数值方法：MATLAB版

第1章　预备知识

1. 1　微积分回顾

1. 1. 1　极限和连续性

1. 1. 2　微分函数

1. 1. 3 积分

1. 1. 4 级数

1. 1. 5　多项式求值

1. 1. 6　微积分回顾的练习题

1. 2 二进制数

1. 2. 1 二进制数

1. 2. 2　序列与级数

1. 2. 3 二进制分数

1. 2. 4 二进制移位

1. 2. 5　科学计数法

1. 2. 6　机器数

1. 2. 7　计算机精度

1. 2. 8　计算机浮点数

1. 2. 9　二进制数的练习

1. 3 误差分析

1. 3. 1 截断误差

1. 3. 2 舍入误差

1. 3. 3　舍去和舍入

1. 3. 4　精度损失

1. 3. 5 0(hn)阶逼近

1. 3. 6 序列的收敛阶

1. 3. 7 误差传播

1. 3. 8 数据的不确定性

1. 3. 9 误差分析的练习

1. 3. 10 算法和程序

第2章 非线性方程f(x)＝0的解法

2. 1 求解x＝g(x)的迭代法

2. 1. 1 寻求固定点

2. 1. 2 固定点迭代的图形解释

2. 1. 3 绝对误差和相对误差

2. 1. 4 求解x＝g(x)迭代过程的练习

2. 1. 5 算法和程序

2. 2 定位一个根的划分方法(bracketing methods)

2. 2. 1　波尔察诺(Bolzano)二分法

2. 2. 2　试值法的收敛性

2. 2. 3　划分方法练习

2. 2. 4　算法和程序

2. 3 初始近似值和收敛判定准则

2. 3. 1　检测收敛性

2. 3. 2 有问题的函数(TroubleSome Functions)

2. 3. 3 初始近似值的练习

2. 3. 4 算法和程序

2. 4 牛顿拉夫申(Newton-Raphson)法和割线法

2. 4. 1　求根的斜率法

2. 4. 2　被零除错误

2. 4. 3 收敛速度

2. 4. 4　缺陷

2. 4. 5 割线法

2. 4. 6　加速收敛

2. 4. 7 牛顿拉夫申法和割线法的练习

2. 4. 8　算法和程序

2. 5 Aitken过程. Steffensen法和Muller法(可选)

2. 5. 1 Aitken过程

2. 5. 2 Muller法

2. 5. 3 方法之间的比较

2. 5. 4 Aitken法. Steffensen法和Muller法的练习

2. 5. 5 算法和程序

第3章 线性方程组AX＝B的数值解法

3. 1 向量和矩阵介绍

3. 1. 1 矩阵和二维数组

3. 1. 2 向量和矩阵简介的练习

3. 2 向量和矩阵的性质

3. 2. 1 矩阵乘

3. 2. 2 特殊矩阵

3. 2. 3 非奇异矩阵的逆

3. 2. 4 行列式

3. 2. 5 平面旋转

3. 2. 6 MATLAB

3. 2. 7 向量和矩阵性质的练习

3. 2. 8 算法和程序

3. 3 上三角线性方程组

3. 3. 1 上三角线性方程组的练习

3. 3. 2 算法和程序

3. 4 高斯消去法和选主元

3. 4. 1 选主元以避免a＝0

3. 4. 2 选主元以减少误差

3. 4. 3 病态情况

3. 4. 4 MATLAB

3. 4. 5 高斯消去法和选主元的练习

3. 4. 6 算法和程序

3. 5 三角分解法

3. 5. 1　线性方程组的解

3. 5. 2　三角分解法

3. 5. 3　计算复杂性

3. 5. 4 置换矩阵

3. 5. 5　扩展高斯消去过程

3. 5. 6　MATLAB

3. 5. 7 三角分解法的练习

3. 5. 8　算法和程序

3. 6　求解线性方程组的迭代法

3. 6. 1　雅克比迭代

3. 6. 2　Gauss-Seidel迭代法

3. 6. 3　收敛性

3. 6. 4　求解线性方程组的迭代法的练习

3. 6. 5　算法和程序

3. 7 非线性方程组的迭代法：SeideI法和牛顿法(可选)

