求二至日出地广度图【广者地平经度距正卯酉也即日出入方位举二至为例余日皆以赤纬定之】
已丙极髙度 即甲角之
弧【亦即乙甲丁之余弧】 乙丁为夏
至日距赤道之纬 即壬
辛【其正弧辰乙即卯甲】 今求乙甲
为夏至日出地平之广【冬至
同广但夏至在卯酉北冬至在正卯酉南逐日赤纬
皆可以此法求之得逐日出地之广】用甲乙
丁弧三角形 法为丙戊正与丙甲半径若乙丁之正乙辰与乙甲也【乙甲即正 丙戊正即北极髙度之余庚甲也以丙甲戊角即巳甲丙之余角】 或用乙甲卯句股形 则为庚甲余【巳甲丙角之余】与巳甲半径若壬辛之正卯甲与乙甲也末皆以乙甲查正表得弧为出地之广【壬辛之正壬未与乙辰卯甲同大即知乙丁与壬辛亦同大而卯甲之弧亦与壬辛同大而今以直视竟成正】
捷法 以比例尺取丙甲半径于正线之九十度定尺乃以乙甲正取对度得弧命为出地之广
法曰半径与北极出地之割线若赤道纬度正与地平出入经度距正卯酉之正也
此图已为南极 甲乙为冬至日出入之广 卯乙为冬至日轨所减于半昼之度 与前图同理
量法从乙作直立线【与午
甲平行】至戌得戌午弧即
乙星出入地平距正卯
酉经度【大圈即子午规侧望之形故午
甲线即正卯酉】
求时刻法 若欲知卯乙在距等圏之度法以卯为心癸若壬为界作半圏次从卯心出半径直线至干平分半员成象限末于乙出线与卯干半径平行至象限弧止为乙坎则其所分坎干之弧即卯乙在距等圏之度此度与甲丁赤道度相应可以知所歴时刻矣
或用比例尺 以癸卯【即赤纬余】为距等半径加正线九十度定尺乃以卯乙取对度得弧
又算法 求时刻加减度【谓逐日时刻所加减于半昼二十四刻之数春分后加秋分后减皆以度变时】 用前图巳甲乙斜弧三角形 有甲角【极出地度】有巳甲边九十度 有巳乙边赤纬之余【按用斜弧法厯书未有】 求巳角【其弧甲丁】赤道经度用查时刻
法为半径丙甲与甲角之切线酉丙
若已乙之余切亥丁【乙丁为巳乙之余故也实即
赤纬之正切也】与已角之正甲丁【甲丁即弧即正
以直视故弧线变为直线用法以甲丁查正表得角度】
右即夏至卯酉前后日行地平上之赤道度以距等圏上之卯乙即赤道上之甲丁以甲丁度化时即得本地卯正前酉正后所多之刻冬至日卯后酉前所减之度及其时刻并同【逐日求之可列表】
求乙甲边【地平经度查日出方位】此为求出地平之广与前算法并同但用斜弧形故其名顿易 法为半径丙甲与极出地甲角之割线酉甲若已乙之余乙辰与乙甲边【乙甲亦即边即正】 末以乙甲边查正表得乙甲边之度
厯算全书卷十二
自序
授时厯于日躔盈缩月离迟疾并云以算术垜积招差立算而今所传九章诸书无此术也岂古有而今逸耶载攷厯草并以盈缩日数离为六段各以段日除其叚之积度得数乃相减为一差一差乂相减为二差则其数齐同乃缘此以生定差及平差立差定差者盈缩初日最大之差也于是以平差立差减之则为毎日之定差矣若其布立成法则直以立差六者因之以为毎日平立合差之差此两法者若不相而其术巧防从未有能言其故者余因李世徳孝廉之疑而试为思之其中原委亦自晓然爰命孙【瑴成】衍为垜积之图得书一卷
钦定四库全书
厯算全书卷十三
宣城梅文鼎撰
授时平立定三差详説
太阳行天有盈有缩立成以八十八日九十一刻就整为限者【据盈厯言之】此由测验而得之也葢自定气冬至至定气春分太阳行天一象限【依古法以九十一度三一竒为象限】该歴九十一日三十一刻有竒而今则不然毎于冬至后八十八日九十一刻而太阳已到春分宿度故盈厯以此为限也
夫八十八日九十一刻而行天一象限则于平行之外多行二度四十分竒也是为盈厯之大积差若缩厯即其不及之数必行至九十三日竒而后满一象限也故缩厯之限多于盈厯日数其积差极数亦与盈厯同但此盈缩之差絶非平派或自多而渐少或由少而渐多何以能得其毎日参差之数郭太史立为平立定三差法以齐其不齐可得毎日细差及积差其理则出于垜积招差之法也
