以半径为存弧余】或存弧【适足象限】无余而搃弧又适足半周【即以半径为搃弧余】
二者并以半径之半为初数不湏加减
以上无加减者六
一两矢较变例
凡两矢相较常法也然或其弧满象限则即以半径为矢【对弧满象限则以半径为对弧矢与存弧矢相较存弧满象限亦然亦即以半径与对弧矢相较】 防法视对弧存弧但有一弧满象限即命其又一弧之余为两矢较不更求矢【对弧满象限即用存弧余存弧满象限即用对弧余并即命为两矢较与上法同】
凡以矢较加存弧矢成对弧矢【正矢则对弧小大矢则对弧大】常法也然或有相加后适足半径者其对弧必足象限又有四率中无两矢较者以无存弧矢故也【凖前论角旁两弧同度无存弧则亦无存弧矢之可较】法即以对弧矢为用不必更求矢较 若角求对边其所得第四率即对弧矢若三边求角其所用苐三率亦对弧矢【余详后例】
设角旁两弧同度总弧在象限以内 求对角之边丙乙丁形
乙角一百一十度余三四二○二 乙丙 乙丁并三十度
两余相减 五○○○○丙庚
半之为初数 二五○○○丙癸
一 半径 寅已 一○○○○○
二 初数 丙癸二五○○○
三 【乙角大矢】 寅午 一三四二○二
四 【对弧矢】 丙甲三三五五○【四率本为两矢较因无存弧矢故即为对弧之矢
对弧余】 甲巳六六四五○
求到对弧丁丙四十八度二十二分
论曰以半径为存弧余何也弧大者余小弧小者余大今存弧既相减而至于无则小之至也故其余亦大之至而成半径也 四率即为对弧矢何也弧大矢亦大弧小矢亦小既无存弧则亦无矢矣无矢则无可较故四率即对弧矢也 然则其比例奈何曰半径寅已与大矢寅午若正子丙与距等大矢丁丙亦即若初数丙癸与对弧矢丙甲
若三边求角则反其率
一初数二半径三对弧矢四乙角矢
若捴弧过三象限其法亦同
前图丁丑丙形
丑角同乙角
其所用四率以得对弧丁丙并同上法
若三边求角则反其率
一初数二半径三对弧矢 四丑角矢
一系 两边同度无存弧矢则径以对弧矢当两矢较之用设总弧满半周而较弧亦过象限 求对角之边前图卯丑丁形
丑角 七十度余 三四二○二 午已丑丁 一百五十度
丑卯三十度
相减 五○○○○庚丙
初数 二五○○○庚癸
存弧大矢一五○○○○庚卯
丑角矢 六五七九八午酉
一 半径 酉巳一○○○○○二 初数 丙癸【即庚癸】二五○○○
三 丑角矢午酉六五七九八
四 两矢较庚甲一六四四九
加存弧大矢庚卯 一五○○○○
得对弧大矢甲卯 一六六四四九
求到对弧卯丁一百三十一度三十八分
设三小边同数
求角
丙乙丁形
三边并三十度
求乙角
相减 五○○○○ 丙庚
初数 二五○○○ 丙癸
对弧【丁丙】三十度余 八六六○三 甲巳
矢 一三三九七 丙甲
一 初数 丙癸二五○○○
二 半径 寅己 一○○○○○
三 对弧矢丙甲一三三九七
四 乙角矢寅午五三五八八
余午巳四六四一二
求到乙角六十二度二十分 丁丙二角同
论曰此亦因存弧无矢故以对弧矢为三率也其比例为初数丙癸与对弧矢丙甲若乙丙正丙辰与丙丁距等矢则亦若寅巳半径与乙角矢寅午
一系 凡三边等者三角亦等
前图丁丑丙形 二大边同度一小边为大边减半周之余三边求角
其对弧丁丙亦三十度所用四率并同上法所得丑角六十二度二十分亦同乙角惟余两角【丁丙】并一百一十七度四十分皆为丑角减半周之余
若先有角求对边则反其率
又于前图取丁丑戊形
丑丁一百五十度
丑戊三十度