3. 7. 1 理论

3. 7. 2 广义微分

3. 7. 3 接近固定点处的收敛性

3. 7. 4　Seidel迭代

3. 7. 5 求解非线性方程组的牛顿法

3. 7. 6 牛顿法概要

3. 7. 7 MATLAB

3. 7. 8 求解非线性方程组的迭代法的练习

3. 7. 9 算法和程序

第4章 插值与多项式逼近

4. 1 泰勒级数和函数计算

4. 1. 1 多项式计算方法

4. 1. 2 习题

4. 1. 3 算法与程序

4. 2 插值介绍

4. 2. 1 习题

4. 2. 2 算法与程序

4. 3　拉格朗日逼近

4. 3. 1　误差项和误差界

4. 3. 2 比较精度与0(hN+1)

4. 3. 3　MATLAB

4. 3. 4 习题

4. 3. 5　算法与程序

4. 4　牛顿多项式

4. 4. 1 嵌套乘法

4. 4. 2　多项式逼近. 节点及中心

4. 4. 3 习题

4. 4. 4　算法与程序

4. 5 切比雪夫多项式(可选)

4. 5. 1 切比雪夫多项式性质

4. 5. 2　最小上界

4. 5. 3 等距节点

4. 5. 4　切比雪夫节点

4. 5. 5 龙格现象

4. 5. 6 区间变换

4. 5. 7 正交性质

4. 5. 8　MATLAB

4. 5. 9 习题

4. 5. 10　算法与程序

4. 6 帕德逼近

4. 6. 1 连分式

4. 6. 2 习题

4. 6. 3　算法与程序

第5章 曲线拟台

5. 1 最小二乘拟合曲线

5. 1. 1　求最小二乘曲线

5. 1. 2　幂函数拟合y＝AxM

5. 1. 3 最小二乘拟合曲线的练习

5. 1. 4　算法和程序

5. 2 曲线拟合

5. 2. 1　对y=CeAx线性化方法

5. 2. 2 求解y＝CeAx的非线性最小二乘法

5. 2. 3　数据线性化变换

5. 2. 4　线性最小二乘法

5. 2. 5 矩阵公式

5. 2. 6　多项式拟合

5. 2. 7　多项式摆动

5. 2. 8 曲线拟合的练习

5. 2. 9　算法和程序

5. 3　样条函数插值

5. 3. 1　分段线性插值

5. 3. 2　分段三次样条曲线

5. 3. 3　三次样条的存在性

5. 3. 4　构造三次样条

5. 3. 5 端点约束

5. 3. 6　三次样条曲线的适宜性

5. 3. 7 样条函数插值的练习

5. 3. 8　算法和程序

5. 4　傅里叶级数和三角多项式

5. 4. 1 三角多项式逼近

5. 4. 2 傅里叶级数和三角多项式的练习

5. 4. 3　算法和程序

第6章　数值微分

6. 1 导数的近似值

6. 1. 1　差商的极限

6. 1. 2　中心差分公式

6. 1. 3　误差分析和优化步长

6. 1. 4 Richardson外推法

6. 1. 5 导数近似值的练习

6. 1. 6　算法和程序

6. 2　数值差分公式

6. 2. 1 更多的中心差分公式

6. 2. 2　误差分析

6. 2. 3　拉格朗日多项式微分

6. 2. 4　牛顿多项式微分

6. 2. 5 数值微分公式的练习

6. 2. 6　算法和程序

第7章　数值积分

7. 1 积分简介

7. 1. 1 习题

7. 2　组合梯形公式和辛普生公式

7. 2. 1 误差分析

7. 2. 2 习题

7. 2. 3　算法与程序

7. 3 递归公式与龙贝格积分

7. 3. 1　龙贝格积分

7. 3. 2 习题

7. 3. 3　算法与程序

7. 4 自适应积分

7. 4. 1 区间细分(refinement)

7. 4. 2 精度测试

7. 4. 3 算法与程序

7. 5 高斯-勒让德积分(可选)

