与他弧正切若他弧之余切与此弧余割七曰此弧之余与他弧余若他弧之正割与此弧正割八曰此弧之余与他弧正若他弧之余割与此弧正割九曰此弧之余与他弧余切若他弧之正切与此弧正割十曰此弧之正切与他弧正切若他弧之余切与此弧余切十一曰此弧之正切与他弧正若他弧之余割与此弧余切十二曰此弧之正切与他弧余若他弧之正割与此弧余切以上九法皆两弧相当率也其爲四率断比例而不用全数则同若以四率之一与四二与三相乗其矩内形亦各与全数自乗之方形等
相当法错综之理
此三率连比例也首率与中率之比例若中率与末率故以首率末率相乗即与中率自乗之积等
假如三十度之正【○五○○○○】与全数【一○○○○○】之比例若全数【一○○○○○】与三十度之余割【二○○○○○】其比例皆为加例也更之则余割【二○○○○○】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与正【○五○○○○】其比例为折半也
又如三十度之余【○八六六○三】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与三十度之正割【一一五四七○】更之则正割【一一五四七○】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与余【○八六六○三】也
又如三十度之正切【○五七七三五】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与三十度之余切【一七三二○五】更之则余切【一七三二○五】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与正切【○五七七三五】也
用法
凡三率连比例有当用首率与中率者改为中率与末率假如有四率其一三十度正其二全数改用全数为一率三十度余割为二率其比例同
凡四率之前后两率矩内形与中两率矩形等故一与四二与三可互居也
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷八>
右四率断比例也一率与二率之比例若三率与四率假如三十度之正【○五○○○○】与其余【○八六六○三】若全数【一○○○○○】与其余切【一七三二○五】更之则余切【一七三二○五】与全数【一○○○○○】若余【○八六六○三】与正【○五○○○○】也【第四法】又如三十度之正割【一一五四七○】与其正切【○五七七三○】若全数【一○○○○○】与其正【○五○○○○】更之则全数【一○○○○○】与正割【一一五四七○】若正【○五○○○○】与正切【○五七七三五】也【第六法】又如三十度之余割【二○○○○○】与其正割【一一五四七○】若全数【一○○○○○】与其正切【○五七七三五】更之则正切【○五七七三五】与正割【一一五四七○】若全数【一○○○○○】与余割【二○○○○○】也【第九法余仿此】用法
凡四率断比例当用前两率者可以后两率代之假如有四率其一正其二余改用全数为一率余切为二率其比例同互视
此本弧中互相视之率也其第一与第四相乗矩第二与第三相乗矩皆与全数自乗方等故其边为互相视之边而相与爲比例皆等
假如三十度之正【○五○○○○】与其余割【二○○○○○】相乗【一○○○○○○○○○○】其余【○八六六○三】与其正割【一一五四七○】相乗【一○○○○○○○○弱】皆与全数自乗之方等故以正为一率余为二率正割为三率余割为四率则正【○五○○○○】与余【○八六六○三】若正割【一一五四七○】与余割【二○○○○○】也【第三法】又如三十度之正切【○五七七三五】与其余切【一七三二○五】相乗【一○○○○○○○○弱】亦与全数之方等故以正为一率余切为二率正切为三率余割为四率则正【○五○○○○】与正切【○五七七三五】若余切【一七三二○五】与余割【二○○○○○】也【第一法】或以余为一率余切爲二率正切为三率正割为四率则余【○八六六○三】与余切【一七三二○五】若正切【○五七七三五】与正割【一一五四七○】也【第二法】
