丙【六】与丁【十二】皆加倍之比例也
又有戊乙丙辛四率戊【二】与乙【八】若丙【六】与辛【二十四】皆四倍之比例也
此两比例原不同理特以两理之第二第三同为乙【八】丙【六】故两理之第一第四能互用为同理之比例【先理之第一甲四与次理之第四辛二十四若次理之第一戊二与先理之四丁十二皆六倍之比例也】
论曰凡二率三率相乘为实首率为法得四率今两理所用之实皆乙【八】丙【六】相乘【四十八】之实惟甲【四】为法则得十二若戊【二】为法则得二十四矣法大者得数小法小者得数大而所用之实本同故互用之即为同理之比例也
试以先理之四率更为首率其理亦同【丁与辛若戊与甲皆加倍比例】若反之令两四率并为首率亦同【甲与戊若辛与丁皆折半比例】并如后图
第三题
斜弧三角形以各角对各边其正皆为同比例
乙丙丁斜弧三角形任从乙角作乙甲垂弧至对边分元形为两正角形甲为正角
依前正角形论各对边之正与所对角之正比例皆等
乙甲丁形丁角正与乙角正若半径【即甲角正】与丁乙正是一理也
乙甲丙形丙角正与乙甲正若半径与乙丙正是又一理也
两理之第二同为乙甲第三同为半径则两理之首末二率为互视之同比例故丁角之正与乙丙之正若丙角之正与丁乙之正也
又如法从丁角作丁戊垂弧至对边分两形而戊为正角则乙角正与丁丙正亦若丙角正与乙丁正 又从丙作垂弧分两形而壬为正角则乙角与丁丙亦若丁角与乙丙
一 丁角正 丙角正
乙丙丁斜弧三角形丁为钝角 法从乙角作乙甲垂弧于形外亦引丙丁弧防于甲成乙甲丁虚形亦凑成乙甲丙虚实合形甲为正角
乙甲丁形丁角之正与乙甲边若半径与乙丁边正一理也 乙甲丙形丙角之正与乙甲边若半径与乙丙正又一理也 准前论两理之第二第三既同则丁角正与乙丙正若丙角正与乙丁正也
论曰丁角在虚形是本形之外角也何以用为内角曰凡钝角之正与外角之正同数故用外角如本形角也
若用乙角与丁丙边则作丙庚弧于形外取庚正角其理同上或作丁戊垂弧于形内取戊正角分两形则如前法并同
用法
凡弧三角形【不论正角斜角】但有一角及其对角之一弧则其余有一角者可以知对角之弧而有一弧者亦可以知对弧之角皆以其正用三率比例求之
假如乙丁丙三角形先有丁角及相对之乙丙弧则其余但有丙角可以知乙丁弧有乙角可以知丁丙弧此为角求弧也若有乙丁弧亦可求丙角有丁丙弧亦可求乙角此为弧求角也
一 丁角正 一 乙丙正
二 乙丙正 二 丁角正
三 丙角正 乙角正 三 乙丁正 丁丙正四 乙丁正 丁丙正 四 丙角正 乙角正
厯算全书巻七
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书巻八
宣城梅文鼎撰
弧三角举要巻三
斜弧三角形作垂弧説
正弧形有正角如平三角之有句股形也斜弧形无正角如平三角之有锐钝形也平三角锐钝二形并以虚线成句股故斜弧形亦以垂弧成正角也正弧形以正等线立算句股法也斜弧形仍以正角立算亦句股法也
斜弧三角用垂弧法
垂弧之法有三其一作垂弧于形内则分本形为两正角形其二作垂弧于形外则补成正角形其三作垂弧于次形
总法曰三角俱锐垂弧在形内一钝二鋭或在形内或在形外【自钝角作垂弧则在形内自锐角作垂弧则在形外】两钝一锐或三角俱钝则用次形其所作垂弧在次形之内之外【次形无钝角垂弧在其内有钝角垂弧在其外若破钝角亦可在内】
第一法垂弧在形内成两正角【内分五支】
设甲乙丙形有丙鋭角有角旁相连之乙丙甲丙二边求对边及余两角
法于乙角【在先有乙丙边之端乃不知之角】作垂弧【如乙丁】至甲丙边分甲丙边为两即分本形为两而皆正角【凡垂弧之所到必正角也角不正即非垂弧故所分两角皆正后仿此】 一乙丁丙形此形有丁正角丙角乙丙边为两角一边可求丁丙边【乃丙甲之分】乙丁边【即垂弧】及丁乙丙角【即乙分角】 次乙丁甲形有丁正角甲丁边【甲丙内减丁丙其余丁甲】乙丁边为一角两边可求乙甲边甲角及丁乙甲分角 末以两乙角并之成乙角
