用两法分员线一法以相考理明数确然比半周度之工尚为省力是故量防于算而尺更防矣若兼作丙丑分员以所得度减半周亦同如此则分员线亦有两法合之正成四法矣
又论曰此条三邉求角前条有二邉一角求弧可互明也故用图亦可以求角用尺亦可以求弧智者通之可也
三极通几
平员则有心浑员则有极如赤道以北辰为极而黄道亦有黄极人所居又以天顶为极故曰三极也极云者经纬度之所宗如赤道经纬悉宗北极而黄道经纬自宗黄极地平上经纬又宗天顶亦如屋之有极为楹桷宇梠楶棁之所宗也既有三极即有三种之经纬于是有相交相割而成角度角之鋭端即两线相交之防任指一防而皆有三种经纬之度与之相应焉故可以黄道之经纬求赤道之经纬亦可以赤道之经纬求地平上之经纬以地平求赤道以赤道求黄道亦然举例如后以黄道经纬求赤道经纬 已辰庚斜弧三角形
巳丁乙丙为极至交圈
巳为北极 丙甲丁为赤
道 庚为黄极 壬甲寅
为黄道 星在辰 辰庚
为黄极距星之纬 辰庚
酉角为黄道经度 今求赤道经纬 法自辰作黄道距等纬圈【酉辛】又自辰作赤道距等纬圈【戊午】即知此星【辰】在赤道之北其距纬戊丙【或午丁】 次以赤道距等半径戊夘为度夘为心作午未戊半员又作未辰直线与已甲平行则未戊弧即为赤道经度【即戊巳辰角】
若先有赤道经纬而求黄道经纬亦同
以赤道经纬求地平经纬
巳子戊三角形【三角皆鋭】
戊壬庚辛为子午规 壬
辛为地平 戊为天顶
巳为北极 丁丙为赤道
星在子 子巳为星距
北极 巳角为星距午规
经度【即纬圈上丑子之距】 求地平
上经纬 法自子作寅亥线与辛壬地平平行即知地平上星之髙度亥辛【或壬寅】 次作寅酉亥半员【以亥寅半线亥午为度午为心】又从子作酉子直线与戊甲天顶垂线平行即子寅为星距午方之度为子戊寅角数酉至寅之弧即得星在午左或午右之方位是为地平上之经度【按此图为星在夘酉线之北数酉辰若干度即知其星距夘酉线若干度也】 若先得地平上经纬【髙度为纬方位为经】而求赤道经纬【星距赤道为纬距午线时刻为经】其理亦同
以两纬度求经度
巳子戊斜弧三角形
假如北极髙三十度【巳辛髙】戊寅壬为午规 太阳
在子距赤道北十度【其距丑丁
或卯丙纬度】 子丑为太阳距
午线加时经度【即子巳丑角】寅壬为太阳髙度【即亥辛】
求大阳所在之方 法以太阳髙度【亥辛或寅壬】作亥寅地平髙度纬线又以太阳距赤道纬【丑丁卯丙】作丑卯赤道北纬线两线相交于子乃以亥午为度午为心作亥酉寅半员【分百八十度】又自子作酉子直线与戊甲平行截半员于酉则酉至寅之度即太阳所到方位离午正之度【即子戊寅外角】 若求加时以北极赤纬线准此求之用子巳戊角
求北极出地简法【可以出洋知其国土所当经纬西北广野亦然与地度弧角可以参用】不拘何日何时刻但有地平真髙度及真方位即可得之
法曰先以所测髙度及方
位如法作图取作平仪上
太阳所在之防【即地平经纬交处】次查本日太阳在之道南
北纬度用作半径于仪心
作一小员末自太阳所在
防作横线切小员而过引长之至边此即赤纬通也乃平分通作十字全径过仪心即两极之轴数其度得出地度
假如测得太阳在辰髙三十四度方位在正卯南三度强而不知本地极髙但知本日太阳赤纬十九度今求北极度
如法作图安太阳于辰【详下文】 先作丙丁线为地平髙度次用法自正东卯数正度至辰得近南三度为地平经度【或以丙卯为半径作半规取直应度分亦同】次依本日太阳赤纬十九度【以员半径取庚甲十九度正】为小员半径作子庚小员末自太阳辰作横线戊壬切小员于庚乃自庚向甲心作大员径线已午则已即北极【数己丑之度为极出地度】依法求得本地极髙四十度
