之线从两小轮求出而两小轮在火星本天是从乙心起算不从甲心起算二也因寅乙距心之线以得视差之角亦为乙心之角非甲心之角三也若甲真为地心则与乙太阳有距数太阳乙心所见之差角至地心必不同观四也视行实行之差角为地面实测非乙心之数不得两处悉同五也又大圏既为本天而侵入太阳天内则将为嵗轮之心若冲日之时嵗轮心既在太阳天内星又在嵗轮最近将越过地心如金水之退伏合而不得冲日矣六也由是观之此图但为借象巧算之用而非以是为真象也或者不察遂真以乙为日体则死于古人句下矣
或问五星新图亦以火星天用太阳为心而冲日之处割入太阳天内又何以説焉曰火星之行围日而能割太阳天者乃嵗轮上周行之迹耳非本天也盖火星本天在太阳之外能包太阳之天因嵗轮之行合伏时在嵗轮之顶去太阳益髙合伏以后离太阳渐逺则行于嵗轮中半与本天齐及其冲日则行嵗轮之底而在本天之内去地益近其去地益近者为日所摄也此理五星所同故土木火三星皆可为围日之象今新图五星不以地为心者是也火星则嵗轮最大冲日时稍侵入太阳之天其实嵗轮之心仍系本天在太阳天外耳七政小轮周行于天遂成不同心之圏嵗轮周行于天成围日之形一而已矣今以实数攷之火星嵗轮半径约为本天半径十之六其合伏时则两半径相加成十六冲日时两径相减只余十之四其侵入太阳天内约为一二分则太阳天半径只得火星天半径十之六有竒而火星合伏时在太阳上约为十分冲日时在太阳下亦约十分而成围日之形矣是故以日为心者嵗轮上星行之轨迹也非本天也【图见下】
火星嵗轮上轨迹围日之图 【土木二星因嵗轮之度而成围日之形与此同理但其天更大而嵗轮小故不致侵入余里之天】
丁庚寅辛为太阳天 戊癸己壬为火星本天甲丑嵗轮以戊为心 丙子嵗轮以己为心
丁为日体 甲丙皆星体
甲癸丙壬为嵗轮上星行轨迹成一大圈而以丁日为心
星天日天各有小轮髙卑其本天则皆以地为心星在嵗轮甲为合伏而去地极逺 星在丙为冲日冲日之时庚丙辛割入太阳天庚寅辛之内而去地极近
星在嵗轮丙时已割入日天然嵗轮心则在本天已若如众説以割入日天内者为本天则冲日时当以丙为嵗轮心矣而星在嵗轮之上又当向日岂不越地心乙而过之乎必不然矣
切线法解在后
火星次均解 【火星次均用切线求嵗轮上视差角乃三角法也】
欲明火星次均用切线之法当先明三角形用切线之法
甲夘乙三角形有甲钝角一百五十度有甲乙邉六十有甲夘邉一百整求夘角
法曰以甲角减半周得余三十度为癸甲乙外角 半之得十五度为丙甲辛角 其切线辛癸【二六七九五】并甲乙【六十】甲夘【一百】共得丙夘一百六十为首率【总数】 以甲乙减甲夘余得辰夘四十为二率【较数】 半外角之切线辛癸为三率 二率乗三率为实首率为法除之得辛夘【六六九八】为四率即辛甲壬减之切线也 以四率查切线表得三度五十分弱为辛甲壬减角 以所得辛甲壬减角三度五十分减半外角十五度余壬甲丙角十一度一十分即夘角也
今以火星言之丙乙辰圏则嵗轮也甲为嵗轮之心丙甲辰夘过心线即星实行度分也
夘为本天之心 甲夘者距心线也【即表中距日数】 甲丙甲乙甲辰皆嵗轮半径也【即表中半径合日差而成星数也】
先以前均求到星之实行在甲矣然此嵗轮之心而非星也星则自丙合伏顺行过辰冲日而渐近合伏其体在乙则丙辰乙为星在嵗轮上行之度【与星距太阳实行之度相等】即相距度也
乙丙则距余度半之为辛丙则距余半也 乙辰为星巳过冲日之度则甲角度也
今已知嵗轮心实行之度又已知星在嵗轮上行之度所不知者视差角耳盖自本天心夘作实行线过甲心至黄道又从夘作视行线过乙星体至黄道其差为夘角是故求次均者求此夘角也
用上法以距日【即距心】为一邉【甲夘】以星数为一邉【甲乙】以星行过冲日之度【即乙辰】为一角【甲角】成甲夘乙三角形依上法得夘角即次均也
一率 距日与星数之总【即甲夘并甲乙亦即甲丙】二率 星数减距日之较【即辰夘】