7. 5. 1 习题

7. 5. 2 算法与程序

第8章 数值优化

8. 1 函数极小值

8. 1. 1 搜索方法

8. 1. 2 求解f(x, y)的极值

8. 1. 3 Nelder-Mead法

8. 1. 4 根据导数求极小值

8. 1. 5 最速下降法

8. 1. 6　求解函数极小值的练习

8. 1. 7　算法和程序

第9章　微分方程求解

9. 1　微分方程导论

9. 1. 1 初值问题

9. 1. 2　几何解释

9. 1. 3 习题

9. 2 欧拉方法

9. 2. 1 几何描述

9. 2. 2　步长与误差

9. 2. 3 习题

9. 2. 4　算法与程序

9. 3 休恩方法

9. 3. 1　步长与误差

9. 3. 2 习题

9. 3. 3　算法与程序

9. 4　泰勒级数法

9. 4. 1 习题

9. 4. 2　算法与程序

9. 5 龙格-库塔方法

9. 5. 1　关于该方法的讨论

9. 5. 2　步长与误差

9. 5. 3 N＝2的龙格-库塔方法

9. 5. 4　龙格-库塔-费尔博格方法(RKF45)

9. 5. 5 习题

9. 5. 6　算法与程序

9. 6　预测-校正方法

9. 6. 1 阿达姆斯-巴什弗斯-摩尔顿方法

9. 6. 2　误差估计与校正

9. 6. 3 实际考虑

9. 6. 4　米尔尼-辛普生方法

9. 6. 5　误差估计与校正

9. 6. 6　正确的步长

9. 6. 7 习题

9. 6. 8　程序与算法

9. 7　微分方程组

9. 7. 1 数值解

9. 7. 2　高阶微分方程

9. 7. 3 习题

9. 7. 4　算法与程序

9. 8 边值问题

9. 8. 1 分解为两个初值问题：线性打靶法

9. 8. 2 习题

9. 8. 3　算法与程序

9. 9　有限差分方法

9. 9. 1 习题

9. 9. 2　算法与程序

第10章 偏微分方程数值解

10. 1 双曲型方程

10. 1. 1 波动方程

10. 1. 2 差分方程

10. 1. 3 初始值

10. 1. 4 D'Alembert方法

10. 1. 5 给定的两个确定行

10. 1. 6 双曲线型方程的练习

10. 1. 7　算法和程序

10. 2　抛物型方程

10. 2. 1　热传导方程

10. 2. 2　差分方程

10. 2. 3　Crank-Nicholson法

10. 2. 4 抛物型方程的练习

10. 2. 5 算法和程序

10. 3 椭圆型方程

10. 3. 1 Laplace差分方程

10. 3. 2 建立线性方程组

10. 3. 3 导数边界条件

10. 3. 4 迭代方法

10. 3. 5 Poisson方程和Helmholtz方程

10. 3. 6 改进

10. 3. 7 椭圆型方程的练习

10. 3. 8　算法和程序

第11章 特征值与特征向量

11. 1 齐次方程组：特征值问题

11. 1. 1 背景知识

11. 1. 2 特征值

11. 1. 3　对角化

11. 1. 4　对称性的优势

11. 1. 5　特征值范围估计

11. 1. 6　方法综述

11. 1. 7　齐次方程组：特征值问题的练习

11. 2 幂方法

11. 2. 1 收敛速度

11. 2. 2　移位反幂法

11. 2. 3　幂法的练习

11. 2. 4　算法和程序

11. 3　雅克比方法

11. 3. 1　平面旋转变换

11. 3. 2　相似和正交变换

11. 3. 3 雅克比序列的变换

11. 3. 4 一般步骤

11. 3. 5　使dpq和dqp为零

11. 3. 6　一般步骤总结

11. 3. 7　修正矩阵的特征值

11. 3. 8　消去apq的策略

11. 3. 9 雅克比法的练习

II. 3. 10 算法和程序

11. 4 对称矩阵的特征值

11. 4. 1 Householder法

11. 4. 2 Householder变换

11. 4. 3 三对角形式归约

11. 4. 4 QR法

11. 4. 5 加速移位

附录 MATLAB介绍

参考文献

习题答案