其对弧戊丁【一百五十度】为丑戊【三十度】减半周之余故所用四率亦同但所得矢度为丑外角之矢当以其度减半周得丑角【一百一十七度四十分】戊角同丑角丁角【六十二度二十分】即丑外角一系凡二边同度其余一边又为减半周之余与三边同度者同法但知一角即知余角其一角不同者亦为相同两角之外角
设角旁两弧同数而捴弧
足一象限求对角之边
子乙丙形
乙角一百度余 一七
三六五
初数 五○○○○丙辛【即半径之半】
一 半径壬巳 一○○○○○
二 初数丙辛五○○○○
三 乙角大矢壬丑 一 一七三六五
四 对弧矢 丙癸五八六八二
余癸巳四一三一八
求到对弧子丙六十五度三十六分
论曰半半径为初数何也凖前论半径即存弧余而捴弧无余无可相减故即半之为初数 问捴弧何以无余曰弧大者余小捴弧满象限则大之极也故无余 其比例可得言乎曰壬巳与壬丑若丙甲与丙子则亦若丙辛与丙癸 若所设为子戊丙形戊角同乙角一百度
【戊子戊丙】同为一百三十五度 捴二百七十度【满三象限】亦
无余亦如上法以半半径为初数依上四率求到对戊角之子丙弧六十五度三十六分
若三边求角则反其率
一初数二半径三对弧矢四角之矢
设角旁两弧之捴满半周而存弧亦满象限 求对角之弧 用前图子戊卯形
戊角八十○度余 一七三六五
子戊一百三十五度
卯戊四十五度
余无减半半径为初数五○○○○ 己辛即庚甲存弧满象限半径为正矢一○○○○○ 即卯巳半径
一 半径 辰巳 一○○○○○
二 初数 己辛五○○○○
三 戊角矢辰丑八二六三五
四 两矢较己癸四一三一七 即对弧卯子余对弧大矢卯癸 一四一三一七 【以两矢较加存弧矢得对弧大矢】求到对弧卯子一百一十四度二十四分
论曰捴弧以半径为余何也凡过弧大者余大过弧满半周则大之至也故其余亦最大而即为半径也 然则存弧又能以半径为矢何也弧大者矢大存弧既满象限故其矢亦满半径矣
问两矢较巳癸即对弧之余也何以又得为两矢较曰他存弧之矢有大小而不得正为半径故其与对弧矢相较亦有大小而不得正为余今矢既为半径较必余矣
若三边求角则反其率
一 初数 巳辛 其比例为巳辛与巳癸若丁甲二 半径 辰巳 与丁子则亦若辰巳与辰丑三 两矢较己癸
四 戊角矢辰丑
设对弧满象限 三边求角
乙丙甲形
对弧乙甲九十度 无余
求丙角
相加辰癸 一三五六二一
初数午癸六七八一○
对弧满象限矢即半径已甲一○○○○○
用防法即以存弧余癸已为矢较
一 初数午癸六七八一○
二 半径巳戊 一○○○○○
三 矢较巳癸四二二六二 即存弧余四 丙角矢 庚戊六二九○四
求到丙角六十八度一十四分
其比例为初数午癸与余巳癸若正壬辛与距等矢乙辛也亦必若半径己戊与角之矢庚戊
若先有丙角求对弧则反其率
一半径【戊巳】 二初数【午癸】 三丙角矢【戊庚】 四两矢较【巳癸】以所得四率与存弧矢甲癸【五七七三八】相加适足半径【成巳甲】命对弧乙甲适足九十度 防法视所得四率矢较与存弧余同数即知对弧为象限不必更问存弧之矢
设角旁两弧同数捴弧过象限
求对角之弧
辛乙丙形
乙角七十三度余二九二三七
相加折半为初数 八二一三九 癸丙
一 半径 己戊一○○○○○
二 初数 癸丙 八二一三九
三 乙角矢甲戊 七○七六三
四 对弧矢丁丙 五八一二四
余丁巳 四一八七六
求到对弧辛丙六十五度一十五分
若三边求角则反其率