三率 距余半之切线【即半夘角之切线辛癸盖乙甲丙角为距余即乙甲夘角之余度半之为辛甲丙角即距余半】
四率 减之正切线【即辛壬其角为辛甲壬】
末于辛甲丙【距余半角】内减去辛甲壬【减角】余成壬甲癸角与夘角等得视差之度如所求
既知三角形用切线之法尤当进而明其所以用切线之理
如后图乙甲夘三角形 甲角一百五十度 甲乙邉六十甲夘邉一百 两邉之总一百六十为首率两邉之较四十为次率 甲角之余角半之求切
线为三率【即率癸】 求得四率为半较角之切线辛壬求其度以减半余角得夘角
何以用切线也曰此分角法也凡外角【乙甲丙为乙甲夘之余角亦为外角】内兼有形内余两角之度【乙甲丙外角兼有夘角及甲乙夘角之度】试作壬甲线与乙夘平行分外角为两则壬甲丙角如
夘角矣【以壬申及乙夘皆平行线而丙甲夘未一直线故其作角必等】
外总角内减去同夘角之壬甲丙角则其余壬甲乙角必为甲乙夘角矣
今但有外角为总角而不知其分角故以比例分之而切线则其比例也
又试作乙丙线为外角之通又从乙作正线至丁为乙甲壬大角之正从丙作正线至戊为壬甲丙小角之正而通遇壬甲分角线于子成乙子及子丙两线此大小两线之比例与大小两角之正比例等何也乙子丁勾股形与丙子戊勾股形以子为交角则相似而乙子【大】与子丙【小】若乙丁【大股】与丙戊【小股】矣
又甲夘大邉与甲乙小邉原若所对之大角正【乙角】及小角【夘角】正【凡三角形邉之比例与对角正之比例皆等】即乙丁与丙戊也【角同则正同】则甲夘与甲乙亦若乙子与子丙矣
又试作辛甲线分外角为两平分而各作切线为辛癸为辛己【即半外角之切线】则两切线聨为一【己癸】而与乙丙平行又引壬子线割之则分为二线而己壬与壬癸之比例若乙子与子丙亦若甲夘与甲乙矣
又作庚甲线使庚己如壬癸则庚壬为两线之较己癸为两线之总
而甲乙甲夘两邉之较为辰夘其总为丙夘
甲夘大邉与甲乙小邉之比例既若大线【己壬】与小线【壬癸】则两邉之总与较亦必若两线之总与较矣
一率 丙夘【即甲乙甲夘两边之总】
二率 辰夘【即两邉之较】
三率 己癸【即己壬壬癸两线之总】
四率 庚壬【即两线之较】今各半之
辛癸半总【即半外角辛甲癸之切线】
辛壬半较【即半较角辛甲壬之切线】
既得辛壬切线查表得其角度即半较角也以半较角减【辛甲癸】半外角即半角也
若以半较角加【乙甲辛】半外角亦即甲乙夘角矣
火星测算本法图説【明厯书之倒算】
嵗圏半径【六四七三八】甲乙
查加减表八宫十九度【四十分】 半径数【六四○八七三】太阳引数星纪二十三度加六宫为六宫二十三度日差【一○一六】相并得【六四一八八】为星数与所测防差
若用实引得半径【六四四二五】其数益相近
距心数【九九六九七】寅乙
平引八宫一十九度【四十二分二十秒】
加均数 一十度【三十三分三十秒】
实引九宫初度【一十五分五十秒】
查加减表八宫一十九度【四十分】距日【九九七○一】所差不多若用实引则距心【一○一六七四】差稍大然按图用乙寅线宜用实引
图説本宜用寅防为嵗轮之心以寅乙申角为嵗轮上视差角即寅未也
寅申线则嵗轮之半径也此为本法
今厯书所载地谷图不于寅心作嵗轮圏而以甲为心盖因戌寅亥角与寅乙申视角同度【切线法用此角以代乙角】而甲寅乙角者戌寅亥之交角也凡交角皆同大则甲寅乙角亦即寅乙申视角矣既以甲寅乙角为所测视角则乙防即可为嵗圈之心而甲乙寅角可代乙寅申角矣故以嵗圏上星过冲日之度【冲日即近防亢星过日冲即乙寅申角亦即亢申】移作寅乙甲角自乙嵗圏心依角度作乙甲线与寅甲线遇于甲【先有乙寅甲角自有寅甲线】则甲防即嵗轮上星所到度可代申防而甲乙即嵗轮半径可代寅申矣故以甲乙线为半径者巧法也
