】若乙女【即夘危较弧余与对弧余之较】与乙房【先得数】
又房甲正之分为乙房犹亢巳之分为寅亢其全与分之比例皆相似【从房甲线切浑员成距等圏而房甲为其半径犹浑员之有亢巳为半径也两半径同为戊寅辛弧线所分则乙房为距等圏半径之矢度犹寅亢为大员半径之矢度也其比例俱相似】故房甲【大邉正即距等圏半径】与亢巳【大员之半径】若乙房【先得数即距等圏之矢】与寅亢【后得数即角之矢线】
以省算法平之即异乘同乘异除同除
较弧【二十九度五十分】余【八六七四八】正矢【一三二五二】其较三六七四八
对弧【六十度五○○五○○○○ ○○】
一半径方一○○○○○○○○○○【首率除宜去十尾乃先于二率】二余割矩一三二二三二三四○八九【去五位故得数只去五位即如】
三两矢较 三六七四八【共去十位也】
四锐角矢 四八五九二【用减半径得辛角余五一四○八】检表得五十九度四分为辛角之度【此与厯书所算五十八度五十三分只差十一分】又法径求余 法曰房甲之分为乙房而其余乙甲犹亢已之分为亢寅而其余寅已也故其全与分余之比例亦相似法为房甲【正】与亢己【半径】若乙甲【正分线之余】与寅已【半径截矢之余即角之余】
准前论小边之正虚丁【句】与半径丁巳【】若较弧对弧两矢之较乙女【小句】与大边正之分线乙房【小】也先求乙房为先得数以转减大边正房甲得分余线乙甲
一 小边【五十度一○】正丁虚 七六七九一
二 半径 丁巳一○○○○○三 【较弧二十九度五○对弧六 十度○○】两正矢较乙女 三六七四八
四 先得数【大邉正之分线】乙房 四七八五四以先得数减大邉八十度正房甲 九八四八一得大边正内乙房分线之余乙甲 五○六二七未以分余线为三率
一 大边正房甲 九八四四一
二 半径亢已一○○○○○
三 分余线 乙甲 五○六二七
四 角之余寅已 五一四○七【检表得五十九度○四分与先算合】附厯书斜弧三角图【稍为校正】
丙乙丁弧三角形
乙丙角旁小弧 壬乙同丁
乙角旁大弧 壬丙为较弧
癸丙同丁丙为对角之弧
甲壬为大弧正 辰丙
为小弧正 壬夘为较弧
正 癸午为对弧正 寅辛为乙角之弧 庚辛为乙角之矢 夘丙为较弧之矢 午丙为对弧之矢午夘为两矢较 酉壬为先得数 酉子同午夘亦
两矢之较
法为全数【己辛】与大弧正【甲壬】若角之矢【庚辛】与先得数【酉壬】又全数【巳丙】与小弧正【辰丙】若先得数【酉壬】与两矢较【酉子】也一率全之方 二率两正矩 三率角之矢 四率得两矢较以两矢较加较弧之矢为对弧之矢
论曰此因欲显酉壬为甲壬距等半圈之矢度故特为斜望之形其实丁点原在酉寅点原在庚丁壬弧即酉壬线寅辛弧即庚辛线乙寅丁戊弧原即为乙庚酉戊弧也故以平仪图之则皆归正位矣所以者何平仪上惟经度有弧线之形其距等圈纬度皆成直线而寅庚为角度之正直立下垂从其顶视之成一点矣丁酉者大弧正甲壬上所作距等圈之正也从顶视之而成一点与寅庚一也其寅已半径势成斜倚从上眎之与已庚余同为一线甲丁与甲酉亦然此皆平面正形可以算亦可以量非同斜望比也愚故谓惟平仪为正形也
若乙角为钝角成亥乙丁三角形则当用房亥较弧之正矢【牛亥】与同丁亥对弧之心亥弧大矢危亥相减成两矢之较【牛危即女酉】以较加较弧正矢为对弧大矢【法详前例但前例钝角旁小弧不同乙丙故此图以相同者论之更见其理之不易】
乙为钝角用大矢之图
【此用平仪正形故丁与酉同为一点】
设角之一边适足九十度一边大 用锐角【余角一钝一鋭】法为半径与大边之正若角之矢与两矢较也亦若角之余与对弧之余
乙丁丙斜三角形 丙丁边适
