常令大边为防乎此尤易见
设乙甲丙形有丙甲二角有乙甲边与丙角相对而两角俱钝求乙角及余边
如法引甲乙丙乙俱满半周防于己成丙甲己次形作己丁垂弧于次形内分次形为两可求乙角【依法求到分形两己角合之为次形己角与乙对角等】甲丙边【求到分形甲丁及丁丙并之即甲丙】乙丙边【求到次形己丙以减半周得之】
右二角一边边与角对而用次形为垂弧又法之第二支此三角俱钝也或乙为鋭角亦同
设乙甲丙形有乙丙乙甲两边有乙角在两边之中
法用甲乙戊次形【有乙甲边有乙戊边为乙丙减半周之余有乙外角】作甲丁垂弧分为两形可求丙甲边及余两角【以乙甲丁分形求到丁乙及甲分角人以甲戊丁形求到甲戊以减半周为丙甲又得甲分角并先所得成甲角即甲外角又得戊角即丙对角】右二边一角角在二边之中而用次形为垂弧又法之第三支
或丙为钝角则于次形戊角作垂弧法同上条
设乙甲丙形有丙角有甲丙边与角连有乙甲边与角对
法用甲己戊次形【甲己为甲乙减半周之余甲戊为甲丙减半周之余戊角为丙之外角】作垂弧【甲丁】于内分为两形可求丙乙边及余两角【以甲丁戊分形求丁戊及甲分角又以甲丁己形求得丁己以并丁戊成己戊即丙乙也又得分角以并先得分角即甲交角也又得己角即乙外角也】
右二边一角角与边对而用次形为垂弧又法之第四支若甲为钝角亦同
论曰先得丙钝角宜作垂弧于外而乙亦钝角不可作垂弧故用次形
设乙甲丙形有三边内有【乙甲丙甲】二边相同而皆为过弧求三角
法引相同之二边各满半周作弧线聨之成戊甲己次形如法作甲丁垂弧分次形为两【其形相等】可求相同之二角【任以甲丁戊分形求到戊角以减半周得乙角亦即丙角】及甲角【求到甲半角倍之成甲角】右三边求角内有相同两大边为垂弧又法之第五支 若甲为鋭角亦同
以上垂弧并作于次形之内
设乙甲丙形有丙甲二钝角有甲丙边在两角间
法引乙丙乙甲满半周防于戊成甲戊丙次形自甲作垂弧与丙戊引长弧防于丁补成正角可求乙甲边乙丙边乙角【先求丙甲丁形诸数次求甲戊丁得甲戊以减半周为甲乙又以丁戊减先得丁丙得丙戊以减半周为乙丙又求得戊虚角减半周为戊角即乙对角】
右两钝角一边边在角间而于次形外作垂弧为又法之第六支
或自丙角作垂弧亦同
设乙甲丙形有乙甲二钝角有甲丙边与角对
法引设边成丙戊甲次形【有甲外角有戊钝角为乙对角有丙甲边】如上法作丙丁垂弧引次形边防于丁可求乙丙边【先求甲丁丙形诸数次丙丁戊虚形求到丙戊以减半周为乙丙】乙甲边【先求到丁甲以虚线丁戊减之得戊甲即得乙甲】丙角【先求到甲丙丁角内减丙虚角得丙外角即得元设丙角】
右二角一边边与角对垂弧在次形外为又法之第七支
设乙甲丙形有丙钝角有角旁之两边【丙乙丙甲】
法用甲戊丙次形作甲丁垂弧引丙戊防于丁可求乙甲边及甲乙二角【先以甲丁丙形求到诸数再以甲丁戊虚形求甲戊即得乙甲又甲虚角减先得甲角成甲外角又戊虚角即乙外角】
右二边一角角在二边之中垂弧在次形外为又法之第八支
设乙甲丙形有甲钝角有一边与角对【乙丙】一边与角连【丙甲】
法用丙戊甲次形自丙作垂弧与甲戊引长边防于丁可求乙甲边及余两角【依法求到甲戊即得乙甲求戊角即乙角以丙虚角减先得丙角即丙外角】
右二边一角角有对边垂弧在次形外为又法之第九支
以上垂弧并作于次形之外
论曰三角俱钝则任以一边为底其两端之角皆同类矣今以次形之法求之而垂弧尚有在次形之外者益可与前论相发也
弧三角举要卷四
弧三角用次形法
次形之用有二
正弧三角斜弧三角并有次形法而其用各有二其一易大形为小形则大边成小边钝角成锐角其一易角爲弧易弧为角则三角可以求边亦二边可求一边
第一正弧三角形易大为小 用次形
如图戊己甲乙半浑圜以【戊丙甲己丙乙】两半周线分为弧三角形四【一戊丙乙二己丙戊三己丙甲并大四乙丙甲为最小】今可尽易为小形一戊丙乙形易为乙甲丙形【戊丙减半周余丙甲又戊乙减半周余乙甲而乙丙为同用之弧则三边之正同也乙丙甲角为戊丙乙外角甲乙丙为戊乙丙外角戊角又同甲角则三角之正同也故算甲丙乙即得戊丙乙】
二己丙戊形易为乙甲丙形【乙甲己及甲己戊并半周内各减己甲则乙甲同己戊而乙丙于己丙及甲丙于戊丙皆半周之余又甲戊并正角丙为交角而乙角又为己角之外角故算乙丙甲得己丙戊】
三己丙甲形易为乙丙甲形【乙甲为己甲减半周之余乙丙为丙己减半周之余而同用甲丙又次形丙角为元形之外角乙角同己角甲同为正角故算乙丙甲得己丙甲】
用法
凡正弧三角内有大边及钝角者皆以次形立算但于得数后以次形之边与角减半周即得元形之大边及钝角【其元形内原有小边及锐角与次形同者径用得数命之不必复减半周】斜弧同以上易大形为小形而大边成小边钝角成鋭角为正弧三角次形之第一用【大边易小钝角易鋭则用算画一算理易明其算例并详
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