之一午点为圆锥重心 既得圆锥重心以反比例求之即得半球之重心有比例如左 一率半球体积 二率圆锥体积 三率圆锥重心 四率半球体重心 半周有质弧线 求重心 王宗福 * 图略 如图甲丙乙为半周 有质弧线丙心为半径半径自乘以象限周除之得重圆二心距丁心丁点 即重心 * 算式略 有半圆面截去 六十度截线正交圆径求残积之重心 王宗福 * 图略 如图甲丙乙半圆面 丙乙六十度丙丁正交甲乙径求甲丙丁残积之重心先作心丙半径将残 积分为甲心丙丙心丁二分丙心丁句股之句为半径之半求得丙心丁之 重心为卯复求得半圆重心比例得一百二十度甲心丙积之重心如子 作子卯线甲丁丙积与丙心丁积比若子卯与子丑比丑即所求重心 有端砚一块长 一尺宽五寸厚二寸作一圆池距三边各五分深一寸二分求重心距各边 若干 博勒洪武 * 图略 如图甲乙丙丁为砚 丙戊庚丁甲乙庚戊二正方相等壬子圆池圆距丙戊丙丁丁庚三边皆五 分法先求得壬子积与丙戊庚丁积相减余三二四 八甲乙戊庚积亦为五十方寸则有比例 如左 一率共积 二率共长 三率丙戊庚丁残积三二四八 四率丁心一九 求得丁心一九则距 甲乙边三寸四分强距丙丁边六寸六分距甲丙乙丁皆二寸五分 有杠杆长二十 七尺以人力百斤欲移动千二百五十斤之石试推其倚所当在何处 杜法孟 答曰距石二 尺内 * 图略 法以力重相加为一 率杆长为二率力为三率求得四率得倚所 有铁锤四其重 如三四五六之数按次分悬于直杆每锤相距一尺试求定点 杨兆鋆 * 图略 如图甲乙丙句股面 取甲乙句三分之一于丁甲丙股三分之一于戊各作垂线丁己戊庚交点 心即句股面重心切心点正交乙丙作线辛壬作辛点为合弦平地平之点 而戊辛等甲丁戊心辛与本形同式故比例如句与戊心 句三之一一相 乘股除之得戊辛以加戊丙得辛丙 大分减甲戊得 甲辛 小分又法用心 庚己形求之有等式 * 算式略 求得辛丙即大分减 股得小分 有句八股十五 句股面于弦取二点令悬之一句平如地平一股平如地平其法若何 席淦 * 图略 如图先求句股重心 甲自甲作句股之垂线引长至悬弦于丙辛二点则句股合地平丙己为弦 三之一辛己为弦三之二何也甲丁为庚丁三之二乙丁必为戊丁三之二 丙乙与戊己平行丙丁必为己丁三之二而丙己必为三之一又己甲为 己癸三之二己壬必为己戊三之二辛壬与丁戊平行则辛己必为丁己三 之二 丙己五六六六六辛己一一三三三三 有膛径尺五 若以铁较水重八倍求其子轻重若何 贵荣 法以方圆边线相等 体积不同定率立方一九九八五九三一七为一率球积一为 二率膛以一五自乘再乘得三三七五为三率求得四率一七六七寸又一 九九八五九三一七之二七八五八六八六一为球积再以水每方尺率 七十六斤化为一千二百一十六两以一千寸除之 得每方寸十二线又二十五分之四以乘球积得二一二四再八倍之得 一六九六三二以十六除之得一千六百斤强即子重 有鎗子向上直 放二十秒始落求其升高若干并作图明其理 文续 答曰一千六 百尺 法以二十秒折半自 之得一百以初秒所过之路十六尺乘之得一千六百尺即所求之高 * 图略 如图甲乙丙三角形 甲乙等纵线为时乙丙等横线为速十秒内所过之路即为甲乙丙三角形 积 有物下坠数秒 而末秒之路为全路三分之一试求其秒数 时永清 答曰七秒又 一七八二 二方根为一四一四 二三方根为一六四三 一两根较为二二八九乃有比例 一率两根较二二 八九 二率三方根一六四三一 三率一秒 四率七秒又一七八二 * 图略 如图甲乙丙为全路 积甲丁戊积为三分之二戊丁乙丙积为三分之一甲乙为共时丁乙 为一秒甲乙丙积与甲丁戊积比若三与二比甲乙丙积与甲丁戊积比 又若甲乙方与甲丁方比即三与二比若甲乙方与甲丁方比亦即三方根 与二方根比若甲乙与甲丁比故三方根二方根较与三方根比若甲乙甲 丁较之丁乙一秒与甲乙共时比 有一其最远 界二十里移于高山顶高出平地四十里下测一敌营须用四十五度方向 方能及之求营距若干远 王宗福 答曰四十里 * 图略 如图甲为甲壬为 四十五度方向丑为拋物线顶点甲辛即山高丁为敌营丑未五与丙未方 一百比若丑未加己丁四五与己未方九百比得己三十即得甲己 [ 即]辛丁 距四十里 今有台六百 