定差者何曰所测盈缩初日最大之差也凡盈缩末日即同平行其盈缩之最多必在初日今欲求逐日之差必先求初日最大之差以为之凖则故曰定差也既有此最大之差即可以求逐日之差而逐日之差皆以渐而少法当用减故又有平差立差皆减法也然何以谓之平差曰平者平方也其差之増有类平方故以名之也差何以能若平方曰初日以后其盈缩渐减以至于平以常法论之数宜平派即用差分法足矣而合之测验所得则又非平派也其近初日也所减甚少其近末日也所减骤多假如一日减平差一则二日宜减二而今则二日之平差増为四又初日平差一二日平差四则三日宜为七四日宜为十而今则三日之平差増为九四日増为十六故非平方垜积之加法不足以列其衰序也
然则又何以为立差曰立者立方也差何以又若立方曰以平差合之测验犹为未足故复设此以益之假如初日减平差一又带减立差一至二日则平差四而所带之立差非四也乃八也三限平差九而立差非九也乃二十七也葢必如此而后与所测之盈缩相应其分为六段何也曰此求差之法也一二日间虽各有盈缩之差然差少则难辨积至半次其差始多而可见矣故各就其盈缩之日匀分之一年二十四定气分四象限各有六气故其分亦以六也
既匀分六段矣又以后段连前段何也曰此所谓招差也虽匀分六段其差积仍难细分故惟于初段用本数以其盈缩多而易见也【如盈厯初段积盈七千分是最多而易见也】若末段必带前段以其盈缩少而难真也【如盈厯末段积差与第五段相减则其本段中只共盈七百四十九分数少难分故连前段论之】借彼易见之差以显难真之数此立法之意也【以太阳盈差为例他仿此】
然则各段平差不几混乎曰无虑也凡前多后少之积差合总数而匀分之即得最中之率如第六段之平差即第四十四日之盈加分【以八十八日九二折半得四十四日四六即最中之处其本段平差二百七十余分与之相应下仿此】第五段之平差即第三十七日之盈加分第四段之平差即二十九日之盈加分第三段之平差即第二十二日之盈加分第二段之平差即第十四日八二之盈加分第一段之平差即第七日四一之盈加分其数各有归着虽连前段原无牵混也然则又何以有一差二差曰一差者差之较也二差者较之较也曷言乎差之较曰各段平差是盈缩于平行之数也其数初段多而末段少各段一差是相邻两限盈缩之较也其数初段少而末段反多然则二者若是其相反欤曰非相反也乃相成也葢惟其盈缩于平行之数既以渐而减则其盈缩自相差之数必以渐而増其法于前限平差内减次限平差即知前限之盈缩多于后限若干矣而此一差之数原非平派故初限次限之较最少而次限三限之较渐多三限四限之较又多四限五限更多至五限六限则多之极矣其多之极者何也盈缩之数近末限则骤减也此一差之前少后多正所以为盈缩之前多后少也
然则二差又何以有齐数曰不齐者物之情也而不齐之中有所以不齐焉得其所以不齐斯可以齐其不齐矣今各限之一差不齐而前后两一差相减则仍有齐数为二差是其不齐者差之较而其无不齐者较之较也较之较既为齐数则较数之不齐皆有伦而有脊矣故遂可据之以求定差也
泛平积即用第一段平差何也曰今推定差初日之数也前所推第一段平差则第七日之数也故总第一段言之可曰平差而自初日言之但成泛积泛者对定之辞言必再有加减而后为定率也
二差折半何也曰以分平差立差之实也葢泛平积差既为初日盈加分多于七日之较则皆此七日中平差立差所积而成之者也而平差之数大立差之数小泛平积之大数皆平差所成而其中有六十九秒【即半二差】则立差所成故分出此数以便各求其数也
平差除一次立差除两次何也曰此平立之分也除一次者段日本数为法也除两次者段日自乘为法也于是再以段日乘之则本数者如平方之自乘自乘者如立方之再乘矣
平立合差何也曰次限少于初限之差也内有两平差六立差之共数故谓之合差【如盈厯以二分四十六秒为平差三十一微为立差今倍平差得四分九十二秒加入加分立差一秒八十六微共得四分九十三秒八十六微为平立合差是有两平差六立差之数葢加分立差原是六个立差也】
