加为总弧辰室其正辰午
又相减为较弧娄室其正娄丁【或丁井即午昴】
以总弧正辰午加较弧正午昴成辰昴而半之为甲数巳午【巳坤为辰坤之半坤午为坤昴之半合之为巳午】即戊酉
又以甲数己午转减正辰午得辰巳为乙数【亦即戊壬】星在箕为赤纬北而黄纬亦在北两纬同向宜相减而成次率而乙数大当以黄纬转减之成斗未【牛未乙数内减牛斗黄纬余斗未】
乙数大受黄纬反减而纬在北赤经在北六宫为钝角一 甲数 酉戊以艮乙余查度春分后二 【乙数内减黄纬正】 斗未用减象限夏至后加象限三 赤道半径 寅乙命为距春分经度
四 甲角余 艮乙
若星在尾用心甲尾三角形则为南纬而黄纬亦南两
纬同向宜相减成次率而乙数小于
黄纬故以乙数减黄纬成斗未【虚尾黄纬
内减乙数氐尾余虚氐即斗未】 其甲数乙数等算
并同 乙数小去减黄纬而纬在南
赤经必在北六宫为钝角
一 甲数 酉戊
二 【黄纬正内减乙数】 斗未
三 赤道半径 寅乙
四 甲角余 艮乙
若星在兑用心甲兑三角形兑为北纬而黄纬亦北两
纬同向宜相减成次率而乙数小于
黄纬故以乙数减黄纬成未斗【兊干黄纬
内减乙数兊离余余离干即未斗】甲数乙数并同
乙数小去减黄纬而纬在北赤经反
在南六宫为锐角
一 甲数 戊酉以女乙余度秋分后减二 【黄纬正内减乙数】 未斗三象限冬至后加三象限三 赤道半径 危乙命为距春分赤经【下同】四 甲角余 女乙
若星在巽用心甲巽三角形赤纬南黄纬亦南两纬同向宜相减成次率而乙数大以黄纬转减之成未斗【未牛乙数内减黄纬斗牛即栁巽其余即未斗】
乙数大受黄纬转减而纬在南赤经
即在南六宫为锐角
一 甲数 戊酉
二 【乙数内减黄纬正】 未斗
三 赤道半径 危乙
四 甲角余 女乙
第五图 赤纬小于二极距甲数大乙数小
黄纬乙数相加成次
率【黄纬在南角鋭钝黄纬在北角】星在巽用心甲巽三
角形有心甲边【二极距】有巽甲边【距北极度为过弧其
赤纬女巽在南】有巽心边【距黄
极度其余巽为黄纬在北】 求对
巽心弧之甲角 心甲两极距即危室【或寅丙】其正危辛余辛乙 女巽赤纬即危娄【或辰危即丑寅】其正辰戊余戊乙
甲数戊酉【两极距正危辛乗赤纬余戊乙半径危乙除之之数也法为危乙与危辛若戊乙与戊酉】乙数辰巳【两极距余辛乙乗赤纬正辰戊半径危乙除之之数也法为危乙与辛乙若辰戊与辰巳】依加减代乗除改用辰危危室相加为总弧辰室其正辰午又相减为较弧娄室其正娄丁【即午昴及丁井】以总较两正相加成辰昴折半得巳午为甲数即戊酉【巳坤为辰坤之半坤午为坤昴之半合之成己午】
甲数巳午转减总弧正辰午得辰巳为乙数即戊壬黄纬巽氐在北赤纬女巽在南两纬异向宜以乙数与黄纬正相加成次率【以同黄纬正巽栁之牛斗加同乙数戊壬之未牛成未斗】乙数黄纬正相加而黄纬在北其赤经必在南六宫为锐角法为甲数戊酉与未斗若戊乙与未乙亦即若危乙与女乙
一 甲数戊酉以女乙查余表得度二 【乙数加黄纬正】 未斗秋分后减冬至后加皆与三 赤道半径 危乙三象限相加减命为其星四 甲角余 女乙距春分赤道经度
又如星在箕用心甲箕三角形有心甲边【二极距】有箕甲边【距北极度其余箕艮赤纬在北】有箕心边【距黄极度为过弧其黄纬翼箕在南】求对箕心弧之甲角
甲数乙数同上
惟黄纬翼箕在南赤纬箕艮在北两纬异向宜以乙数
与黄纬正相加成次率【以黄纬正箕张相
同之牛斗加乙数辰巳相同之牛未成斗未】
乙数与黄纬相加而黄纬在南其
赤经必在北六宫为钝角法为甲数