论曰此法最简最真然必得正方案之法以测地平经度始无错误
厯算全书卷九
钦定四库全书
厯算全书卷十
宣城梅文鼎撰
环中黍尺卷三之四
初数次数法【加减代乗除之法从初数次数而生故先论之】
【上卷之法用角旁两正相乗今则兼用两余故别之为初数次数其法有二其一次数与对弧余相加其一相减也相加又有二一鋭角一钝角也相减有四或余内减次数或次数内减余而又各分锐角钝角也】
约法 三边求角
角求对边
余次数相加例【锐角法钝角法各一】
丁乙丙形 有三边求乙锐角 角旁大弧丁巳【正辛戊余巳戊】小弧丙乙【正丙癸余巳癸】两正相乗全数除之成初得数戊庚又以两余相乗全数除之成次得数戊丑【即卯巳】乃以次得数卯巳加对弧之余已戌成卯戌【即申戊】
一 初得数戊庚
二 【次得数与对弧余相并】申戊
三 半径 亥已
四 角之余 已干
【以余检表得乙锐角之度】
若先有角求对边则反之
一 半径 亥巳
二 角之余 巳干
三 初得数戊庚
四 【次得数与对弧余相并】申戊【以次得数戊丑减之得对弧余丑申即巳戌】
论曰辛戊正与亥巳半径同为乙丁弧所分则辛戊全与丁戊分若亥巳全与干巳分也而辛戊与丁戊小又若戊庚句与申戊小句也故戊庚与申戊必若亥巳与干巳
若用丁甲丙形其算并同何以明之甲丁者乙丁半周之余甲丙者乙丙半周之余其所用正并同又同用丁丙为对角之弧甲角又同乙角皆以干已为余故也
右系对边小于象限角旁弧异类故其法用加而为锐角
仍用前图取丁甲寅三角形 有三边求甲钝角 角两旁弧同类 对角边大为寅丁其正酉戌余戌已 旁弧丁甲其正辛戊余已戊 又旁弧寅甲其正寅壬余壬已 初得数戊庚【半径除两正矩】 次得数卯巳【半径除两余矩】
所用三率与前锐角形并同亦以卯已加已戌成申戊为三率所得四率干已亦为甲角之余【末以余检表得度以减半周余为甲钝角之度】
若先有甲钝角求对边丁寅则反用其率一半径亥已二甲角余干已三初数戊庚四申庚末以次数戊丑去减得数甲戊余丑申为对弧余
论曰对弧寅丁系过弧与锐角形对弧丁丙相与为半周之正余度同用酉戌为正戌已为余角旁弧丁甲即乙丁半周之余度同用辛戊为正戊已为余甲寅弧又与乙丙弧等度其正壬寅同癸丙余壬巳同癸巳故加减数并同所异者对弧大而两旁弧又同类故为钝角
若用寅乙丁形其算并同以同用丁寅对弧而两弧在角旁者寅乙为寅甲半周之余丁乙为丁甲半周之余所用之正余并同故也甲角同乙角皆以干已余度转减半周为其度
右系对边大于象限而角旁两弧同类故其法用加而为钝角
正余交变例
若角旁两边以象限相加减而用其余弧则正余之名互易而所得初数次数不变三率之用亦不变解曰弧小以减象限得余弧弧大以象限减之而用其余亦余弧也其故何也凡过弧与其减半周之余度同用一正故过弧内减象限之余即反为过弧之余弧亦曰剰弧而此剰弧之正即过弧之余也
若两弧内一用余度则其初数次数皆为正乘余半径除之之数然其数不变何也一弧既用余度则本弧之正变为余弧之余而其又一弧仍系本度则正不变然则先所用两正相乗为初数者今不变而为余乘正乎次数仿此
试仍以前图明之丁乙丙形任以乙角旁之乙丁弧【即辛乙】内减去亥乙象弧其剰弧亥辛之正戊已即乙辛过弧之余也又亥辛之余辛戊即过弧乙辛之正也然则先以辛戊正乗丙癸正者今不变为辛戊余乘丙癸正乎然但变其名为余乘正而辛戊之数不变则其所得之初数戊庚亦不变也次数仿论【按此法即测星时第二法所用】
若角旁两弧俱改用余弧则初数变为两余相乘次数变为两正相乗盖以正变余余变正而所得之初数次数不变