足九十度乙丁边大于九十度
丁鋭角求对边丙乙 法先作
平员分十字从丁数丁壬及丁丑
并如乙丁度作距等线聫之【壬丑】又于壬丑线上取乙点【法以壬巳为度巳为心作半员】
【分匀度而自壬取角度得乙防】作庚乙癸直线为对弧之正 又取壬丙为较弧作壬夘正较弧之矢夘丙对弧之矢癸丙其较夘癸与壬乙等壬已正又即距等圈半径而为丁乙戊弧所分则壬乙如矢乙已如余与角之丙子矢子甲余同比例
一 半径丙甲 一 半径丙甲
二 【大邉正】壬已 二 【大邉正】壬已
三 【角之矢】子丙 三 【角之余】子甲
四 【两矢较】壬乙【即夘癸】 四 【对弧余】乙已【即癸甲】
若丁为钝角 用大矢
法为半径与大边之正若角之大矢与两矢较也亦若钝角之余与对弧之余
借前图作乙辛为对角之弧成乙丁辛三角形【三角俱钝】作丑午为较弧丑辛正【以丑丁同乙丁故】其庚癸为对弧乙辛之正【以庚辛即乙辛故】较弧之正矢午辛对弧之大矢癸辛其较癸午与丑乙等 依前论壬乙为距等圈小矢则乙丑为大矢壬丑为距等圏全径与其大矢乙丑之比例若丙辛全径与钝角之大矢子辛则已丑为距等半径与其大矢丑乙亦若甲辛半径与钝角之大矢子辛也而丑已原为乙丁大边之正【丑乙原与癸午等】故法为半径【甲辛】与钝角之大矢【子辛】若大边之正【已丑】与两矢较【丑乙或癸午】也
一 半径甲辛一 半径甲辛
二 【大邉正】丑巳二 【大邉正】丑已
三 【钝角大矢】子辛三 【钝角余】子甲
四 【两矢较】癸午四 【对邉余】乙已【用余入表得度以减半周得对邉之度】一系 距等圏上弧度所分之矢与余与大矢与其半径或全径并与大圏上诸数比例俱等
又按前法亦可以算一邉小于象限之三角
于前图取乙戊丙斜弧三角形用戊鋭角【余角一钝一鋭】有丙戊大边足九十度有乙戊边小于九十度 求对戊角之乙丙边
法从乙作壬已线为小邉乙戊之正【以壬戊即乙戊故】又从乙作庚癸为对弧乙丙之正【以庚丙即乙丙故】 于是较弧之矢为夘丙 对弧之矢为癸丙而得两矢之较为癸夘 则又引戊乙小邉之弧过半径于子而合大圏于丁分子丙为戊角之矢子甲为角之余法曰丙甲【半径】与壬已【小邉】若子丙【戊角之矢】与乙壬【两矢较】也得乙壬即得癸夘
捷法不用较弧但作壬已为小弧乙戊之正作庚癸为乙丙对弧之正其余癸中 又引小邉戊乙分半径于子得子甲为戊角之余
法曰丙甲【半径】与壬已【小邉正】若子甲【戊角余】与乙巳【对邉余】得乙己得癸甲矣
又于前图取辛戊乙三角形用戊钝角【余角并鋭】有戊辛大邉九十度有戊乙邉小于九十度 求对戊钝角之辛乙邉
用防法 于乙作壬丑为乙戊小邉之通 作庚癸为乙辛对弧之正 其余甲癸 又引戊乙小邉割丙辛全径于子分子辛为钝角大矢子甲为钝角余
法为甲辛与丑已若子甲与乙巳得乙巳即得癸甲一 半径甲辛【即丙辛全径之半】
二 【小邉王】丑已【即壬丑通之半】
三 【钝角余】子甲
四 【对邉余】癸甲【即乙巳】
若先有三邉而求角则反用其率
一 半径
二 小邉余割
三 对邉余
四 角之余
一系凡斜弧三角形有一邉足九十度其余一邉不拘小大通为一法皆以半径与正若角之矢与两矢较也亦若角之余与对邉之余
若置大小邉于员周其算亦同
乙丁丙斜弧三角形 乙丁
邉适足九十度 丁丙邉小
于九十度 有丁锐角 求
对邉丙乙 法于平员邉取
丙丁度作丙已为小邉之正
又自丙作丙甲过心线
又作壬夘线为丙壬较弧
之正 又作庚乙癸线为对弧乙丙之正【庚丙即乙丙故】 乙壬为丁角之矢 乙甲为丁角之余 癸丙为对弧之矢 癸甲为余 夘丙为较弧之矢 夘甲为余 对弧较弧两矢之较夘癸【亦即乙辰】