或如上图丁甲角端作垂弧至乙丙边分乙丙为两亦同
右一角二边而先有者皆角旁之边为形内垂弧之第一支【此所得分形丁丙边必小于元设边即垂弧在形内而甲为鋭角】
设甲乙丙形有丙锐角有角旁相连之丙乙边及与角相对之乙甲边求余两角一边
法于不知之乙角【在先有二边之中】作乙丁垂弧分两正角形一乙丙丁形此形有丁正角有丙角有乙边边可求乙丁分线及所分丁丙边及丁乙丙分角 次乙甲丁形此形有丁正角有乙丁边有乙甲边可求甲角及丁乙甲分角丁甲边 末以两分角【丁乙丙及丁乙甲】并之成乙角以两分边【丁丙及丁甲】并之成甲丙边
右一角二边而先有对角之边为形内垂弧之第二支
设甲乙丙形有乙丙二角有乙丙边【在两角之间】求甲角及余边
法于乙角作垂弧分两形并如前【但欲用乙丙边故破乙角存丙角】一乙丙丁形有丁正角丙角乙丙边可求乙丁边丁丙边丁乙丙分角 次乙丁甲形有乙丁边丁正角丁乙甲分角【原设乙角内减丁乙丙得丁乙甲】可求乙甲边甲角及甲丁边末以甲丁并丁丙得甲丙边
或于丙角作垂弧亦同
若角一钝一鋭即破钝角作垂线其法并同
右二角一边而边在两角之间不与角对为形内垂弧之第三支【此必未知之角为锐角则垂弧在形内】
设甲乙丙形有丙甲二角有乙甲边【与丙角相对与甲角相连】求乙角及余二边
法于乙角【为未知之角】作垂弧分为两形而皆正角 一乙丁甲形有丁正角甲角乙甲边可求甲丁边乙丁边丁乙甲分角 次丁乙丙形有丁正角乙丁边丙角可求乙丙边丁丙边丁乙丙分角 末以甲丁丁丙并之成甲丙边 以两分角【丁乙甲丁乙丙】并之成乙角
右二角一边而先有对角之边为形内垂弧之第四支【此先有二角必俱锐则垂弧在内】
设乙甲丙形有三边而内有【乙甲乙丙】二边相同求三角
法从乙角【在相同二边之间】作垂弧至丙甲边【乃不同之一边】分两正角形【其形必相等而甲丙线必两平分】 乙丙丁形有丁正角乙丙边丁丙边【即甲丙之半】可求丙角乙分角【乃乙角之半】倍之成乙角而甲角即同丙角【不须再求】
右三边求角而内有相同之边故可平分是为形内垂弧之第五支【此必乙丙乙甲二边并小在九十度内若九十度外甲丙二角必俱钝当用次形详第三又法】
第二法垂弧在形外补成正角【内分七支】
设甲乙丙形有丙锐角有夹角之两边【乙丙甲丙】求乙甲边及余两角
法自乙角【在先有边之一端】作垂弧【乙丁】于形外引丙甲边至丁补成正角形二【一丙乙丁半虚半实形二甲乙丁虚形】 先算丙乙丁形此形有乙丙边丙角有丁正角可求丙乙丁角【半虚半实】乙丁边【形外垂弧】丁丙边【丙甲引长边】 次甲乙丁虚形有丁正角有乙丁边甲丁边【丁丙内减内甲得甲丁】可求乙甲边甲角及甲乙丁虚角末以甲角减半周得原设甲角以甲乙丁虚角减丙乙丁角得原设丙乙甲角右一角二边角在二边之中而为锐角是为形外垂弧之第一支【此所得丁丙必大于原设边即垂弧在形外而甲为钝角】
设乙甲丙形有甲钝角有角旁之【丙甲乙甲】二边求乙丙边及余二角
法于乙角作垂弧【乙丁】引丙甲至丁补成正角 先算乙丁甲虚形此形有丁正角甲角【即原设甲角减半周之余亦曰外角】有乙甲边可求甲丁边乙丁边丁乙甲虚角 次丁乙丙形有乙丁边丁丙边【甲丙加丁甲得之】丁正角可求乙丙边丙角丙乙丁角 末于丙乙丁内减丁乙甲虚角得原设乙角
或从丙作垂弧至戊引乙甲边至戊补成正角亦同
右一角二边角在二边之中而为钝角乃形外垂弧之第二支
设乙甲丙形有丙锐角有角旁之乙丙边有对角之乙甲边求丙甲边及余二角
法从乙角作垂弧至丁成正角【亦引丙甲至丁】 先算丙乙丁形有丁正角丙角乙丙边可求诸数【乙丁边丁丙边丙乙丁角】 次丁乙甲虚形有丁正角乙丁乙甲二边可求诸数【乙甲丁角甲乙丁角甲丁边】 末以所得虚形甲角减半周得原设甲钝角于丙乙丁内减虚乙角得原设乙角于丁丙内减甲丁得原设丙甲
