五七即初数】
求到黄赤距度一十一度三十○分四十二秒
又设黄道七十五度求黄赤距度
【春分角二十三度三十一分半黄道 七十五度】
【捴存】弧 【九十八度三十一分半五十一度二十八分半】余【一四八二四六二二八五】用初数为正检表得度【相加七七一○九折半三八五五四】
求到黄赤距度二十二度四十分三十九秒
又如句股方锥法有大距有黄道而求距纬本以大距正黄道余相乗半径除之也今以甲数取之设黄道六十度求距纬【句股方锥黄道以距二至起算下同】
【黄赤大距二十三度三十一分半黄道六十○度】
【捴弧八十三度三十一分半存弧三十六度二十八分半】正【九九三六二五五四四七】用甲数为正检表得度 【相减三九九一五半之一九九五七为甲数】
求到距纬一十一度三十○分四十二秒
设黄道一十五度求距纬
【黄赤大距二十三度三十一分半黄道一十五度】
【捴存】弧【三十八度三十一分半八度三十一分半】正【六二二八五一四八二四】用甲数为正查表得度 【相加七七一○九半之三八五五四为甲数】
求得距纬二十二度四十分三十九秒
又如次形法本以一正与一余相乗半径除之得所求之余今以初数取之
设甲丙乙形有甲正角有丙角及甲丙边而求乙角本法为半径与丙角正若甲丙余与乙角余今以初数即命为乙角余 【丙角度 甲丙余度】相【并减】为【捴存】弧各取其
余如法相加减而半之成初数即命为乙角余本法用正与余相乗而亦以初数取之何也曰甲丙余实次形丁丙正也故仍用初数
假如斜弧形作垂弧法本为半径与角之正若角旁弧之正与垂弧之正也今以初数即命为垂弧正设丁乙丙形有乙鋭角有丁乙边求作丁甲垂弧 【乙角度乙丁弧】相【并减】为【捴存】弧而取其余如法相加减而半之成初数即命为丁甲垂
弧正
设丁乙丙形乙为钝角而先有丁乙边其法亦同 【乙外角丁乙边】相【并减】为【捴存】弧而各取其余如上法取初数命为甲丁垂弧正
又如弧角比例法本为角之正与对角边之正若又一角之正与其对边之正今以初数进五位即为两正相乗之实可以省乗
设乙甲丙形有丙角甲角有乙甲边求乙丙边本以甲角正与乙甲正相乗为实丙角正为法除之得乙丙正今以甲角度与乙甲弧相并减为捴存弧如法取初数进五位为实以丙角正除之亦得乙丙正【若有乙丙边求丙角则以乙丙边正为法除之即得丙角之正】
又如垂弧防法本以两余相乗为实又以余为法除之而得所求之余今以次数进五位为两余相乗之实即可省乗
设甲丁亥钝角形有亥甲边有亥丁边有引长之丁巳边而求甲丁边本法为亥巳边之余与亥甲边之余若丁巳边之余与甲丁边之余也 今以次数代乗
【亥甲丁巳】二弧相并为捴弧相减为存弧
而各取其余如法相加减而半之
为次数下加五○即同亥甲与丁巳
两余相乗之实但以亥巳边之余
为法除之即得甲丁边之余
进五○何也曰初数者两正相乗半径除之之数故必进五位即同两正相乗之实矣 次数进位之理仿此论之
补加减防法
设壬丙甲弧三角形
甲壬边适足九十度 丙甲边八十三度 对弧壬丙五十九度
求甲角
法曰角旁有一边
适足九十度则总
存两余同数当
以余即命为初
数 依法求得五
十八度四十四分
为甲角
存矢 申丙 七四五
矢较 戊申 四七七五一
一 初数 九九二五五已申
二 矢较 四七七五一戊申
三 半径一○○○○○己癸 查表得五十八度四十四分四 【角之矢】 四八一○九壬癸
余 五一八九一壬巳
