如前所论】
求乙丙边 与前条同法【因丙乙两内角之正及差度并与两外角同而酉角又同甲角故也】
论曰三角求边必用次形而次形之用数得数并有用求度余度之异即此数条可知其槩
又论曰在本形为三角求边者在次形为三边求角故此数条即三边求角之例也【余详环中黍尺】
垂弧捷法【作垂弧而不用其数故称捷法】 亦为次形双法【用两次形故称双法】设亥甲丁形有甲亥边亥丁边亥角【在二边之中】求甲丁边【对角之边】
本法作垂弧分两形先求甲已边次求亥已边分丁巳边再用甲巳丁巳二边求甲丁边
今捷法不求甲已边但求亥已边分丁已边即用两分形之两次形以径得甲丁
一 亥已余 即次形亥戊正
二 亥甲余 即次形亥丙正
三 已丁余 即次形辛丁正
四 甲丁余 即次形庚丁正
法引甲亥边至丙引甲丁边至庚引甲已垂弧至乙皆满象限又引分形边亥已至戊引丁已至辛亦满象限末作辛庚乙丙戊半周与亥已遇于戊与丁已遇于辛成亥丙戊次形与甲已亥分形相当丁亥辛次形与甲已丁分形相当而此两次形又自相当【戊角辛角同以己乙为其度则两角等丙与庚又同为正角则其正之比例皆等】
论曰半径与戊角之正若戊亥之正与亥丙之正又半径与辛角【即戊角】之正若辛丁之正与丁庚之正合之则戊亥正与亥丙正亦若辛丁正与丁庚正
又论曰辛丁已亥戊如黄道半周辛庚乙丙戊如赤道半周甲如北极辛如春分戊如秋分已乙如黄赤大距即夏至之纬乃二分同用之角度【即戊角辛角之度】亥丙及丁庚皆赤纬甲亥及甲丁皆距北极之度【即赤纬之度】
一 戊亥正 黄经戊亥为未到秋分之度辛二 亥丙正 赤纬丁为已过春分之度似有三 辛丁正 黄经不同而二分之角度既同四 丁庚正 赤纬故其比例等
一 亥已余即亥戊正
二 亥甲余即亥丙正
三 已丁余即戊丁正
四 甲丁余即庚丁正
论曰此理在前论中盖以同用戊角故比例同也又论曰乙庚丙戊如赤道已丁亥戊如黄道皆象弧戊角如秋分其弧己乙如夏至距纬【此两黄经并在夏至后秋分前其理易见】或先有者是丁钝角甲丁丁亥二边则先求丁巳线【亦用前图】一 丁已余即戊丁正
二 甲丁余即丁庚正
三 亥已余即亥戊正
四 亥甲余即亥丙正
又论曰假如星在甲求其黄赤经纬则亥丁如两极之距亥角若为黄经则丁角为赤经而亥甲黄纬丁甲赤纬也若丁角为黄经则亥角为赤经而丁甲黄纬亥甲赤纬也【弧三角之理随处可施故举此以发其例】
弧三角举要卷五
八线相当法引
弧三角有以相当立法者何也以四率皆八线也弧三角四率何以皆八线而不用他线【八线但论度他线则有丈尺】浑体故也【弧三角皆在浑员之面】浑体异平而御浑者必以平是故八线之数生于平员而八线之用专于浑员也曷言乎专为浑员曰平三角之角之边皆直线也同在一平面而可以相为比例故虽用八线而四率中必兼他线焉【以八线例他线则用角可以求边以他线例八线则用边可以求角皆兼用两种线】弧三角之角之边皆弧度曲线也不同在平面故非八线不能为比例而四率中无他线焉既皆以八线相比例则同宗半径【有角之八线有边之八线各角各边俱非平面而可以相求者同一半径也】相当互视之法所由以立也错举似纷实则有条不紊故爲论列使有伦次云
八线相当法详衍
总曰相当分之则有二曰相当曰互视互视又分为二曰本弧曰两弧
但曰相当者皆本弧也又分为二曰三率连比例者以全数为中率也其目有三曰四率断比例者中有全数也其目有六凡相当之目九
互视者亦相当也皆爲断比例而不用全数若以四率之一与四相乗二与三相乗则皆与全数之自乗等也本弧之互视其目有三两弧之互视其目有九凡互
视之目十二
总名之皆曰相当其目共二十一内三率连比例三更之则六四率断比例十有八更之反之错而综之则百四十有四共百有五十
相当共九
一曰正与全数若全数与余割
二曰余与全数若全数与正割
三曰正切与全数若全数与余切
以上三法皆本弧皆三率连比例而以全数为中率
四曰正与余若全数与余切
五曰余与正若全数与正切
六曰正割与正切若全数与正
七曰余割与余切若全数与余
八曰正割与余割若全数与余切
九曰余割与正割若全数与正切
以上六法亦皆本法而皆四率断比例四率之内有一率为全数
互视共十二
一曰正与正切若余切与余割
二曰余与余切若正切与正割
三曰正与余若正割与余割
以上三法亦皆本弧皆四率断比例而不用全数然以四率之一与四二与三相乗则其两矩内形皆各与全数自乗之方形等
四曰此弧之正与他弧正若他弧之余割与此弧余割五曰此弧之正与他弧余若他弧之正割与此弧余割六曰此弧之正
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