右一角二边角有所对之边而为锐角乃形外垂弧之第三支【此必甲为钝角故垂弧在外】
设乙甲丙形有甲钝角有角旁之甲丙边及对角之乙丙边求乙甲边及余二角
法于丙角作垂弧至戊补成正角 先算虚形【甲丙戊】有戊正角甲角【甲钝角减半周之余】甲丙边可求诸数【丙戊边甲戊边丙虚角】次虚实合形【乙丙戊】有戊正角丙戊边乙丙边可求原
设乙角及诸数【乙丙戊角乙戊边】 末以先得虚形数减之得原设数【丙角内减丙虚角得原设丙角乙戊内减甲戊虚引边得原设乙甲边】
右一角二边角有所对之边而为钝角乃形外垂弧之第四支【此先得钝角垂线必在外】
设乙甲丙形有丙甲二角【一锐一钝】有丙甲边在两角之中
法于丙锐角作垂弧至丁【在甲钝角外】补成正角 丁丙甲虚形有丁正角甲外角丙甲边可求诸数【丙丁边甲丁边丙虚角】次乙丙丁形【半虚实】有丁正角丙丁边丙角【以丙虚角补原设丙】
【角得丁丙乙角】可求原设乙丙边乙角及乙甲边【求得乙丁边内减虚形之甲丁边得原设甲乙边】
右二角一边边在两角间为形外垂弧之第五支【此亦可于甲钝角作垂弧则在形内法在第一法之第三支】
设乙甲丙形有乙甲二角【乙锐甲钝】有丙甲边与乙锐角相对【钝角相连】
法于丙锐角作垂弧至戊【在丙甲边外】补成正角 甲戊丙虚形有戊正角有丙甲边甲角【原设形之外角】可求诸数【丙戊甲戊二边丙虚角】 次乙丙戊形有戊正角乙角丙戊边可求丙角【求得乙丙戊角内减丙虚角得元设丙角】乙丙边乙甲边【求到乙戊边内减甲戊得乙甲】右二角一边而边对鋭角为形外垂弧之第六支
设乙甲丙形有乙锐角甲钝角有丙乙边与甲钝角相对【锐角相连】
法于丙锐角作垂弧至戊【在甲钝角外】补成正角 乙丙戊形有戊正角乙角乙丙边可求诸数【丙戊乙戊二边乙丙戊角】 次甲丙戊虚形有戊正角甲外角丙戊边可求原设丙甲边甲乙边【求到戊甲虚边以减乙戊得原设乙甲】丙角【求到丙虚角以减乙丙戊角得原设丙角】
右两角一边而边对钝角为形外垂弧之第七支
第三垂弧又法 用次形【内分九支】
设乙甲丙形有乙丙二角有乙丙边在两角间而两角并钝求余二边及甲角
法引丙甲至己引乙甲至戊各满半周作戊己边与乙丙等而己与戊并乙丙之外角成甲戊己次形依法作垂弧于次形之内【如己丁】分为两形【一己丁戊一己丁甲】可求乙甲边【以己丁戊分形求到丁戊以己丁甲形求到甲丁合之成甲戊以减半周即得乙甲】丙甲边【以己丁甲分形求到己甲以减半周即得丙甲】甲角【以己丁甲分形求到甲交角】
右二角一边边在角间而用次形为垂弧又法之第一支
论曰旧説弧三角形以大边为底底旁两角同类垂弧在形内异类垂弧在形外由今考之殆不尽然盖形内垂弧分底弧为两成两正角形所用者锐角也【底旁原有两锐角分两正角形则各有两锐角】形外垂弧补成正角形所用者亦锐角也【底旁原有一锐角补成正角形则虚实两形各有两锐角】故惟三锐角形作垂弧于形内一钝两锐则垂弧或在形内或在形外若两钝一鋭则形内形外俱不可以作垂弧【垂弧虽有内外而其用算时并为一正角两锐角之比例若形有两钝角则虽作垂弧只能成一正一钝一锐之形无比例可求则垂弧为徒设矣】故必以次形通之而所作垂弧即在次形不得谓之形内然则同类之説止可施于两锐【若两钝虽亦同类而不可于形内作垂弧】异类之説止可施于一钝两锐【若两钝一锐而底弧之旁一钝一锐虽亦异类然不可于形外作垂弧】非通法矣【两钝角不用次形垂弧之法己穷况三钝角乎】
又论曰以垂弧之法征之则大边为底之说理亦未尽盖钝角所对边必大既有形外立垂线垂弧之法则钝角有时在下而所对之边在上矣不知何术能
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