用法
此亦四法断比例故当用前两率者可以后两率代之假如有四率当以正与正切为一率二率者改用余切为一率余割为二率以乗除之其比例亦同余仿此本弧诸线相当约法
其一为与股之比例反之则如股与全 正割 余切 余割 全余 正切 正正 正切 余 全 余割 余切 正割 全其二为与句之比例 反之则如句与全余割 正切 正割 全正 余切 余余 余切 正 全 正割 正切 余割 全其三为句与股之比例 反之则如股与句全余 余割 余切 全正割 正 正切正切 正 正割 全余切 余割 余 全右括本弧七十八法
如图甲丙甲乙甲丁皆半径全数乙丙为正弧乙丁为余弧乙戊为正庚丙为正切线庚甲为正割线乙己为余辛丁为余切线辛甲为余割线
此皆一定比例观图自明
外有余切余非与股之比例则借第二比例更之
一 甲乙全数【即甲丁】辛丁余切
四 辛丁余切甲丁全数
全数与余若余割与余切更之而余切与余若余割与全数也余割与全数既为与股则余切与余亦如与股矣
正切正非与句之比例则借第一比例更之一 甲乙全数【即甲丙】庚丙正切
四 庚丙正切甲丙全数
全数与正若正割与正切更之而正切与正若正割与全数也正割与全数既为与句则正切与正亦如与句矣
余割正割非句与股之比例则仍借第一比例更之
一 余割辛甲余割辛甲
二 全数甲丁【即甲丙】正割庚甲
三 正割庚甲全数甲丙
四 正切庚丙正切庚丙
余割与全数若正割与正切更之而余割与正割若全数与正切也全数与正切既爲句与股则余割与正割亦如句与股矣
【互视自此而分以前为本弧所用共大法三更之则二十有四合相当法则七十有八而总以三率连比例三大法为根】
【以后为两弧所用共大法九更之七十有二而仍以本弧之三率连比例为根】
九法
十二法
【以上大法三更之二十有四是以本弧之正切余切与他弧互视】
此皆两弧中互相视之率也本弧有两率相乗矩与全数之方等他弧亦有两率相乗矩与前数之方等则此四率为互相视之边互相视者此有一率赢于彼之一率若干倍则此之又一率必朒于彼之又一率亦若干倍而其比例皆相等故以此弧之两率为一与四则以他弧之两率为二与三
假如有角三十度边四十度此两弧也角之正【○五○○○○】与其余割【二○○○○○】相乗【一○○○○○○○○○】与全数自乗等边之正【○六四二七九】与其余割【一五五五七二】相乗【一○○○○○○○○弱】亦与全数自乗等则此四率为互相视之边互相视者言角之正【○五○○○○】与边之正【○六四二七九】若边之余割【一五五五七二】与角之余割【二○○○○○】也【第四法】
又如有二边大边五十度小边三十度大边之正【○七六六○四】余割【一三○五四一】相乗与全数自乗等小边之正切【○五七七三五】余切【一七三二○五】相乗亦与全数自乗等则此四者互相视互相视者言大边之正【○七六六○四】与小边之正切【○五七七三五】若小边之余切【一七三二○五】与大边之余割【一三○五四一】也【第六法】
又如有两角甲角三十度乙角五十度此亦两弧也甲角之正切【○五七七三五】余切【一七三二○五】相乗与全数自乗等乙角之正切【一一九一七五】余切【○八三九一○】相乗亦与全数自乘等则此 率为互相视之边互相视者言甲角之正切【○五七七三五】与乙角之正切【一一九一七五】若乙角之余切【○八三九一○】与甲角之余切【一七三二○五】也【第十法】
用法
假如别有四率以五十度正为第一三十度正切为第二今改用三十度余切第一五十度余割第二其比例同
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷八>如图壬丙爲本弧乙丙为他弧他弧小于本弧而并在半象限以内
本弧【正壬癸 余壬丑 正切庚丙余割未甲 正割庚甲 余切未丁】
