详第二用】
第二正弧三角形弧角相易 用次形【内分四支】
一乙甲丙形易为丁丙庚次形
解曰丁如北极 戊己壬甲如赤道圈 己庚乙如黄道半周 辛丁壬如极至交圈【壬如夏至辛如冬至】 戊丁甲如所设过极经圈 乙如春分己如秋分并以庚壬大距爲其度 丙如所设某星黄道度 丙乙如黄道距春分度其余丙庚即黄道距夏至为次形之一边 丙甲如黄赤距度其余丙丁即丙在黄道距北极度为次形又一边 庚丁如夏至黄道距北极而为乙角余度是角易为边也【壬庚为乙角度其余庚丁】是为次形之三边
又丙交角如黄道上交角 庚正角如黄道夏至 甲乙如赤道同升度其余壬甲如赤道距夏至即丁角之弧是边易为角也则次形又有三角
用法
假如有丙交角乙春分角而求诸数是三角求边也【乙丙两角幷甲正角而三】法为丙角之正与乙角之余若半径与丙甲之余得丙甲边可求余边
一 丙角正 丙角正
二 乙角余 丙角正
三 半径【甲角 在次形】 半径【庚角】
四 甲丙余 丁丙正
右以三角求边也若三边求角反此用之
若先有乙丙边乙甲边而求甲丙边则为乙甲余【即次形丁角正】与乙丙余【即庚丙正】若半径【甲角即次形庚角】与甲丙余【即丁丙正】
或先有乙丙边甲丙边而求乙甲边则为甲丙余【即丁丙正】与乙丙余【即庚丙正】若半径【甲角即庚角】与乙甲余【即丁角正】
或先有乙甲边甲丙边而求乙丙边则为半径【甲角即庚角】与甲丙余【即丁丙正】若乙甲余【即丁角正】与乙丙余【即庚丙正】
右皆以两弧求一弧而不用角也
以上爲乙甲丙形用次形之法本形三边皆小一正角偕两锐角次形亦然所以必用次形者为三角求边之用也是为正弧三角次形第二用之第一支
二己丙甲形【甲正角余二角丙钝己锐丙甲边小余二边并大】易为丁丙庚次形
法曰截己甲于壬截己丙于庚使己壬己庚皆满九十度作壬庚丁象限弧又引丙甲边至丁亦满象限而成丁丙庚次形此形有丁丙边为丙甲之余有庚丙边为己丙之余【凡过弧内去象限其余度正即过弧之余故己丙内减己庚而庚丙为其余弧】有庚丁边为己角之余乃角易为边也【庚与壬皆象限即庚壬为己角之度而丁庚为其余】又有丙锐角爲元形丙钝角之外角有庚正角与元形甲角等【壬庚既为己角之弧则壬与庚必皆正角】有丁角为己甲边之余【己甲过弧以壬甲为余度説见上文】乃边易为角也
用法
假如有甲正角己锐角丙钝角而求丙甲边法为丙钝角之正【即次形丙锐角正盖外角内角正同用也】与己角之余【即次形丁庚边之正】若半径【即次形庚正角之正】与丙甲边之余【即次形丁丙边】
既得丙甲可求己丙边 法为半径与丙角余若甲丙余切【次形为丁丙正切】与己丙余切【次形为庚丙正切】得数以减半周为己丙下同【凡以八线取弧角度者若系大边钝角皆以得数与半周相减命度后仿此】求己甲边 法为己角之余【即庚丁正】与丙角之正若己丙之余【即庚丙正】与己甲之余【即丁角正其弧壬甲】
右三角求边
又如有己甲己丙两大边求丙甲边 法为己甲余【即丁角正】与己丙余【即庚丙正】若半径与丙甲余【即丁丙正】
或有己甲丙甲两边求己丙大边 法为半径与丙甲余【即丁丙正】若己甲余【即丁角正】与己丙余【即庚丙正得数减半周为己丙下同】
或有丙甲己二边求己甲大边 法为丙甲余与半径若己丙余与己甲余【即上法之反理】
右二边求一边
以上己丙甲形用次形之法本形有两大边一钝角次形则边小角锐而且以本形之边易为次形之角本形之角易为次形之边【后二形并同】是为正弧三角次形第二用之第二支
三己丙戊形【戊正角己钝角丙锐角己丙与戊丙并大边】易为丁丙庚次形
法曰以象限截己丙于庚其余庚丙截戊丙于丁其余丁丙为次形之二边作丁庚弧其度为己角之余【己钝角与外锐角同以壬庚之度取正其余丁庚为己外角之余亦即为己钝角之余】角易边也次形又为元形之截形同用丙角又庚正角与戊角等而丁角即己戊边之余度【试引己戊至辛成象限则戊辛等壬甲皆丁角之度而又为己戊之余】边易角也