九十七尺长对面有敌国兵船从此头视之成角八十四度四十分从彼头 视之成角八十六度三十分求船距二处及台与船最近之处相距各若 干 杨枢 答曰船距此 头四千五百三十一又距彼头四千五百一十九尺台与船最近之处相 距四千五百十一尺 * 图略 先求乙角法以丙角 八十四度四十分与丁角八十六度三十分相并以减半周一百八十度余 八度五十分为乙角度数 次求乙丁边 一率乙角正弦九 一八六二八 二率丙丁边二八四三二三 三率丙角正弦九九九八一一 四率乙丁边三六五五六 检表得乙丁 边四千五百一十九尺 次求乙丙边 一率乙角正弦九 一八六二八 二率丙丁边二八四三二三 三率丁角正弦九九九九一八 四率乙丙边三六五六一三 检表得乙丙边四千五百三十一尺 末求乙戊中垂线 一率半径一0000000 二率丙角正弦九九九八一一 三率乙丙边三六五六一九 四率乙戊垂线三六五四三0 检表得四千 五百一十一尺即台与船相距最近之处 今有兄弟三家 欲掘井使距各家维均甲乙相距二十丈乙丙二十二丈丙甲二十四丈试 推其井应在何处与距各家之远近若何 左秉隆 答曰井与各 家相距十二丈五尺有奇 * 图略 如图以甲丙为一率 甲乙乙丙和为二率甲乙乙丙较为三率求得四率为底边较三丈五尺与 甲丙相减半之为句以甲乙为弦求得股十七丈四尺余为甲乙丙三角形 之中垂线次以中垂线为一率甲乙为二率乙丙为[三]率 求得四率二十五丈有奇为圆径半之为井与各家相距数 今有弧矢田试 作一界线平分为二分 杜法孟 * 图略 如图丙乙甲弧矢田 先作乙甲直线自乙甲弧折半丁点至壬作丁壬小矢自壬至丙作壬丙线 以丁壬丙[为 界](乙)即 分弧矢田为两平分 解曰丁壬甲等于丁 壬乙自壬与乙丙平行作壬戊线与甲丙平行作壬辛线则成壬戊甲壬戊 丙辛壬乙辛壬丙四句股形等式等积甲壬丙乙壬丙皆得二句股积故等 又解曰丁壬甲等于 丁壬乙甲壬丙乙壬丙二三角形其底等甲壬 等于乙壬其高又 等 同以壬丙为高 故其积等 弧矢形内求任 作相切二圆其心俱在弧背其周俱切弦其法若何 杨兆鋆 * 图略 法自大圆心作心甲 半径取甲点作戊辛之垂线甲丙以甲为心甲乙为度作圆 乙即甲圆周切弦之一点 引长甲丙线至丁作丁甲 半径 甲即甲圆心切弦之一点 自丁至戊作丁戊线割甲 圆周于己即二圆切点乃作甲己线引长至弧背得庚点即为庚圆心以庚 己为度作圆其切弦点为壬即丁戊线交弦之点也 三角内求作相 等相切六圆 懿善 * 图略 平分三边形之三边 于一二三作乙一丙 二甲三三中垂线相交于丁平分丁甲一 角作分角线遇丁一线于子以丁为心以丁子为度度于二三两线遇于丑与寅则丑子寅为所求之三圆心而子一为其半径若过 子点作线与甲丙边平行遇甲三丙二两 线于卯辰又自卯与辰各作线与甲乙乙丙两线平行则得又三圆心 有长椭圆体及 圆锥体椭圆短径等于锥之底径长径等于锥高此二体和即等径等高之 圆柱试解其理 蔡锡勇 * 图略 如图甲乙丙丁为圆 柱积其长甲乙 戊己丙丁并同 即戊己庚辛椭圆体之长径戊 [ 乙 ](己) 丁锥体之高其阔甲丙 庚辛乙丁并同 即椭圆体之短径锥体之底径夫浑圆本得同径圆柱积三分之二锥体得 三分之一椭圆亦然今以甲丙短径求得甲壬丙癸圆面甲乙乘之为柱 积三归之为戊庚辛半椭圆积亦为戊乙丁圆锥积则戊庚己辛全椭圆积 必得圆柱积三分之二戊乙丁圆锥积必得圆柱积三分之一故相并即圆 柱积也 大球截积内求 所容相等相切三球 蔡兆熊 * 图略 如图子辰午为大球 截积子午为截积通弦己午为正弦取丑未倍己午作丑未寅等边三角形 其中垂线寅己引长己申至卯今申卯等于半己申以卯为心寅为界截辰 卯线于酉则酉己为小球全径乃于截积平圆内面以圆心己为心酉己 为边作等 [ 边 ](趋) 边三角其三角点即小球 切点也 又图设三球心为乙 为丙为甲作三线相连成乙甲丙等边三角形其心为戊丁为大球心作丁 戊丁丙成戊丙丁句股乃立小球半径为天以代数求之 * 算式略 依式是三正弦为方 正字上大矢为长阔较开四个方得小球半径三大矢为长阔较开一个方 为小球全径寅己方三倍午己方己卯为半较得酉己即为小球径 六面体内容八 面体其二体比例若何 汪凤藻 * 图略 