又法视其在首位则于原实之上加两圈在次位者上加一圈皆合三位而商之
次以初商之实与立方筹相比勘视立方筹积数有与实相同或差小于实者用之以减原实而得其立方之数即初商也
定位法曰既得初商则约实以定位知所得立方为何等【或单或十百等】以知有续商与否 皆以前所作防而合计之视有若干之命之
假如只有一则商数是单 初商已得单数无次商
有二防者商数十 初商十数者有商两次焉有三者商数百 初商百数者有三三次焉四商千 五防商万 每多一防则得数进一位而其商数亦多一次皆以商得单数乃尽也
减积法曰凡初商减积皆止于最上之位
次商法曰依前定位若初商末是单而减积未尽是有次商也次商者有平亷法有长亷法有隅法【解曰平亷古曰方法长亷法古曰亷法以后或曰平亷长长亷从质也或省曰方法亷法从古也】
先以所得初商数三之为亷法
又以初商数自乘而三之为三法 以方法用筹除积以得次商【以列位之法定之其法见后】
既得次商用其数以乘方法为三平亷积
又以次商自乘以乘亷法为三长亷积
其次商即为隅法 以隅法自乘再乘得小立方积为隅积
乃并三平亷三长亷一小隅积为次商亷隅共积若此亷隅共积与余积适等或小于余积则减而去之视其仍余若干以为用【或续商或以法命之】
若共积反大于余实不及减转改次商及减而止【若次商单一而无减以法命之】
商三次法曰次商尚未是单而减积未尽是有第三次商也
第三次商者合初商次商得数而三之为亷法又合初商次商得数自乘而三之为方法 如前以方法用筹除余实求得第三商【亦以列位法详其所得】
既得第三商如前求得三平亷三长亷一小隅积以减余实其法并同次商
四次以上皆同法
命分法曰但商得单数而有不尽则以法命之 未商得单数而余实甚少不能商单一者亦以法命之其法以所商立方数自乘而三之【如平亷】又以立方数三之【如长亷】又加单一【如小隅】并三数为命分不尽之数为得分 其命分必大于得分
列商数法曰依前隔位作防以最上一为主而论之有三法凡商得立方一数者于此之上一位书之【或单一或一十或一百或一千并同】此常法也
若商得立方二三四五者于此之上两位书之【单十百千其法并同】乃进法也
若商得立方六七八九者于此之上三位书之【单十百千其法并同】乃超进法也
平方只有进法而立方有三法何也平方以亷法为法而平方只二亷故其亷法之积数只有进一位故止立进法与常法为二也立方以方法为法而立方有三平廉故其方法之积数有进一位进两位故立进法超进法而与常法为三也其预为续商之地使所得单数居于法之上一位则同
假如立方单一其方法单三 若立方单二则方法一十二变为十数进一位矣故单一用常法而单二即用进法也
又如立方单五其方法七十五 若立方单六则方法一百○八又变百数进两位矣故单五只用进法而单六以上必用超进之法也
假如立方一十其方法三百 若立方二十则方法一千二百变千数进一位矣故一十只用常法而二十即用进法也
又如立方五十其方法七千五百 若立方六十则方法一万○八百又变万数进两位矣故五十仍用进法而六十以上必用超进之法也
若宜进而不进宜超进而不超进则初商次商同位矣不宜进而进则初商次商理不相接矣此归除开立方之大法也
其次商列位理本归除以所减积数首一位是空不是空定其进退皆同平方 商三次以上并同
隅积法曰隅法单隅积尽单位 隅法是十隅积尽于千位
隅法百隅积尽百万之位 以上仿求 大约隅法大一位则隅积大三位
还原法曰置开得立方数为实以立方数为法乘之得数再以立方数乘之有不尽者加入不尽之数即得原实
假如有积一千三百三十一立方开之
列位 作【从单位起】
视首位有以○○一千为初商
之实
乃视立方筹有○○一其立方一
于是商一十【有二故商十】减去立方积一千余三百三十一【初商十者有次商也】
以最上为主商一数者书于防之上一位常法也次以初商一十而三之得三十为亷法
又以初商一十自乘而三之得三百为方法【用第三】
视筹第一行积数○三与余
实同次商一于初商一十之
下【减积首位是○故进位书于一十之下以暗对其○】
于是以次商一乘方法仍得三百为平亷积 又以次商一自乘仍得一用乘亷法仍得三十为长亷积又以次商一自乘再乘皆仍得一为隅积 并三
积共三百三十一除余实恰尽
凡开得立方一十一【还法以立方一十一自乘得一百二十一又以一十一再乘合原积】
假如有积一十二亿五千九百七十一万二千立方开之列位 作
视首位有以○○一十
亿为初商之实
乃视立方筹有○○一其方亦一于是商一千减立方积一十亿余二亿五千九百七十一万二千次以初商一千而三因之得三千为亷法
又以初商一千自乘得一百万而三之得三百万为方法【用第三筹】
视第三筹之第八行积数二四小于余实次商八十于初商一千之下一位【所减首位不空故次商八书本位而上一位作○因与次商隔位故知其是十】
就以次商八十乘方法三百万得二亿四千万为平亷积
又以次商八十自乘得六千四百用乘廉法三千得二千九百二十万为长亷积 又次商八十自乘再乘得五十一万二千为隅积 并三积共二亿五千九百七十一万二千除实尽
凡开得立方一千○八十○【初商千次商○八是十而除实已尽是所商单位亦○也此列位之妙】
以上皆商得一数例也 皆以最上一为主而以初商得数书于之上一位乃常法也惟商得一数者可用常法一十一百一千一万并同
假如有积九千二百六十一立方开之
列位 作
视在首位以○○九千命为初商之实
乃视立方筹积有小于○○九者
○○八也其立方二于是商二十
