等圈之纬度为之限也试横置浑球于案任依一纬度直切之则成侧立之距等圈矣此距等圈与中腰之大圈平行其相距之纬度等故曰距等也其距既等则其圈踓小于大圈而其为三百六十度者不殊也从此距等圈上逐度作经度之弧其距极亦皆等特以侧立之故各度之视度跻缩不同而皆小于邉之真度其实与邉度并同无小大也特外周则眠体而内线立体耳故曰不可量而可量者以有外周之度与之相应也此量弧度之法也弧度者纬度也【量法详后】然则其量角度也奈何曰角度者乃经度也经度之数皆在腰围之夫圈此大圈者在平仪则变为直线不可以量然而亦可以量者亦以外周之度与之相应也试于平仪内任作一弧角
如乙已丙平员内作已丙戊角欲知其度则引此弧线过横径于戊而防于乙则已戊弧即丙锐角之度戊壬弧即而
钝角之度也然已戊壬两弧皆以视法变为平线又何以量其度法于戊防作庚辛直线与乙丙直径平行则已庚弧之度即戊巳弧之度亦即丙锐角之度矣其余庚乙壬之度即戊丁壬弧之度亦即丙钝角之度矣故曰不可量而实可量者以有外周之度与之相应也然此法惟角旁弧度适足九十度如戊丙则其数明晣若角旁之弧或不足九十度又何以量之曰凡言弧角者必有三邉如上所疏既以一邉就外周真度其余二邉必与此一邉之两端相遇于外周而成角此相遇之两防即余两弧起处法即从此起数借外周以求其度而各循其度作距等横线乃视两距等线交处而得余一角之所在遂补作余两弧而弧三角之形宛在平面再以法量之则所求之角可得其度矣此量角度之法也
今设乙丁丙弧三角形丁丙邉五十○度乙丙邉五十五度乙丁邉六十○度而未知其角
法先作戊巳庚丙平员
又作巳丙及戊庚纵横
两径任以丁丙邉之度
自直线之左从丙量至
丁得五十○度为丁丙
邉又自丙左右各数五
十五度如辛丙及子丙皆如乙丙之度乃作辛子线联之为五十五度之距等圈 又自丁作夘丁径线自丁左右各数六十○度为癸丁及丑丁皆如乙丁之数亦作丑癸线聨之为六十○度之距等圈 此两距等线相交于乙则乙防即为乙丙及乙丁两邉相遇之处而又为一角也 乃自乙角作乙丙及乙丁两弧则乙丙丁三角弧形宛然平面矣再以法量之则丁丙两角亦俱可知 欲知丙角即用辛子距等线以半线午子为度以午为心作子酉辛半员句分一百八十度此辛子径上距等圈之真形也乃自乙防作直线与午丙径平行截半员于酉乃从酉数至子得酉子若干度此即乙丙丁锐角之度以减半周得酉辛若于度亦即乙丙辛钝角之度也 欲知丁角亦即用丑癸距等线以半线辰癸为度辰为心作丑亥癸半员分一百八十度此亦丑癸径上距等圈之正形也乃自乙防作直线与辰夘径平行截半员于亥即从亥数至癸得亥癸若干度此即乙丁丙钝角之 度以减半周得亥丑若干度又即乙丁丑钝角之度也
计开
丙角七十八度稍弱【以算考之得七十七度五十五分】丁角六十七度三分度之二【以算考之得六十七度三十九分】
右量角度以图代算【欲得零分须再以算法考之即知无误】
又设乙丙丁弧三角形有六十○度丙角有乙丙邉一百○○度有丁丙邉一百二十○度求丁乙邉【对角之邉】法先为巳戊丙庚大圈作巳丙及庚戊十字径乃自丙数至辛如所设丁丙边一百二十○度自丙至子亦知
之作辛十子线为一百
二十○度之距等圈
又以距等之半线辛午
为度午为心作辛酉子
半圈匀分一百八十度
乃自辛数至酉如所设
丙角六十度而自酉作酉丁直线与已甲径平行至丁遂如法作丁丙邉 又自丙数至乙如所设乙丙邉一百○○度又从乙过甲心至夘作大圈径亦作寅壬横径乃补作丁乙邉【乙丙丁三角弧形宛然在目】 又自丁作丑丁癸距等线与寅壬平行未自乙数至癸得若干度即乙丁之度
计开
丁乙线五十九度强【以算考之得五十九度○七分】
右量弧度以图代算【若用规尺可免逐圈匀分之度有例在后条】
又若先有乙丁对角邉丁丙角旁邉有丙角而求乙丙角旁之邉【仍借前圏】