如图甲乙正六面体 先求作内容八等面体法取子乙乙丑丑卯卯子四面之心丙丁戊己四点 作丙己己戊戊丁丁丙四线成丙戊直角四等边形即内容八面体半锥体 之底面次取子丑乙卯二面之心庚辛二点作庚丙庚丁庚己庚戊辛戊 辛丁辛己辛丙八线成庚辛丁己八等面体其六角均切六面体之面心欲 明二体之比例命六面体之一边为甲八面体之一边为乙以数明之 * 算式略 不等面立三角 求重心其法若何 汪凤藻 法任以一面为底面 求得其重心点自此点至顶角作线必过立三角重心复取一面如法作之 得二线交点即所求准此自底面取重心线四分之一即重心 今有正圆球三 角垛共十球球径一尺求垛顶至平面高若干 杜法孟 答曰二尺六 寸三分强 * 图略 法自上层一球与中 层三球四球心作六线成六等边形边与球径等以一边为弦半边为句求 得股为每一线之中垂线又以一边为弦中垂线三分之二 即分角线为句 求得股为六等边自尖至底中心之立垂线倍之加球径为垛顶至平面之 高 如图子丑辰卯己午 未寅酉申十球子为上层辰丑卯为中层己午未寅酉申为下层试自子辰 丑卯四球心作甲乙丙丁六边形棱六角四平铺之则面亦四 如壬辛各成一 等边三角形试以乙丙丁一面为底取乙丙一边为弦丁丙一边折半为句 求得乙戊股为底面之中垂线又以甲丙一边为弦己丙 中垂线三分之二 为句求得甲己股为自尖 至底中心之立垂线即六边行之高亦即上层球心至中层球心之高亦即 中层球心至层底球心之高故倍之加上下二半径得垛顶至平面之高 又法以倍球径为边 作六等边形如前法求得立垂线加球径即得如前图甲乙边倍则甲己立 垂线必倍故加球径即得 又法以每边自乘三 归二因开平方即得自尖至底中心之立垂线如前图戊丙为甲丙线之半 则戊丙方为甲丙方四分之一甲戊方必为甲丙方四分之三亦十二分之九又己戊线 为甲戊线三分之一则己戊方为甲戊方九分之一甲 己方必为甲戊方九分之八亦即甲丙方十二分之八亦即甲丙方三分之 二故以每边自乘三归二因开平方得立垂线 今有官司依平 方招兵初日方边四尺以后每日递加二尺每人日给银一两二钱已支银二 万六千零四十两推招了几日已 招若干兵 黎子祥 答曰共招十 四日 招兵四 千九百五十六名 * 算式略 瓜豆同日发芽 生蔓瓜蔓初日长一尺六寸以后每日所长递减半豆蔓初日长一寸以后 每日所长递加半二蔓第几日相等 蔡锡勇 答曰五日 解曰此即连比例率 数瓜蔓初日所长为末率豆蔓初日所长为首率得若干率数即二蔓相等 日数以代数明之 * 算式略 于此可见未之指数 必比层数减一命层数于天则末率恒为● 即●准代数之理上式可变为 ●为首率一之对数等于故以二之对数 一0三 除瓜蔓初日所长一尺六 寸之对数 四0二一 得四加一得五为相等日 数 有平句有明股 求圆径 长秀 * 算式略 有边股有平句 股较求圆径 廷铎 * 算式略 有底句有明股 求圆径 长秀 * 算式略 有底弦较和有 高句股较求圆径 辛泽贤 * 算式略 有断句股较有 大弦和和求圆径 联印 * 算式略 有明弦有底句 求圆径 斌衡 * 算式略 有明句有平弦 求圆径 巴克他讷 * 算式略 有平句股较有 弦求圆径 李逢春 * 算式略 有底弦和较有 句弦较求圆径 左庚 * 算式略 有断句股较有 句弦较求圆径 韩常泰 * 算式略 有断句股较有 明弦较较求圆径 王镇贤 * 算式略 有大差弦和较 有断句股较求圆径 任敬和 * 算式略 有断句股较有 大弦和和求圆径 王锺祥 * 算式略 有股弦较有 明句弦较求圆径 王镇贤 * 算式略 有虚句股和有 大中垂线求圆径 赓善 * 算式略 有容方边有 [ ] 句股较求圆径 王镇贤 * 算式略 有圆城甲出北 门东行二百步而立乙出南门直行回望见甲与城参相直复斜行至甲处 其行五百六十步求城径若干 廷俊 答曰二百四 十步 立天元一为半径倍 之即大弦和较甲行之路等于底句乙共行之路等于底弦明股和底句内 减天元得甲[元]为 大股弦较二底弦明股和内减二底句得为二明三事和即二大句弦较以 乘大股弦较得寄左另以大弦和较自之
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