他弧【正乙戊 余乙巳 正切辛丙余割酉申 正割辛甲 余切酉丁】
论曰甲丙甲丁皆半径乃本弧他弧所共也半径自乗之方幂为甲丙夘丁而本弧中以正乗余割以余乗正割以正切乗余切所作矩形既各与半径方幂等则他弧亦然故可以互相视而成相当之率
如上图壬丙本弧在半象限内巳丙他弧在半象限外亦同
如上图壬丙本弧小于乙丙他弧而并在半象限外并同
厯算全书卷八
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
小引
环中黍尺者所以明平仪弧角正形乃天外观天之法而浑天之画影也天圜而动无晷刻停而六合以内经纬厯然亘万古而不变此即常静之体也人惟囿于其中不惟常动者不能得其端倪即常静之体所为经纬厯然者亦无能拟诸形容惟置身天外以平观大圜之立体则周天三百六十经纬之度擘划分明皆能变浑体为平面而写诸片楮按度攷之若以玻璃水晶通明之质琢成浑象而陈之几案也又若有镂空玲珑之浑仪取影于烛而惟肖也故可以算法证仪亦可以量法代算可以独喻可以众晓平仪弧角之用斯其妙矣庚辰中秋鼎偶霑寒疾诸务屏絶展转牀褥间斗室虚明心闲无寄秋光入户秋夜弥长平时测算之绪来我胸臆积思所通引伸触类乃知厯书中斜弧三角矢线加减之图特以推明算理故为斜望之形其弧线与平面相离聊足以彷佛意象啓人疑悟而不可以实度比量固不如平仪之经纬皆为实度弧角悉归正形可以算即可以量为的确而简易也病间録枕上之所得輙成小帙然思之所引无方而笔之所追未能什一庶存大致竢同志之讲求耳【此第一卷原序也余详目録】
康熈三十有九年重九前七日勿庵力疾书时年六十有八
钦定四库全书
厯算全书卷九
宣城梅文鼎撰
环中黍尺卷一之二
总论
有垂弧及次形而斜弧三角可算乃若三边求角则未有以处也环中黍尺之法则可以三边求角【如有黄赤两纬度可求其经】可以径求对角之边【如有黄道经纬可径求赤道之纬】立术超妙而取径遥深非专书备论难谙厥故矣书成于康熈庚辰非一时之笔故与举要各自为首尾
凡测算必有图而图弧角者必以正形厥理斯显于是以测浑圆则衡缩欹衺环应无穷殆不翅累黍定尺也本书命名盖取诸此
用八线至弧度而竒然理本平实以八线量弧度至用矢而简然义益多通要亦惟平仪正形与之相应一卷之先数后数所为直探其根以发其藏也
平仪以视法变浑为平而可算者亦可量即眎度皆实度矣二卷之平仪论所以博其趣而三极通几其用法也【黍尺名书于兹益着】
矢度之用已详首卷而余之用亦可参观故又有三卷之初数次数也 初数次数本用乗除亦可以加减代之故有加减法以疏厥义【自三卷以后非非一时所撰今以类相附而仍各为之卷】
四卷之甲乙数即初数次数之变也而彼以乗除此以加减则繁简殊矣
五卷之法亦加减也而特为省径故称防焉【用初数不用次数用矢度不用余以视甲乙数又省其半】然不可不知其变故又有补遗之术也
恒星厯指之法别成规式而以加减法相提而论固异名而同实是以命之又法也
【以上环中黍尺之法约之有六用乘除者二其一先数后数其一初数次数也用加减者四初数次数也甲乙数也捷法也又法也本书中具此六术然而加减捷法其尤为善之善者欤】
外有不系三边求角之正用并可通之以加减之法者是为加减通法盖术之约者其理必精数之确者为用斯博并附数则于五卷之末以发其例
弧三角用平仪正形之理
作图之法有二一为借象一为正形以平写浑不得已而为侧睨遥望之形以曲状其变然多借象而非正形兹一准平仪法度寘二极于上下而从旁平视之【如置身大员之表以观大员】则浑球上凸面之经纬弧角一一可写于平面而悉为正形于是测望之法步算之源皆不烦笺疏而解
平仪用实度之理
斜视之图无实度可纪【弧角之形聊足相拟其实度非算不知】兹者平仪既归正形则度皆实度循图可得即量法与算法通为一术【以横径查角度以距纬查弧度并详二卷】
平仪用矢线之理
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