论一则共为测量异同六首如左
第一题【与前篇第四题同】
以景测髙
欲测甲乙之髙其全景乙丙长五丈立表于戊为丁戊髙一丈表景戊丙长一丈二尺五寸以表与全景相乗得五万寸为实以表景百二十五寸为法除之得甲乙髙四
丈
此旧法与今译同
第二题【与前篇第十题同】
以表测髙
欲测甲乙之髙去乙二十五尺立表
于丙为丁丙高一丈却后五尺立于
戊使目在巳戊至巳高四尺视表末
丁与甲为一直线次以丁丙表髙十尺减目至足丁辛四尺得表目之较辛丙六尺以乗乙丙二十五尺得百五十尺为实以丙戊五尺为法除之得三十尺加表十尺得甲乙高四十尺
此旧法以甲壬丁为大三角形以丁辛巳为小三角形今译以甲庚巳为大三角形丁辛巳为小三角形其实同法同论何者甲壬与壬丁若甲庚与庚巳也【六卷四】
第三题【与前篇第八题同】
以表测深
甲乙丙丁井欲测深其径甲乙五尺立一表于井口
为戊甲高五尺从戊视丙截甲乙径
于巳甲至巳得四寸次以井径五尺
减甲巳四寸存巳乙四尺六寸以乗戊甲五尺得二千二百寸为实以甲巳四寸为法除之得井深五丈七尺五寸
此旧法以戊甲巳为小三角形巳乙丙为大三角形今译当以戊甲巳为小三角形戊丁丙为大三角形其实同法同论何者戊丁与丁丙若丙乙与乙巳也【一卷三十四可推】
第四题【与前篇第十题后法同】
以重表兼测无远之高无髙之逺
欲于戊测甲乙之高乙丙之逺或不欲至或不能至则用重表法先于丙立丁丙表髙十尺却后五尺立于戊目在巳巳戊髙四尺视表末丁与甲为一直线次从前表却后十五尺立一癸壬表于壬亦高十尺
却后八尺立于子去壬八尺其目在丑丑子亦高四尺从丑视癸甲亦一直线次以表髙十尺减足至目四尺得表目较癸辛或丁寅六尺与表间度癸丁或壬丙十五尺相乗得九十尺为实以两测所得巳寅丑辛相减之较卯辛三尺【此较旧名景差今名两测较】为法除之得三十尺加表髙十尺得甲乙髙四十尺若以两测所得之小率丙戊五尺与表间度癸丁或壬丙十五尺相乘得七十五尺为实以卯辛三尺为法除之即得乙丙逺二十五尺
此旧法测髙以癸辛或丁寅与辛卯偕甲辰与壬等丙之丁癸为同理之比例今译以癸辛或丁寅与辛卯偕甲庚与等戊子之巳丑为同理之比例【旧用壬丙表间也今用戊子距较也】其实同法同论何者甲辰与辰丁若甲庚与庚巳也辰丁与丁癸若庚巳与己丑也【六卷四】平之
则甲辰与丁癸若甲庚与己丑也
补论曰旧法以重表测逺则卯辛与等丙戊之巳寅之比例若等壬丙之癸丁与等乙丙之丁辰何者甲辰癸癸辛丑为等角形【六卷三十二】即丑辛癸辰为相似边【六卷四】甲辰丁丁寅巳为等角形即巳寅丁辰为相似边是丑辛与癸辰若巳寅与丁辰
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