然则当以乙为嵗轮之心用代寅防矣何又以甲为心乎曰甲乙既为半径则以乙为心甲为界或以甲为心乙为界其半径等为甲乙也故倒以甲为心其法与诸加减表説作差角于圏界者同也【先倒作均角于寅界法同两术中惯用此倒算之法】
然则以甲为地心何也曰此则其移人耳目之法也何以言之彼固言甲乙为嵗轮半径矣又以甲心乙界之轮为嵗轮矣甲既为嵗轮之心又安得为地心乎然则地心安在曰以理论之仍当以乙防为地心耳何也星之实经在寅其视经在未寅未之成寅乙未角此固实测之度也实测差角从地上得之安得不以乙为地心乎若谓乙为日体则日之去地逺矣日体所见之差角与测所见之差角必有分也而今不然故不得以乙心径为日体也
非地心而地心之何也盖所以使人疑也其使人疑奈何嵗轮心之非地心易见也乙防之非日体难知也以其所易见例其所难知疑则思思则得矣 地心既非地心则日体亦非日体然则其中机彀固以示之矣又论曰借甲为地心妙在作戊己线与乙寅平行葢甲己既与乙寅平行则己甲寅角即甲寅乙角亦即寅乙申均角而甲地心所作之十二宫度一切皆与乙心所作之度相应矣此用法之巧也
先以乙寅甲角代寅乙申视角而取甲乙线以代寅申半径是倒算也复以甲为心乙为界作嵗圏以甲心代乙心亦倒算也两番倒算而倒变为顺故甲可代乙为地心即本天心也而甲己线与寅乙平行即地心所指实行之度也己甲寅角即视差角也寅甲线即视行指线与申乙同也故天度皆应可作十二宫分细度也若于乙作嵗圏则但能得半径而十二宫之向皆反矣故借甲为心法之巧也
乂取甲为心影出火星能入太阳天之象其实火星入太阳天者乃其嵗轮上度非嵗轮心也若真以此为嵗轮心则火星体将过地心而与日同度如金水矣又用甲为心作十二宫则细度可不碍书若用本法则有两小轮各线相襍而不能详书细数故移乙心于甲移寅乙申角为己甲寅角也呜呼可谓巧之至矣但未説破故后学遂妄为作解耳
论曰既火星初均在寅即当以寅为嵗轮心而今不然何耶曰此巧算也甲寅乙角即寅甲己角也何也甲己与乙寅平行也即均角也又乙寅者嵗轮心距日数也乙甲者半径也寅乙甲角者先有之角即星日相距之余数也即己过日冲之度本法以距日数及半径为两邉与先有之角求均数角今先测得均角而无半径故反用其法以求半径法之巧也盖先有两角一邉而求余邉之法也
一率 甲角之正 【有乙寅两角自有甲角】二率 乙寅邉 【即距日数实为嵗轮心距本天心】三率 寅角之正 【即均角乃所测视行与实行之差度】四率 甲乙邉 【即嵗轮半径包有日差在内】
由是言之甲乃嵗轮心耳非地心也若甲真为地心则甲乙非嵗轮半径矣
火星次均解 查火星嵗轮半径与本天半径略如六与十宜即用为比例作图则所得均角亦近【后数系初稿存例非火星正用】
图説 乙甲夘三角形有甲角一百二十度有甲夘邉一百 乙甲邉四十一 求夘角 乙角 乙夘邉
法曰以乙甲甲夘二邉并得一百四十一为总【即丙夘】为一率又相减得五十九为较【即辰夘】为二率 丙甲乙外角六十度半之得三十度【即辛甲丙角】其切线五七七三五【即辛癸】为三率求得【壬辛】为四率得二三九八八查表得十三度二十九分四十秒収作三十分【即辛甲壬角】以辛甲壬角减半外角【辛甲丙角】得壬甲丙角十六度三十分即夘角也 又以辛甲壬角加辛甲丙【即辛甲己】得壬甲己角四十三度三十分【亦即甲乙夘角】末以甲乙夘角四十三度三十分之正六八八三五为二率乙甲四十一为三率全数为一率法为全数与乙角之正若乙甲与甲午也得甲午 又甲乙夘角之余七二五三七为二率乙甲四十一为三率全数为一率法为全数与乙角之余若乙甲与乙午也得乙午 用勾股以甲午幂减甲夘幂余数 开方得数
为午夘乃并乙午午夘共为乙夘邉
一系甲夘如火星距心线【即表中距日数】
甲乙即如火星嵗轮半径【即表中半径加日差为星数之数】丙甲乙外角即如火星行嵗轮上离合伏之度【即日星相距度】
丙
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