论曰此即算带食法也凡算带食其差角必在地平壬甲九十度即髙弧全数丙甲八十三度月距北极也癸丙七度黄赤距度也壬丙对弧极距天顶也其余己戊即极出地正所求甲角月出地平时地经赤道差也
防法以黄赤距度余与极出地正相减余进五位为实仍以距度余除之得差角矢
解防法曰极出地正即对弧余黄赤距度余即存弧余两余之较即矢较也
又解曰巳乙即己申亦即未丙并小弧甲丙正也【即存弧癸丙之余】未丙与戌丙若己癸与壬癸全与分之比例也又解曰初数是两正相乗半径除之之数今甲壬边之正即半径故省乗除竟以甲丙正为初数又设壬甲辛钝角形【即用前图】 壬甲邉适足九十度 辛甲邉九十七度 对邉辛壬一百二十一度 求甲角依法求得甲钝角一百二十一度一十六分
对弧辛壬一百卄一度余巳戊五一五○四对弧大矢 戊辛 一五一五○四存弧 矢 癸乙同酉辛 七四五【亦同丁庚】两矢 较 戊酉同辰辛一五○七五九【亦同丁壬】
一初数 【丁巳同午辛】 九九二五五
二矢较 【丁壬同辰辛】一五○七五九
三半径 己庚一○○○○○
四 角大矢 壬庚一五一八九○
余 己壬 五一八九○
查表得五十八度四十四分以去减半周得甲角一百二十一度一十六分
论曰縂弧过象限及过半周宜以余相加折半成初数今两余相同而径用为初数亦折半之理也向作加减法补遗自谓巳尽其变不知仍有此法故特记之
因算带食得此其用防法更竒甚矣学问之无穷也壬甲丙鋭角形壬甲邉适足九十度 丙甲邉六十七度对弧壬丙五十度 求甲角
依法求得甲角四十五度四十二分
○五【即为初数】
壬丙对弧五十○度余六
四二七九 巳戊
对弧矢三五七二一 戊丙
存弧矢七九五○ 乙癸【即申丙】
矢较 二七七七一 申戊
一 初数九二○五申巳
二 矢较二七七一申戊
三 半径 一○○○○○ 己癸
四 角之矢 三○一六九 壬癸
余六九八三一 壬巳
查表得四十五度四十二分
因前图丙癸度小故复作此以明之
算甲余角
又于本图取辛甲壬钝角形 壬甲九十度 辛甲一百一十三度 壬丙五十度 求甲钝角 依法求到甲钝角度一百三十四度一十八分
壬辛对弧一百三十○度余巳戊六四二七九
大矢 辛戊 一六四二七九
存弧矢 申丙【即乙癸】 七九五○【亦即酉辛】矢较 酉戊 一五六三二九
一初数 九二○五○酉巳【即丁巳】 二矢较一五【六三二九】酉戊三半径一○○○○○庚巳四【角大矢】一六【九八三○】庚壬
余六九【八三○】
查表得四十五度四十二分以减半周得甲钝角一百三十四度一十八分
论曰试作庚亥线与辛丙径平行又引对弧坎戊正至亥成庚亥壬句股形即庚干巳亦同角之小句股形而庚亥同酉戊两矢较也庚干同酉巳初数也则初数【庚干小股】与两矢较【庚亥大股】若半径【庚巳小】与角之大矢【庚壬大】凡角旁弧适足九十度则縂存两余弧同数法即以余命为初数
日月食带食出入地平用此算其地经赤道差甚防
补甲数乙数法
丁辛乙斜弧三角形
辛丁弧五十度一十分辛乙弧八十度丁乙
对弧六十度又若辛乙弧八十度
求辛角 辛丁【余弧】三十九度【五十】分
辛乙【余弧】一十度縂弧一百十九度【五十】分辛丁弧五十度一十分 较弧 四十度一十分
两正总【一五一二四九】半之为甲数【七五六二四】两正较【二二二四七】半之为乙数【一一一二三】丁乙对弧余【五○○○○】内减乙数余【三八
八七七】为二率