用法
假如有丙锐角己钝角偕戊正角求戊丙边 法为丙角正与己角余【即庚丁正】若半径与戊丙余【即丁丙正】得数减半周为戊丙【下同】
既得戊丙可求己丙 法为半径与丙角余若戊丙余切【即丁丙正切】与己丙余切【即庚丙正切】
求己戊边 法为戊丙余【即丁丙正】与半径若己丙余【即庚丙正】与己戊余【即丁角正】
以上己丙戊形三角求边为正弧三角次形第二用之第三支
四乙丙戊形【戊正角乙丙并钝角戊乙戊丙并大边乙丙小边】易为丁丙庚次形
法曰引乙丙边至庚满象限得次形丙庚边【即乙丙之余】于丙戊截戊丁象限得次形丁丙边【为戊丙之余】而丁即为戊乙弧之极【戊正角至丁九十度故知之】从丁作弧至庚成次形庚丁边为乙角之余是角易为边也【试引庚丁至辛则辛丁亦象限而辛为正角庚亦正角乙庚乙辛皆象限弧是庚丁辛即乙钝角之弧度内截丁辛象限而丁庚为乙钝角之余度矣】又庚正角与戊等丙为外角丁角为乙戊边之余是边易为角也【乙戊丙截乙辛象限其余戊辛即丁交角之弧】
用法
假如三角求边以丙角正为一率乙角余为二率半径为三率求得戊丙余为四率以得数减半周为戊丙余并同前
以上乙丙戊形三角求边为正弧三角次形第二用之第四支
论曰厯书用次形止有乙甲丙形一例若正角形有钝角及大边者未之及也故特详其法
又论曰依第一用法大边可易为小钝角可易为锐则第二三四支皆可用第一支之法而次形如又次形矣【己丙甲形己丙戊形乙丙戊形皆易为乙甲丙形而乙甲丙又易为丁丙庚是又次形也】
正弧形弧角相易又法 用又次形
甲乙丙正弧三角形易为丁丙庚次形再易为丁戊壬形
法曰依前法引乙丙边甲乙边各满象限至庚至己作庚己弧引长之至丁亦引甲丙防于丁亦各满象限成丁丙庚次形
又引丙庚至辛引丙丁至戊亦满象限作辛戊弧引之至壬亦引庚丁防于壬则辛壬庚壬亦皆象限成丁戊壬又次形此形与甲乙丙形相当
论曰乙丙边易为壬角【乙庚及丙辛皆象限内减同用之丙庚则辛庚即乙丙而辛庚即壬角之弧】乙甲边易为丁角【乙甲之余度己甲即丁交角之弧】是次形之两角即元形之两边也乙角易为丁壬边【丁己及庚壬俱象限内减同用之庚丁则丁壬即己庚而为元形乙角之弧】丙角易为戊壬边【丙交之弧弧辛戊其余为次形戊壬】是次形之两边即元形之两角而次形戊丁边即元形丙甲次形戊角即元形甲角
用法
若原形有三角则次形有戊直角有戊壬丁壬二边可求乙甲边 法为乙角之正【即丁壬正】与半径若丙角之余【即戊壬正】与乙甲之余【即丁角正】
求乙丙边 法为乙角之切线【即丁壬切线】与丙角之余切【即戊壬正切】若半径与丙乙之余【即壬角余】既得两边可求余边
以上又次形三角求边为正弧三角第二用之又法
论曰用次形止一弧一角相易今用又次形则两弧并易为角两角并易为弧故于前四支并峙而为又一法也
第三斜弧三角易大为小 用次形【内分二支】
一甲乙丙二等边形 三角皆钝
如法先引乙丙边成全图又引甲丙甲乙两边出圜周外防于丁又引两边各至圜周【如戊如己】成乙丁丙及戊甲己两小形皆相似而等即各与元形相当而大形易为小形
论曰次形【甲戊甲己】二边为元形边减半周之余则同一正次形【己戊】二角为元形之外角亦同一正【甲乙戊为甲乙丙外角而与次形己角等甲丙己为甲丙乙外角亦与次形戊角等】而次形甲角原与元形为交角戊己边又等乙丙边【戊乙丙及己戊乙并半周各减乙戊则戊己等乙丙】故算小形与大形同法惟于得数后以减半周即得大边及钝角之度【置半周减戊甲得甲丙减己甲亦得甲乙又置半周减己锐角得元形乙钝角减戊鋭角亦得元形丙钝角其交角甲及相等之戊己边只得数便是并不用减】