法曰甲丙已壬乙辰乙甲癸三句股相似故甲丙【半径】与丙已【小邉正】若壬乙【角之矢】与乙辰【两矢较】亦若乙甲【角之余】与甲癸【对弧余】
三邉未角法
一 半径壬甲【即甲丙】 二 【小邉余割】甲甲
三 【对弧余】癸甲四 【角之余】乙壬
又于前图取乙戊丙三角形 用戊鋭角【余角一钝一鋭】 有乙戊邉九十度 有戊丙大邉 求对戊角之丙乙邉用防法 自丙作丙已为丙戊大邉之正 即从丙作丙甲半径 乃于乙点作庚癸为丙乙对弧之正其余癸甲而戊乙弧原分乙甲为戊角之余法曰甲丙巳句股与乙甲癸相似故甲丙【半径】与丙巳若乙甲【角之余】与甲癸【对边余】
若丁为钝角【余角并鋭】 用大矢
借前图作丑乙为对角之弧
成丑丁乙三角【丁为钝角】 作
丑甲寅径 又作辛丑较之
正辛午 【以辛丁同丁乙故】 作
丑乙对弧之正子酉引过
乙至亥成通 又作辛未
线与酉午平行而等 较弧之正矢午丑对弧之大矢酉丑相较得酉午【亦即未辛】 乙辛与丁钝角大矢 乙甲为钝角余
法曰甲丑已乙辛未乙甲酉三句股相似故甲丑【半径】与丑已【小邉正】若乙辛【角大矢】与未辛【两矢较】亦若乙甲【角之余】与甲酉【对弧余】
又于前图取乙戊丑形 用戊钝角【三角俱钝】 有乙戊邉九十度有丑戊大邉 求对钝角之丑乙邉
用防法 自丑作丑已为丑戊大邉之正 又自丑作丑甲寅全径 又自乙作亥酉为对邉丑乙之正【以亥丑即乙丑故】 其余酉甲而乙甲原为戊钝角之余法曰甲丑己句股形与乙甲酉相似故甲丑【半径】与丑已【大邉正】若乙甲【钝角余】与甲酉【对邉余】
又设丙乙丁三角形 乙为钝角【余一钝一鋭】 乙丙邉小丁乙邉大 对邉丁丙大于象限 较弧壬丙亦大
于象限
惟对邉较弧俱大于象限故
所得为两大矢之较
其正比例仍用小矢以角
为鋭角也
壬丙较弧之大矢夘丙加后得数午夘为对弧丁丙之大矢【丁丙即癸丙故】 大矢午丙内减半径已丙得午已为余以检表得庚癸之度以减半周得癸丙之度即对弧丁丙之度
又法以得数午夘加较弧之余夘巳得午已为对弧余【以两大矢较即两余较也余同上】
若于前图取丁乙庚三角形则角旁两邉俱大于象限而对邉小于象限较弧亦小于象限乙为钝角【三角俱钝】有庚乙与丁乙两大邉而较弧丑庚小故所得为两小矢之较其正比例则用大矢以乙为钝角故也 丑庚为较弧其正丑亥余亥已 对弧庚丁即庚酉其正酉午余午已【两矢较亥午即余较】
又设丙乙丁三角形
乙为鋭角【余一钝一鋭】
乙丙邉小 丁乙邉大 对
弧丁丙大于象限 较弧壬
丙小于象限 所得为对弧
大矢与较弧小矢之较
其正比例仍用小矢以乙
鋭角故
两余并即大矢与小矢之较也
法以得数午夘加较弧之正矢夘丙成午丙为对弧之大矢午丙内减去半径已丙得午巳余乃以余检表得度以减半周得对弧丁丙之度
若于得数内减较弧余弧夘己亦即得午己余余如上
又于前图取丁乙庚三角形 乙为钝角【三角俱饶】 角旁两邉俱大于象限惟对邉小故用两正矢较其正比例仍用大矢以钝角故 乙丁弧之通丑壬为乙丁弧所割成丑丁亦割其戌辛全径于寅成寅戌为钝角大矢而比例等 又丑庚为较弧其正丑亥其矢亥庚 对弧庚丁之通酉癸其矢午庚两矢之较为亥午
以两矢较亥午加丑庚较弧之矢庚亥成午庚为对弧丁庚之矢【以矢减半径庚已得对弧之余午巳检表得丁庚度】
论曰先得数何以能为句股比例也曰先得数即距等圏径之分线也其势既与全径平行又其线为弧线所分其分之一
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