酉戊与斗未若戊乙与未乙亦即若寅乙与艮乙一 甲数 戊酉以艮乙查余表得度春二 【乙数加黄纬正】 斗未分后减夏至后加皆加减三 赤道半径 寅乙象限命为其星距春分赤四 甲角余 艮乙赤道经度
求赤道经度约法
用三边求角【两极距为一边距北极为一边此二边为角两旁之弧距黄极为一边此为对角之弧】以求到钝角赤道经度在北六宫锐角赤道经度在南六宫
法为甲数与次率若赤道半径与所求角之余其枢纽在次率也
凡黄纬南北与赤纬同向者并以乙数与黄纬相减而成次率减有二法
凡黄纬南北与赤纬异向者并以乙数与黄纬相加而成次率
加惟一法
厯算全书卷十
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书卷十一
宣城梅文鼎撰
环中黍尺卷五之六
加减捷法
用加减则乗除省矣今惟用初数则次数亦省又耑求矢度省余则角之锐钝得矢自知边之大小加较即显无诸拟议之烦故称捷法
如法角旁两弧度相加为总相减为存视总弧过象限以总存两余相加不过象限则相减并折半为初数
若总弧过两象限与过象限法同【其余仍相加】过三象限与在象限内同【其余仍相减】若存弧亦过象限则反其加减【总弧过象限或过半周宜相加今反以相减若总弧过于三象限宜相减今反以相加】并以两余同在一半径相减不然则加也
总存两余同在一半径当相减折半图
乙丁丙三角形
丁为钝角
丙卯为总弧其正卯
戊余戊己 庚丙为
存弧其正庚壬余壬巳 两余同在丙已半径宜相减【壬巳余内减戊巳成戊壬】折半为初数丑壬【即甲庚亦即未酉】总存两余分在两半径当相加折半图
乙丁丙形 丁为锐角
庚丙为总弧其正弧庚
壬余壬巳 卯丙为
存弧其正卯戊余
戊已径两余分在丙巳子巳两半径宜相加【以戊巳加壬巳成壬戊】折半为初数丑戊【即甲酉亦即未卯】
三边求角初数恒为法以两矢较乗半径为实法为初数与两矢较若半径与角之矢也
一 初数【即角旁两正相乗半径除之之数今以加减得之】
二 两矢较【或两俱正矢或两俱大矢或存弧用正矢对弧用大矢】
三 半径
四 角之矢【正矢角锐大矢角钝】
角求对边则以初数乗角之矢为实半径为法法为半径与角之矢若初数与两矢较也
一 半径
二 角之矢【或正矢或大矢】
三 初数
四 两矢较【并以较加存弧矢为对弧矢加满半径以上为大矢其对弧大不满半径为正矢其对弧小】
乙丁丙形 三边求丁角
小边乙丁【正卯辛】大边丙丁【正壬丙】 初数卯癸【两正相乗半径除之也】
今改用加减
两余相减【余房戊】折半得
丑戊即初数卯癸【与先所得同】
一系 总弧过半周而存弧亦过象限则余相减法为卯癸初数与两矢较牛乙若卯辛正【距等半径】与乙庚【距等大矢】亦即若寅巳半径与角之大矢酉子
一 初数卯癸【即丑戊】
二 两矢较 牛乙【即房甲】
三 半径寅巳
四 角之大矢酉子
若先有丁钝角而求乙丙对边则反用其率
一 半径寅巳
二 角之大矢酉子
三 初数卯癸
四 两矢较 牛乙
以所得两矢较加存弧大矢房丙得大矢甲丙
乙丁丙形
三边求丁角
小边乙丁【正乙辛】 大边丙丁【正戊壬】
初数戊癸
今用加减
两余相减【余辰甲】折半得辰
丑即初数戊癸
对弧【乙丙】大矢斗乙
存弧 大矢甲乙【两矢较斗甲】
法为初数戊癸与两矢较斗甲若戊壬正【距等半径】与丙庚【距等大矢】亦即若寅巳半径与角之大矢酉子
一 初数戊癸【即丑甲】
二 两矢较 斗甲
三 半径寅巳
四 角之大矢酉子