论曰凡两大圈相交皆半周故丁丙与丁乙亦元形减半周之余又同用乙丙而乙与丙皆外角丁为对角故乙丙丁形与戊甲己次形等边等角而并与元形甲乙丙相当
右二边等形易大为小为斜弧次形第一用之第一支
二甲乙丙三边不等形 角一钝二锐
如法引乙丙作圜又引余二边【甲乙甲丙】至圜周【己戊】得相当次形己甲戊【算戊甲得甲丙算己甲得甲乙算己戊得乙丙】其角亦一钝二锐【算戊钝角得丙锐角算己鋭角得乙钝角而甲交角一算得之】
又戊甲乙形 角一钝二鋭 如法引戊乙作圜又引乙甲至圜周【己】成次形己甲戊与元形相当【算己甲得甲乙算己戊得戊乙又同用戊甲边故相当算甲锐角得甲钝角算戊钝角得戊鋭角算己角即乙角】
又甲己丙形 三角俱钝 如上法引丙己作圜又引丙甲至戊成次形己甲戊与元形相当【元形甲丙与戊甲元形己丙与己戊并减半周之余又同用己甲又丙钝角即戊钝角甲己两锐角并元形之外角】
右三边不等形易大爲小为斜弧次形第一用之第二支
第四斜弧三角形弧角互易 用次形【内分三支】
一乙甲丙形【三角俱钝】易为丑癸寅形【一钝二锐】
法曰引乙甲作圜次引乙丙至酉引甲丙至未并半周次以甲为心作丁辛癸寅弧乙为心作戊丑癸壬弧丙为心作丑子午寅弧三弧交处别成一丑癸寅形与元形相当而元形之角尽易为边边尽易为角
论曰甲角之弧丁辛与次形癸寅等则甲角易为癸寅边【丁癸及辛寅皆象限减同用之辛癸则癸寅同丁辛】乙角之弧己壬与次形丑癸等则乙角易为丑癸边【癸己及丑壬皆象限减同用之癸壬即丑癸同壬己】丙外角之弧午申【引丑午寅至申取亥申与庚子等成午申】与次形寅丑等则丙外角易为寅丑弧【丑午及寅申皆象限各加同用之午寅即午申等丑寅】是元形有三角即次形有三边也 又甲乙边之度易为癸外角【乙己及甲辰皆象限内减同用之甲己则乙甲同己辰为癸外角弧】甲丙边易为寅角【甲辛及丙子皆象限内减同用之丙辛则甲丙等辛子而同为寅角之弧】乙丙边易为丑角【乙壬及午丙皆象限内减同用之丙壬则乙丙等午壬而同为丑角之弧】是元形有三边即次形有三角也
又论曰有此法则三角可以求边【既以三角易为次形之三边再用三边求角法求得次形三角即反为元形之三边 三边求角法详别卷】
又论曰引丙甲出圜外至申亦引庚亥弧出圜外防于申则庚亥与子申并半周内各减子亥即子庚同亥申而子寅既象弧则寅申亦象弧矣以寅申象弧加午寅与以丑午象限【午壬为丑角之弧故丑午亦象限】加午寅必等而申午者丙外角之度丑寅者次形之边也故丙角能为次形之边也
又论曰凡引弧线出圜外者其弧线不离浑圜面幂因平视故为周线所掩稍转其浑形即见之矣但所引出之线原为半周之余见此余线时即当别用一圈为外周而先见者反有所掩如见亥申即不能见子庚故其度分恒必相当亦自然之理也
又论曰依第三用法之第二支丙未酉形及丙未乙形丙酉甲形并可易为甲乙丙则又皆以癸丑寅为又次形矣
右三角俱锐形弧角相易为斜弧次形第二用之第一支
二未丙酉形【三角俱钝】易为丑癸寅形【一钝二锐】
法曰引酉未弧作圜又引两边至圜周【如乙如甲】乃以未为心作丁辛癸寅辰弧以酉为心作戊丑癸壬己弧以丙为心作庚子丑寅午申弧亦引丙甲出圜外防于申三弧相交成丑癸寅形此形与元形相当而角尽易为弧弧尽易为角
论曰未外角之弧丁辛成次形癸寅弧【癸丁及寅辛皆象限内减同用之癸辛则癸寅即丁辛】酉外角之弧壬己成次形丑癸弧【壬丑及癸己皆象限各减癸壬则丑癸即壬己】丙外角之弧申午成次形寅丑弧【准前论庚亥及子申并半周则申亥等子庚而申寅为象限与午丑象限各减午寅即寅丑同申午】 是三角尽易为边也酉未边成癸外角【酉戊及未丁皆象限各减未戊则丁戊即酉未而为癸外角之弧若以丁戊减戊乙己半周其余丁乙己过弧亦即为癸交
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