法先作己戊丙员及十字径线又以丁丙邉之度取丙辛及丙子作辛子距等线又作子酉辛半员取辛酉角度作酉丁直线遂从丁作丁丙邉皆如前 次以所设丁乙邉五十九度倍之作一百十八度少于夲员周取其通【即距等线癸丑之度】乃以通线就丁防迁就游移使合于外周而不离丁防成丑丁癸线即有所乘丑乙癸弧乃以弧度折半于乙则乙丙外周之度即所求乙丙邉于是补作乙丁线成三角之象
又法以丁乙倍度之通【丑癸】半之于辰乃从辰作夘甲辰过心径线即割大员周于乙而乙癸及乙丑之弧度以平分而等皆如乙丁度亦遂得乙丙度余如上又若先有乙丙两角及乙丙邉在两角之中【亦仍借前图】法先作己戊丙员及十字径线皆如前乃自丙数至乙截乙丙为所设之邉 次作丙角法于戊庚横径如前法求庚亥如所设丙角之度遂从亥防作弧【如丙亥己】则丙角成矣 次作乙角法于乙防作乙甲夘径亦作壬寅横径乃自寅至未如前法求寅未如所设乙角之度遂从未防作弧【如夘未乙】则乙钝角亦成矣 两弧线交于丁角乃补作丑癸及辛子两距等线则弧度皆得【案此两弧线必以鸡子形作之方凖若丁防离两横径不逺则所差亦不多也】
再论平仪
凡平仪上弧线皆经度而直线皆纬度
惟外周经度亦可当纬度又最中长径纬度亦为经度平仪上弧线皆在浑靣而直线皆在平靣
试以浑球从两极中半濶处直切之【如用极至交圏为度以剖浑仪】则成平靣矣以此平面覆置于案而从中腰横切之【如赤道半圏】则成横径于平面矣【如赤道之径】又以此横径为主离其上下作平行线而横切之则皆成距等圏之径线于平面矣大横径各距极九十度逐度皆可作距等圏即皆有距等径线在平面故曰皆纬度也此线既为距等圏之径则其径上所乗之距等圏距极皆等即任指一防作弧度其去极度皆等故以为纬度之限也
若又别指一处为极【如赤道极外又有黄道极又如天顶亦为极】则其对度亦一极也亦可如前横切作横径【如黄道之径】于平面其横径上下亦皆有九十度之距等圏与其径线矣【如黄道亦有纬度】故直线有相交之用也
凖此观之浑球之外圏随处可指为极即有对度之极两极相对则皆有直线为之轴轴上作横径横径上下即皆有九十度之距等径线而相交相错其象千变而句股之形成比例之用生加减之法出矣【如黄赤两极外又有天顶地心之极而天顶地心随北极之髙下而变】又此所用外周特浑球上经圏之一耳若凖上法于球上各经圏皆平切之皆为大圏则亦可随处为极以生诸距等纬线而相交相错之用乃不可以亿计矣【如天顶地心既随极出地度而异其南北亦可因各地经度而异其东西】由是推之浑球上无一处不可为极故所求之防即极也何以言之凡于球上任指一防即能于此防之上作十字直线以防于所对之防而十字所分之角皆九十度即逐度可作线以防于对防而他线之极此防上线皆能与之防故曰所求之防即极也
又论平仪
凡平仪上弧线皆经度也而弧有长短者则纬度也是故弧线为经度而即能载纬度盖载纬度者必以经度也若无经度则亦无纬度矣
平仪上直线皆纬度也而线有大小者则经度也是故直线为纬度而即能载经度盖载经度者必以纬度也若无纬度则亦无经度矣【所云直线指横径及其上下之距等径而言】弧线能载纬度即又能分纬度之大小直线能载经度即又能分经度之长短
假如平面作一弧引长之其两端皆至外周则分此外周为两半员而各得百八十度即所作之弧亦百八十度矣此百八十者皆纬度故曰能载纬度也而此平面上所乘之半浑员其经度亦百八十而皆纪于腰围之纬圏若于腰围纬圏上任指一经度作弧线必会于两极而因此弧线割纬圏以成角度故又曰能分纬度也不但此也若从此弧线之百八十度上任取一度作平行距等纬圏其距等圏上所分之纬必小于腰围之纬圏而其所载距等圏之经度皆与角度等即近极最小之纬圏亦然何以能然曰纬圏小则其度从之而小而为两弧线所限角度不变也故纬圏之大小弧度分之也
然弧线之长短又皆以纬圏截之而成而纬圏必有径在平面上与圏相应故曰直线能载经度即又能分经度之长短也
复论平仪
