百六十五日又九百四十分日之二百三十五约为四之一【约法见后】
一法除之至尽古厯家所谓退除为分秒是也单下有一位命为十分之几有两位命为百分之几十几三位则命分千四位则命分万皆以除得数为得分
假如授时厯法每嵗三百六十五日二千四百二十五分是以万分为日即命分也
式如后
假如五尺为歩每方一歩积二十五尺今有积二百四十尺得若干步
答曰九步又五分步之三
如图列实简筹第九行是二二
五商作九【第九行故】减实二百二十
五尺余一十五不尽以法命之
命为九步又二十五分歩之一
十五约为五之三【约分法见后】
若用第二命分法再列余实加
○位商之以得其分秒如后
余实下加一圈则一十五尺通
为一百五十分可再商矣
简等第六行是一五○商六分
除余实恰尽
命分九歩六分【即十分歩之六
命分第二法与法多于实除法同故皆曰除分秒也】
若余实为一十六尺则又不尽一尺法当于不尽一○之下再加一圈为一○○使此一尺化为一百分而再除之得四厘共九歩六分四厘【即百分歩之六十四】
约分法
约分者约其繁以从简也
法曰母数子数平列相减而得其纽数即以纽数为法转除两原数而得其可约之分
凡约分相减不拘左右但以少减多如左少右多则以左减右左多右少则以右减左若减之后或多者变而少则转减之必减至左右相同无可减而止即纽数也【若一减之即得纽数则不必转减】
解曰纽数者互相减之余数相等者也以此除两数则皆可分乃两数之枢纽
若相减至尽而无纽数者则不可约
假如母数二十五子数一十五约之若干
畣曰五之三
一○ 先以【十五】复以【一十】 ○五
二五 减【二十五】一○转减【十五】 一○
一五 余【一十○】一五 余【○五】○五
复以【○五】转减【一十】余【○五左右皆五即为纽数】以纽数【○五】为法转除母【二十五】得【五】除子数【一十五】得【三】故曰五之三葢母数是五个五子数是三个五也
此转减例
又如母数九百四十子数二百三十五约之若干畣曰四之一
先以【二百三十五】减【九百四十】余【七百○五】又减之余【四百七十○】又减之余【二百三十五】
左右皆【二百三十五】即纽数也
以纽数【二百三十五】转除母数【九百四十】得【四】除子数【二百三十五】得一故曰四之一
母数是四个【二百三十五】
子数是一个【二百三十五】
此不转减例
厯算全书巻三十
钦定四库全书
厯算全书巻三十一
宣城梅文鼎撰
筹算二之三
开平方法
勿庵氏曰自周髀算经特着开平方法其説谓周公受于商髙矩地规天为用甚大然有实无法故少广之在九数别自为章今以筹御之简易直截亦数学之一乐也
解曰平方者长濶相等之形也其中所容古谓之幂积亦曰面幂西法谓之面面有方有圆此所求者方面也其法有方有亷有隅总曰平方也【幂音覔覆物中也】开亦除也以所有散数整齐而布列之为正方形故不曰除而曰开平方四边相等今所求者其一边之数西法谓之方根
如后图方者初商也初商不尽则倍初商之根为亷法除之得两亷又以次商为隅法自乘得隅隅者以补两廉之空合一方两亷一隅成一正方形
如图一方两廉一隅除积仍不尽则合初商次商倍之为廉法除之以得次两廉又以三商为隅法自乘得隅合一方四廉两隅成一正方形【商四次以上仿此加之】
解曰上两位者自乘之积也假如方一十则其积一百方二十则其积四百以至方九十则其积八千一百也下一位者方根也假如积一百则其根一十积四百则其根二十乃至积八千一百则其根九十也平方筹式列左
开平方筹只用两位积数何也曰开方难得者初商耳平方积数虽多而初商所用者只两位次商以后皆亷积也亷积可用小筹除之开方大筹専为初商故积止两位
筹下一位单数也而实有百也万也百万也亿也百亿也万亿也百万亿也皆与单同理故独商首位者用下位之积数焉【其积自○一至○九其方根为一二三】
筹上一位十数也而实有千也十万也千万也十亿也千亿也十万亿也干万亿也皆与十同理故合商两位者用上下两位之积数焉【其积自一六至八一其方根自四至九】
用法曰先以实列位列至单位止实有空位作圏以存其位次乃作凡作之法皆从实单位实单位起作一毎隔位则之而视其最上一以为用首位有防者以实首一位独商之【乃补作一圏于原实之上亦成两位之形】
首位无在次位者以实首位合商之
皆视平方大筹积数有与相同或差小于实者用之以减原数而得方数即初商也
定位法曰既得初商则约实以定其位知其所得为何等【或单或十或百之类】以求次商
其法依前隔位所作之总计之视有若干防
假如只一者初商所得必单数也【自方一至方九】则初商已尽无次商矣
有二者初商所得必十数也【自方
【打 印】 【来源：读书之家-dushuzhijia.com】