一初数【癸丙】 二半径【巳戊】 三对弧矢【丁丙】四乙角矢【甲戊】
设角旁弧同数捴弧过半周其算并同
前图辛丑丙形
辛丑 丙丑并一百十五度
捴弧丙丑壬二百三十度余 六四二七九 庚巳丑角同乙角
其所用四率求对弧及三边求角并如上法
设捴弧满半周而存弧不过象限 求对弧
前图辛乙卯形
乙角一百○七度余 二九二三七 甲巳乙卯一百十五度
乙辛 六十五度
相加半之为初数 八二一三九 癸庚即子辰
一 半径寅巳 一○○○○○
二 初数庚癸八二三一九
三 乙角大矢寅甲 一二九二三七
四 两矢较 庚丁 一○六一五三 即辛未加存弧正矢庚卯三五七二一
得对弧大矢丁卯 一四一八七四
求到对弧卯辛一百一十四度四十五分
加减又法【解恒星暦指第四题三率法与加减防法同理】
弧三角有一角及角旁二边求对角之弧
法曰以角旁大弧之余度与小弧相加求其止为先得 次以角旁两弧相加视其度若适足九十度即半先得为次得【此大弧之余弧与小弧等】
若角旁两弧捴大于象限【此大弧之余弧小于小弧】则以大弧之余弧减小弧而求其以加先得然后半之为次得若两弧捴不及象限【此大弧之余弧大于小弧】则以小弧减大弧之余弧而求其以减先得然后半之为次得又以角之矢为后得
以后得乗次得为实半径为法除之得数为他一率 全数
二率 次得【即初数】
三率 后得【即角之矢】
四率 他【即两矢较】
并以他与先得相减为所求对角弧之余若他大于先得即以先得减他【不问何但以小减大右法不载测量全义而附见厯指人自江南来得小儿以燕家信以此为问谓与环中黍尺有合也乃为摘録以疏其义】
论曰此亦加减代乗除之一种也加减法以捴弧存弧之余相加减以取初数此则不用存弧而用存弧之余度【以余度取正即存弧之余故也】又不正用存弧之余度而用大弧之余度【以大弧之余度加小弧即存弧之余度故也】至其加减又不用捴弧而用大弧余度与小弧相减之较弧【以此较弧之正即捴弧之余故也】取径迂回而理数脗合非两法相提并论不足以明其立法之意也举例如后
乙丙丁形【有乙角及角旁二边】求对弧丁丙【以加减防法求得诸数与恒星厯指法相参论之
乙丙小弧乙丁大弧】正【甲丙辰庚】
【捴存】弧【戊丙庚丙】余【壬巳癸巳】
【余并癸壬初数 癸甲 即辰寅】
【丁丙对庚丙存弧】正矢【卯丙癸丙】
【两矢较卯癸一 半径酉巳】
【二 角之矢 酉午三 初数甲癸即辰寅
四 两矢较卯癸 即丁子末以卯癸加癸丙得卯丙为对
弧矢乃查其度得对弧丁丙】
右加减法也
今改用恒星厯指之法 先以酉庚为角旁大弧【乙丁】之余弧【乙庚同乙丁大弧度也乙酉同乙午皆象限也乙酉象限内减乙庚犹之乙午内减乙丁也故庚酉即乙丁之余】又以牛酉当角旁小弧乙丙【乙酉与牛丙皆象限内减同用之丙酉同乙丙】二者相加成牛庚取其正戊庚是为先得次视角旁两弧【乙丙乙丁】之捴【丙戊】大于象限【丙辛】法当以大弧余度去减小弧得较【于同小弧之午酉内减同大弧余度之氐酉其较牛氐与牛房等】而取其【牛氐较与牛房等则氐井与房井等而即与危戍等是危戌即牛氐较之也】以加先得【以危戍加戌庚成危庚】然后半之【危庚半之于未成未庚】为次得
又以乙角之矢【午酉】为后得与次得【未庚】相乗为实半径为法除之得他【亥庚】
未以他【亥庚】减
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