【二故初商十】减立方积八千余一千二
百六十一
以最上一为主而以得数书于防之上两位乃进法也商二至五之法也
次以初商二十用三因之得六十为亷法
又以初商二十自乘得四百而三因之得一千二百为方法【用第一第二两筹】
合两筹第一行积一二与余实相同次商单一于初商二十之下【所减首位空宜进书也若初商不先用进法则无以处次商矣故进法自商二始】
就以次商一乘方法仍得一千二百为三平亷积又以次商一自乘得一用乘亷法仍得六十为三长亷积又以次商一自乘再乘皆仍得一为隅积 并三积共一千二百六十一除实尽凡开得立方二十一
假如有立方积三万二千七百六十八立方开之问得若干
列位 作
视在次位以○三万二千为初
商之实乃视立方筹积小于○三
二者是○二七其立方三也于是
商三十【二防故初商十】减商三十【二故初商十】减立方积二万七千余五千七百六十八
次以初商三十用三因得九十为亷法
又以初商三十自乘得九百而三之得二千七百为方法【用第二第七两筹】
合视两筹第二行积○五四小于余实次商单二于初商三十之下【所减首位○宜进书以对其○】
就以次商单二乘方法得五千四百为平亷积 又以次商自乘得四用乘廉法得三百六十为长廉积又以次商自乘再乘得八为隅积 并三积共五
千七百六十八除实尽凡开得立方三十二
假如有立方积一十一万七千六百四十九立方开得若干
列位 作
视在第三位以一十一万七千为初商之实
乃视立方筹积有小于一一七者
○六四也其立方四于是商四十
【二故初商十】减立方积六万四千余五
万三千六百四十九 次以初商四十用三因之得一百二十为亷法
又以初商四十自乘得一千六百而三之得四千八百为方法【用第四第八两筹】
合视两筹第九行积数四三二小于余实次商九于初商四十之下【所减首位不空故本位书之】
就以次商九乘方法得四万三千二百为平亷积又以次商九自乘得八十一用乘亷法得九千七百二十为长亷积 又以次商九自乘再乘得七百二十九为隅积 合计亷隅三积共五万三千六百四十九除实尽
凡开得立方四十九
假如有积一千六百六十三亿七千五百万立方开得若干
列位 作
视在第三位以一千六百六十亿为初商之实
乃视立方筹有小于一六
六者是一二五其立方五
也商作五千【四商千】除立方
积一千二百五十亿余四百一十三亿七千五百万次以初商五千用三因之得一万五千为亷法又以初商五千自乘得二千五百万三因之得七千五百万为方法【用第七第五两筹】
合视两筹第五行积三七五小于余实次商五百于初商五千之下【所减首位不空故书本位】
就以次商五百乘方法得三百七十五亿为平亷积又以次商五百自乘得二十五万用乘亷法得三
十七亿五千万为长亷积 又以次商五百自乘再乘得一亿二千五百万为隅积 并三积共四百一十三亿七千五百万除实尽 凡开得立方五千五百○○
以上乃商得二三四五之例也 皆以最上一为主而以初商所得进书之上两位进法也初商得二三四五者用进法单十百千并同
假如有积二十六万二千一百四十四立方开之列位 作
视在第三位以二十六万二
千为初商之实
乃视立方筹有小于二六二者
二一六也其立方是六商六十【二防商十】减立方积二十一万六千余四万六千一百四十四
以最上一为主而以得数书于之上三位超进法也乃商六至九之法也
次以初商六十用三因之得一百八十为亷法又以初商六十自乘得三千六百而三因之得一万○八百为方法【用第一空位第八三筹】
合视筹第四行积四三二小于余实次商四于初商六十之下【所减首位是○故进位书之以对其○】
就以次商四乘方法得四万三千二百为平亷积又以次商四自乘得一十六用乘亷法得二千八百八十为长亷积 又以四自乘再乘得六十四为隅积 并三积共四万六千一百四十四除实尽凡开得立方六十四
假如有积三十七万三千二百四十八立方开之列位 作
视在第三位以三十七万三千为初商之实
乃视立方筹积有小于三七三
者是三四三其立方七也商七
十【二商十】减立方积三十四万三
千余三万○二百四十八次以初商七十用三因之得二百一十为亷法
又以初商七十自乘得四千九百三之得一万四千七百为方法【用第一第四第七三筹】
合视筹第二行积二九四小于余实次商二于初商七十之下【所减首位空故进位书之以对其○】
就以次商二乘方法得二万九千四百为平亷积又以二自之得四用乘亷法得八百四十为长亷积又以二自乘再乘得八为隅积 并三积共三万
○二百四十八除实尽凡开得立方七十二
假如有积五十三万一千四百四十一立方开之列位 作
视在第三位以五十三万一千为初商之实
乃视立方筹积有五一二小于
五三一其方八也商八十【二商十】减立方积五十一万二千余一
万九千四百四十一
次以初商八十用三因之得二百四十为亷法又以八十自乘得六千四百三之得一万九千二百为方法【用第一第九第二三筹】
合视筹第一行是一九二小于实次商一于初商之下 就以次商一乘方法为平亷积 又以一自乘用乘亷法为长亷积 又以一自乘再乘为隅积并三积共一万九千四百四十一除实尽
凡开得立方八十一
假如有积九十七万○二百九十九立方开之
列位 作
视在第三位以九十七万○为初商之实
乃视立方筹有七二九小于九七○其方九也商九
十【二商十】减积七十二万九千余
二十四万一千二百九十九
次以初商九十三之得二百七十为亷法
又以九十自之得八千一百而三
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