不用用第二防论之商九者书于第二防之上三位超进法也】
次用次商又法以纵八百尺加初商九十尺而倍之得一千七百八十尺并初商九十尺共一千八百七十尺用与初商九十尺相乘得一十六万八千三百尺为平亷法 又以初商九十尺三因之得二百七十尺加纵八百尺共得一千○七十尺为长亷法乃列余实以平亷为法除之【用第一第六第八第三共四等】
商九十用超进法书于第二防之上三位今以纵多致亷法进为十万故次商时应更为酌定又超一位书之然后次商单数在亷法上一位矣改如后图【亷法十万上一位单数位也今商九十不合在此位故改之】
合视筹第二行积○三三六六小于余实次商二尺于初商九十之下【所减首位是○法宜进书也初商不改而更超之何以居次商】就以次商二尺乘平亷法得三十三万六千六百尺为平亷积 又以次商二尺自乘四尺用乘长亷法得四千二百八十尺为长亷积 又以次商二尺自乘再乘得八尺为隅积 并三积共三十四万○八百八十八尺除实尽
乃以商数命为井方 加纵为井深
计开
井方九十二尺深八百九十二尺
此超进法改而更超一位也
带两纵纵数相同图二
此髙不及方也方之横与直俱
多于髙是为两纵两纵者纵廉
二纵方一并立方而四
立方形长濶髙皆相等
纵亷形髙与濶相等如其方之
数其厚也如所设纵之数
纵方形两头等皆如纵数其髙也如立方之数两纵亷辅立方两面而纵方补其隅合为一短立方形
不及之数有在立方旁者观后图可互见其意
如图初商有立方有纵廉二纵方一共四形今只图其二余为平廉所掩意防之可也【此横头不及方也即前图之眠体】
次商平廉三内带一纵者二带两纵者一长廉三内带纵者二小隅一共七
平廉带一纵者濶如初商加纵为长厚如次商其带两纵者髙濶皆等皆如初商加纵之数厚如次啇
长廉带纵者长如初商加纵之数其两头横直皆等皆如次商
无纵长廉长如初商两头横直等如次商
小隅横直髙皆等皆如次商
用法曰先以纵倍之为纵廉【两纵并也】以纵自乘为纵方【两纵相乘】
此因两纵数同故其法如此也若两纵不同径用乘法并法矣
乃如法列位作防求初商之实
以立方筹为法求得初商方数及初商立方积【皆如立方法皆依定位法命之】
次以初商乘纵方得数为纵方积 又以初商自乘数乘纵亷得数为纵亷积
合计纵方纵亷立方之积共若干数以减原实而定初商【皆如一纵法】
命初商为髙数【或深数皆如所设】加纵为方数【不及减改商之若初商未是单数则以余实求次商】
次商法曰以初商加纵倍之以乘初商髙数得数 又以初商加纵自乘得数 并之共为平亷法【又法初商三之加纵以初商加纵乘之得数为平亷法亦同】
次以初商加纵倍之并初商数共为长亷法【又法初商三之纵倍之并为长亷法亦同】
乃置余实列位 以亷法位酌定初商列法而进退之以平亷为法而除余实得数为次商【皆以所减首位是○与否而为之进若退】 又法合平亷长亷两法以求次商
于是以次商乘平亷法为平亷积 又以次商自乘数乘长亷法为长亷积 又以次商自乘再乘为隅积 合计平亷长亷隅积共若干数以减余实而定初商【皆如一纵法】
【又法以次商乘长亷法为长亷法又以次商自乘为隅法并平亷长亷隅法以与次商相乘为次商亷隅共积以减余实亦同】
乃命所商数为髙【或深之类如所设】加纵数命为方合问
不尽者以方倍之乘髙又以方自乘【如平亷】又以方倍之并髙【如长亷】又加单一【如隅】为命分
假如有方台积五百八十六万六千一百八十一尺但云髙不及方一百四十尺 以带两纵立方为法除之【方者长濶等每面各多髙一百四十尺】
先以纵一百四十尺倍之得二百八十尺为纵积又纵自乘之得一万九千六百尺为纵方
列位 加防
视防在首位独商之以○
○五百万尺为初商之实
视立方积有○○一小于
○○五商一百尺【三防故商百尺】得立方积一百万尺【商一数宜用常法书于防之上一位今因纵多致亷法升为十万法上一位为单单上一位为十今初商是百尺故改用进法书之亷法之升见后】
就以初商一百尺乘纵方得一百九十六万尺为纵方积
又以初商一百自乘一万乘纵亷得二百八十万尺为纵亷积
合计立方纵方纵亷积共五百七十六万尺以减原实余一十万○六千一百八十一尺【初商百尺宜有续商】初商一百尺髙也 加纵共二百四十尺方也次以方倍之四百八十尺用乘髙数得四万八千尺又以方自乘之得五万七千六百尺并之得一十万○五千六百尺为平亷法
又以方倍之并髙得五百八十尺为长亷法
乃列余实 以亷法酌定初商改进一位书之