一 甲数 七五六二四
二三八八七七
三 半径一○○○○○
四 【辛角余】 五一四○八
查表得五十九度○四分为辛角
若前形有辛角而求丁乙对弧
一 半径一○○○○○
二 【辛角余】 五一四○八
三 甲数 七五六二四
四三八八七七
以加乙数 一一一二三
成对弧余五○○○○
查表得六十度
此因角旁余弧小于正弧故乙数亦小于甲数而以所得四率加乙数为对弧余
丙乙丁形 乙钝角一百一十度 【乙丙乙丁】二弧并三十度求丁丙对弧
乙丙余弧六十度
乙丁弧 三十度
縂弧九十度正一○○○○○
较弧三十度正 五○○○○
相加一五○○○○
半之为乙数七五○○○
相减 五○○○○
半之为甲数二五○○○
一 半径一○○○○○
二 【乙角余】 三四二○二
三 甲数 二五○○○
四 八五五○
以减乙数 七五○○○
得对弧余六六四五○
查表得四十八度二十一分
此因角旁乙丙余弧大于乙丁正弧故乙数大于甲数而以所得四率反减乙数为对弧余
前例转求乙钝角 【乙丙乙丁】二弧并三十度 丁丙对弧四十八度二十一分
求乙角
一 甲数 二五○○○ 二【对弧余减乙数之余】八五五○三 半径一○○○○○ 四钝角余三四二○二查表得七十度以减半周得一百一十度为乙角
縂论曰甲数乙数原以角旁两弧之正错乗而得今改用加减故角旁两弧一用正一用余然有时余弧大于正弧者角旁两弧之合数必过象限也有时余弧小于正弧者角旁两弧之合必不及象限也若角旁两弧之合适足象限则余弧必与正弧等而无较弧
又设子乙丙形 乙钝角一百度 【乙丙乙子】二弧并四十五度
求对角
乙丙余弧四十五度
乙子 弧四十五度
【半之为甲数】五○○○○ 则无可加亦【亦为乙数】五○○○○ 无可减故皆
用縂弧正
折半为甲数
亦为乙数
一 半径一○○○○○
二 【钝角余】 一七三六五
三 甲数 五○○○○
四 八六八二
加乙数共 五八六八二【命为对弧矢】
得对弧【余】 四一三一八
查表得对弧子丙六十五度三十六分
若前例三邉求乙角
乃置对弧六十五度三十六分之余四一三一八求其矢得五八六八二
丙减乙数五○○○○
仍余八六八二为二率
一 甲数 五○○○○
二 八六八二
三 半径一○○○○○
四 【钝角余】 一七三六四
查表得八十度以减半周得一百度为乙角之度补先数后数法
前式丙乙丁形 乙角一百一十度 【乙丙乙丁】并三十度求丁丙对弧
一 半径方 一○○○○○○○○○○
二 正方二五○○○○○○○○
三 乙角【大矢】 一三四二○二
四 两矢较三三五五○
对弧余六六四五○
查表亦得四十八度二十一分
此因角旁两弧同度则无较弧之矢故径以所得矢较命为对弧之矢
前式子乙丙形 乙角一百度 【乙丙乙子】二弧并四十五度求对弧
一 半径方 一○○○○○○○○○○
二 正方五○○○○○○○○○
三 角大矢 一一七三六五
四 矢较 五八六八二【因无较弧矢故即为对弧矢】对弧余四一三一八
查表亦得对弧子丙六十五度三十六分
若先有对弧子丙而求乙角
一 正方五○○○○○○○○○
二 半径方 一○○○○○○○○○○
三 对弧矢五八六八二【因无较弧矢故即以对弧矢为矢较】四 角大矢 一一七三
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