定差内又减一平差一立差为初日加分何也曰此初日加分之积少于定差之数也既以定差为初日加分矣而积又减此何也曰以定差为初日加分者乃初日最初之率也积满一日则平差立差各有所减而特其减甚微故各祗一数如平方立方之起数以一也是故此一平差一立差者即初日平立合差也
初日之平立合差何独少耶曰准于平方立方之加法正相应也葢平方幂积以自乘之积为等【其数一四九十六二十五三十六四九六四八一也】立方体积以再乘之积为等【其数一八二十七六四百二十五二一六三四三五一二也】而平立合差之数亦如之
是故初日之盈缩积是于定差内减一平差一立差如平方立方之根一者积亦一也
次日之盈缩积是于二定差内减四平差八立差 如方根二者平积必四立积必八也
三日之盈缩积是于三定差内减九平差二十七立差如方根三者平积必九立积二十七也
四日之盈缩积是于四定差内减十六平差六十四立差如方根四者平积必十六立积必六十四也
向后各限并同此推合而言之即皆逐日之平立合差也然则以一平差一立差较次日之四平差八立差固为小矣而以四平差八立差较三日之九平差二十七立差不更小乎何况以三较四则为九平差二十七立差与十六平差六十四立差其相差不更悬絶乎问次日之平立合差只两平差六立差而今又云四平差八立差三日以后之平立合差只递増六立差【逐日递増加分立差一秒八十六微是六个立差之数】而今所云者三日有平差九立差二十七其説之不同如此必有一误矣曰差之积类于平方立方者是总计其所减之数而毎加加分立差者是分论其逐日所减之数也欲明此理仍当求诸少广【少广者开方法也】
今夫平方以一四九十六二十五等为序者其幂积也若分而言之以一三五七九为序者其廉隅也【以相挨两平幂相减即得廉隅如一与四相减得三四与九相减得五九与十六相减得七十六与二十五相减得九是也】廉隅即较也而递増以二数者较之较也【一三五七九皆递増以二】今夫立方以一八二七六四一二五为序者其体积也若分而言之以七十九三七六一为序者其廉隅也【亦以相挨两体积相减得之如一减八得七八减廿七得十九廿七减六十四得三十七六十四减一百二十五得六十一是也】廉隅即较也而递増以六者较之较也【一増六得七七増二六得十九十九増三六得三十七三十七増四六得六一】是故平立差之总积是初日以来所积之差也亦如平立方之幂积体积也平立差之加法是逐日递増之较也亦如平立方之廉隅也
合初日以来之加分【即盈缩积度】与定差较则其差如平立方之幂积体积也【平差之序一四九十六二十五 立差之序一八二十七六四一二十五】若以本日之加分与定差较则其差如平立方之廉隅也【平差之序一三五七九 立差之序七十九三十七六十一】
若以本日之平立合差与初日较如平立方之廉积【平差之増二四六八立差之増六十八三十六六十】若以相近两日之平立合差自相较如平立方之廉积相较【平差之递増皆二立差之递増以六而再増十二为二六再増十八为三六再増二十四为四六也】于定差内减平差立差各一为初日加分
又于初日加分内减去二平差六立差是共减平差四【本日实减三合初日所减之一则四】立差八【本日实减七合初日所减之一则八】而为次日加分也
又于次日平立合差内加入六立差为平立合差【共二平差十二立差】以减次日加分是共减去平差九【本日实减平差五合前两日所减四共九】立差二十七【本日实减立差十九合前日所减之八则二十七】而为三日加分也
又于三日之平立合差内加六立差为平立合差【共二平差十八立差】以减三日加分是共减去平差十六【本日实减平差七合前三日所减之九则十六】立差六十四【本日实减立差三十七合前三日所减之二十七则六十四】而为四日加分也
故曰合初日以来之加分与定差较
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