试仍以前图明之丁乙丙形乙角旁两弧乙丁改用辛亥【义见前】乙丙改用丙亥皆余弧也则丙癸辛戊两正皆变余【丙癸为丙亥弧余辛戊为辛亥弧余】癸已戊已两余皆变正【癸已为丙亥弧正戊巳为辛亥弧正】然则先以两正相乘者今为两余然虽变两余而其为丙癸与辛戊者不变故其所得之初数戊庚亦不变也次数仿论
总例
凡弧度与半周相减之余则所用之正同余亦同
凡弧度与象限相减之余则所用之正变余余变正
余内减次数例【钝角法锐角法各一】
丁乙丙弧三角形有三边
求乙钝角 丙乙小弧其
正丙辰余辰巳 丁
乙大弧其正癸甲余
甲已 是为角旁之两弧
不同类 癸干初得数【两正】
【乗半径除之数】 午已次得数【两余乗半径除之数】 丁丙对边大其正壬卯余卯已 对边大于象限而角旁弧不同类宜相减 对弧余大于次数法当于余卯巳内减去次得数午已余午卯【即艮丁】为二率
一 初得数 癸干
二 【次得数减余】 艮丁
三 半径辛已
四 角余 寅已
对边大角旁弧异类而次数小减对弧余其角为钝宜以四率寅已捡余表得度以减半周度其余即为乙钝角之度【即寅酉大矢之度】
若先有乙钝角求对弧则反用其率
一 半径辛巳
二 角余 寅已
三 初得数 癸干
四 【次得数减余】 艮丁
既得艮丁乃以次数加之成卯已余检表得度以减半周得丁丙对边之度
凡过弧与其减半周之余度同用一余故以余检表得度以减半周即得过弧
仍用前图取锐角
丁戊庚三角形【系锐角○此形有三锐角】有三边求戊角 戊庚小边其正庚丑余丑巳 丁戊次小边其正癸甲余甲巳 是为角旁弧同类 初得数癸干【半径除两正矩】 次得数午已【半径除两余矩】 丁庚对边小其正壬卯余卯巳 对边小于象限而角旁弧同类宜相减次数午已小于对弧余卯已以午已去减卯已余
卯午【即艮丁】
一 初得数 癸干
二 【次得数减余】 艮丁
三 半径辛已
四 角余 寅已
对边小角旁弧同类而次数小去减余其角为锐宜以四率寅已检余表得戊锐角之度
若先有戊锐角度求对边丁度则反用其度
一 半径辛巳
二 角余 寅已
三 初得数 癸干
四 【次得数减余】 艮丁
以所得艮丁加次数午已检余表得丁庚对边之度因锐角角旁弧同类次数小于余得数后宜加次数为对边余
论曰丁戊庚形与丁乙丙形为相易之形故丁戊为丁乙减半周之余戊庚等乙丙此两弧所用之正余并同则初数次数亦同矣而丁庚对弧亦丁丙对弧减半周之余则所用余边又同加减安得不同
次数内转减余例【锐角法钝角法各一】
丁乙丙形三边求乙角【系锐角】 丙乙小边正辰丙余辰已 丁乙大边正癸甲余甲已 是为角旁之两边不同类 初得数甲干【半径除两正矩】 次得数午
已【半径除两余矩】 丁丙对边
大正壬卯余卯已
对边大而角旁弧不同类
宜相减 次数午已大于
对弧余卯已法当于午
己内减卯巳余午卯【即甲艮】
为二率
一 初得数甲干
二 【余减次数之余】 甲艮
三 半径 辛巳
四 角余寅已
对边大角旁弧异类而次数大受对弧余之减其角为锐宜以四率寅已检余表得乙鋭角之度【即寅辛矢度】若先有乙角而求对边丁丙则反用其率
一 半径 辛巳
二 角余寅己
三 初得数甲干
四 【余减次数之余】 甲艮
末以所得甲艮转减次数午已得对弧余卯巳检表得度以减半周为对弧丁丙度
前图取钝角
丁戊庚形三边求戊角【系锐角】 戊庚小边正丑庚余丑巳 丁戊次小
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