论曰此移小边于外周如法求之所得并同其故何也先有之角及角旁二边并同则诸数悉同矣然则句股之形不同何也曰前图是用乙丁小弧之正为径分大矢之比例则所用句股是丁丙大弧之正此图是用丁丙大弧正为径分大矢比例则所用句股是乙丁小弧正故句股形异也然句股形既异而所得初数何以复同曰此三率之精意也初数原为两正相乗半径除之之数前图用大弧正偕半径为句与而小弧正用为大矢分径之比例是以大弧正为二率而小弧正为三率也今改用小弧为二率大弧为三率而首率之半径不变则四率所得之初数亦不变也又何疑焉
一系 角旁二弧可任以一弧之正为全径上分大小矢之比例其余一弧之正即用为句股比例不拘大小同异其所得初数并同
又论曰以句股比例言之则戊庚通为【即距等圏全径】戊女倍初数为句【即总存两余相加减之数】一也戊壬正为则戊癸初数为句二也丙庚为【通之大分即距等大矢】则斗甲两矢较为句【即丙房】三也丙壬为【正之分线即距等余】则斗丑为句【对弧余内减次数丑巳得斗丑亦即丙牛】四也戊丙为【正之分线即距等小矢】则午戊为句五也
以全与分之比例言之则戊庚为距等全径与寅子全径相当一也戊壬正为距等半径当寅巳半径二也丙庚如距等大矢当酉子大矢三也丙壬如距等余当酉巳余四也戊丙如距等小矢当寅酉正矢五也一系 初数恒与角旁一弧之正为句股比例其正恒为初数恒为句而其全与分之比例俱等又即与员半径上全与分之比例俱等若倍初数即与全员径上大小矢之比例等
一系 角旁两弧任以一弧之正为径上全与分之比例初数皆能与之等
若先有丁钝角求对边乙丙则更其率
一 半径巳子
二 丁角大矢酉子
三 初数丑甲
四 两矢较 斗甲
以四率斗甲加存弧大矢乙甲成斗乙为对弧大矢内减巳乙半径得斗巳为对弧余捡表得未丙弧度以减半周得对弧丙乙度
乙丁丙形 三边求丁角
乙丁边【九十五度】 丁丙边【一百一十二度】 乙丙对弧【一百一十九度】总弧丙未二百○七度 余辛巳 八九一○一存弧丙戊一十七度余壬巳 九五六三○两余相加辛壬一八四七三一
初数卯亥【即半辛壬丑辛】九二三六五
对弧大矢癸丙一四八四八一
存弧正矢壬丙四三七○
两矢较癸壬 一四四一一一
法曰卯亥【即丑辛】与癸壬若
未亥与乙戊亦必若庚巳
与甲子
一 初数 卯亥 九二三六五
二 两矢较癸壬一四四一一一
三 半径 庚巳一○○○○○
四 角之矢申子一五六○二二
四率大于半径为大矢其角钝法当以半径一○○○○○减之余五六○二二为钝角余捡表得余度五十五度五十六分以减半周为丁角度
依法求到丁钝角一百二十四度○四分
论曰试作辰戊线与倍初数辛壬平行而等又引未辛【总弧正】至辰成未辰戊句股形又引牛乙癸【对弧正】至寅作亥丑线引至斗各成句股形而相似则其比例等一未辰戊大句股 以辰戊倍初数为句未戊通为一乙寅戊次句股 以寅戊两矢较为句乙戊【距等大矢】为一【未卯亥亥斗戊】两小句股并以【卯亥斗戊】初数为句【未亥亥戊】正为辰戊倍初数与寅戊两矢较若未戊通与乙戊距等大矢是以大句股比小句股也
卯亥初数与癸壬两矢较若未亥正与乙戊距等大矢是以小句股比大句股也 用亥斗戊形比乙寅戊其理更着
又未戊通上全与分之比例原与全员径上全与分之比例等故三者之比例可通为一也
【一大句股截数种小句股故又为全与分之比例】
仍用全图取乙丁女形 求丁鋭角
乙丁边【九十五度】 女丁边【六十八度】 女乙对弧【六十一度】
总
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