平仪上直线弧线皆正形也问前论直线有正形弧线跻缩无正形兹何以云皆正形曰跻缩者球上度也然其在平靣则亦正形矣有中剖之半浑球于此覆而观之任于其纬度直切至平面则皆直线也而其切处则皆距等圏之半员即皆载有经度一百八十也从此半员上任指一经度作直线下垂至平面直立如县针则距等圏度之正也若引此经度作弧以防于两极则此弧度上所载之纬度一百八十每度皆可作距等圏即每度皆可作距等圏之正矣由是观之此弧上一百八十纬度既各带有距等圏之正即皆能正立于平面而平面上亦有弧形矣夫以弧之在球面言之别以侧立之故而视为跻缩而平面上弧形非跻缩也故曰皆正形也惟其为正形故可以量法御之也
又
问平仪经纬之度近心濶而近邉狭何也曰浑员之形从其外而观之则成中凸之形其中心隆起处近目而见大四周逺目而见小此视法一理也又中心之经纬度平铺而其度舒故见大四周之经纬侧立而其度垜垒故见小此又视法一理也若以量法言之则近内之经纬无均平之数数皆纪之于外周外周之度皆以距等线为限而近中线之距等线以两旁所用之弧度皆直过与横直线所荖少故其间阔近两极之距等线则其两旁之弧度皆斜过与横直线县殊故其间窄此量法之理也固不能强而齐一之矣夫惟不能强而齐故正之数以生八线由斯以出尺算比例之法由斯可以量代算而测算之用遂可以坐天之内观天之外巳
取角度
又法
设如巳戊丙庚员有子
辛距等纬线有所分丁
辛小纬线求其所载经
度以命所求之角【丙角】本法取距等半径【辛午】作
子酉辛半员从丁作酉
丁线乃纪酉辛之度为丁辛之度
今用防法径于丁防作女丁壬线与巳甲径平行再用距等半径【午辛】为度从甲心作虚半员截女壬线于亢即从此引甲亢线至癸则数大圈庚癸之度为丁辛角度【即丙角也】
解曰试作氐亢房半员其亢甲牛径既与午辛等则氐亢房半员与辛酉子等而氐亢房半员又与大员同甲心则庚癸之度与氐亢等即亦与酉辛等矣
又如先有丙角之度及辛子距等线而求丁防所在以作丙丁弧
法从大圈庚数至癸令庚癸如丙角之度即从癸向甲心作癸甲线【半径】 次以距等之半径辛午为度从甲心作半员截癸甲【半径】于亢乃自亢作亢丁壬线截辛午于丁即得丁防
用规尺法
设如乙丁辛弧三角形有乙丁邉六十度有丁辛邉五十度一十分有乙辛邉八十度求辛鋭角
如法依三边各作图法以十字剖平员自主线端辛数
所设丁辛五十度竒至丁乃自
丁作径线过已心又依所设丁
乙六十度自丁左数至娄右数
至丙皆六十度作丙娄线为距
等圈之径又自辛依所设辛乙
八十度至房亦左至壬作房壬
距等径线此两距等线交于乙乃作乙丁及辛乙丙线则三角形宛然在目今以量法求辛角
法曰房甲距等半径与乙甲分线若亢已半径与辛角之余寅已
法以比例尺正线用规器取图中房甲之度于半径九十度定尺再取乙甲度于本线求正等度得角之余度乃以所得余度转减象限命为辛角之度
依法得余三十一度弱即得辛角为五十九度强又法以房甲为度甲为心作房癸壬距等半圈又作乙癸正与已辛平行如前以房甲度于正九十度定尺再以乙癸度取正度命为辛角度
又法作房癸线用分员线取房甲度于六十度定尺再取房癸线于分员线求等度得数命为辛角之度更防论曰既以房甲为半径则乙癸即正乙甲即余房癸即分员皆距等圏上比例也其取角度与分半周度而数房癸之度并同然量法较防
又求丁钝角
法以丙危为度危为心作娄丑丙半员又作丑乙线当角之正则乙危当余
乃取距等半径丙危度于正线九十度定尺再取乙危度求得正线等度命为钝角之余以所得加九十度为丁钝角度
依法得余十二度太即得丁钝角一百○二度太或取丑乙线求正线上度命为钝角之正以所得减半周度余为丁钝角度【两法互用相考更确】
又法作娄丑分员线取丙危半径于分员线六十度定尺而求娄丑分员之度分为丁钝角【亦可与正法叅考】
论曰兼用
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