以平亷法用筹除余实
视筹第一行○一○五六
小于余实次商一尺于初
商一百尺之隔位【所减是○一○五六首位○宜进书然犹与初商隔位故知为单一尺】 就以次商一尺乘平亷法如故又以次商一尺自乘以乘长亷法亦如故就命为平亷长亷积 又以次商自乘再乘仍得一尺如故 合计三积共一十万○六千一百八十一尺除实尽
乃以所商数命为台髙 加纵为方
计开
台髙一百○一尺 方二百四十一尺
此常法改用进法也
假如有方池积五十万丈但云深不及方五十尺 先以纵【五十】尺倍之一百为纵亷 又纵自乘之得【二千五百】尺为纵方
列位 加防
视防在第三位合商之以五十
万○○尺为初商之实
视立方筹有三四三小于五○
○宜商七十尺【二防商十尺】因纵改商六十尺得立方积二十一万六千尺 次以初商六十尺自乘三千六百尺用乘纵亷一百尺得三十六万尺已大于实不及减不必求纵方积矣 改商五十尺用筹求得立方积一十二万五千尺
就以初商五十尺乘纵方得纵方积亦一十二万五千尺 又以初商五十尺自乘二千五百尺用乘纵亷得纵亷积二十五万尺 并三积共五十万尺除实尽 以商数命为池深 加纵为方
计开 池深五十尺 方一百尺
此进法改为超进也【假有次商则其平亷法二万尺矣假有命分则其命分二万○二百五十一矣】 亦有髙与长同而濶不及数者准此求之但以初商命为濶而加纵为髙与长
带两纵纵数不相同图二
此长多于濶而髙又多于
长也是为两纵而又不相
同凡为大纵亷小纵亷各
一纵方一并立方形而四
立方形长濶髙相等
大纵亷横直等如其方而
髙如大纵 小纵亷髙濶
等如其方而厚如小纵
纵方形之两头髙如大纵厚
如小纵其长也则如立方大
纵 小纵以辅立方之两
面而纵方补其阙合为一长
立方形如图初
商有立方有大纵廉小纵廉
纵方各一共四只图其二余
为平廉所掩也次商平廉三
内
带小纵者一带大纵者一带
两纵者一长廉【在初商大纵立方之
背面】三内带小纵
者一带大纵者一小隅一共
七在初商
大纵立方之
带小纵平亷濶如初商长如初商加小纵之数髙如次商
带大纵平亷濶如初商髙如初商加大纵之数厚如次商
带两纵平亷濶如初商加小纵之数髙如初商加大纵之数厚如次商
带小纵长亷长如初商加小纵之数 带大纵长亷髙如初商加大纵之数 无纵长亷长如初商数其两头横直皆如次商之数
小隅横直髙皆如次商之数
用法曰以两纵相并为纵亷 以两纵相乘为纵方列位作防求初商之实 以立方筹求得初商立方积 以初商求得纵方纵亷两积 皆如前法乃以初商命为濶 各加纵命为长为髙
求次商者以初商长濶髙维乘得数而并之为平亷法
又以初商长濶髙并之为长亷法
乃置余实列位【以平亷酌定初商之位】以平亷为法求次商及平亷积长亷积隅积以减余实乃命所商为濶各以纵加之为髙为长【如所设】皆如前法
不尽者以所商长濶髙维乘并之【如平亷】又以长濶髙并之【如长亷】又加单一【如隅】为命分
假如有长立方形积九十尺但云髙多濶三尺长多濶二尺
先以两纵相并五尺为纵亷 以两纵相乘六尺为纵方
列位 作防
视防在第二位合商之以○九十
○尺为初商之实
乃视立方筹有○六四小于○九○宜商四八因有纵改商三尺得二十七尺为立方积【原实只一防故初商是单商三故书于防之上两位用进法也】
次以初商三尺自乘九尺乘纵亷得四十五尺为纵亷积
又以初商三尺乘纵方得一十八尺为纵方积并三积共九十尺除实尽
乃以初商命为濶 各加纵为髙为长
计开
濶三尺 长五尺 髙六尺
假如有立方积一千六百二十尺但云长多濶六尺髙多濶三尺
先以两纵相并九尺为纵亷 以两纵相乘一十八尺为纵方
列位 作防
视防在首位独商之以○○一千
尺为初商之实
乃视立方筹有○○一与实同商一十尺【二防商十】得立方积一千尺次以初商一十尺自乘一百尺乘纵亷得九百尺为纵亷积又以初商一十尺乘纵方得一百八十尺为纵方积 合计之共二千○八十尺大于实不及减【商一十故用常法书于防之上一位】改商九尺得七百二十九尺为立方积【十变为单则上一防不用用第二防故商九书于第二防之上两位用超进法也】
次以初商九尺自乘八十一乘纵亷亦得七百二十九尺为纵亷积
次以初商九尺乘纵方得一百六十二尺为纵方积并三积共一千六百二十尺除实尽
乃以商数命为濶 各加纵为长为髙
计开
濶九尺 长一十五尺 髙一十二尺
假如有长立方积六万四千尺但云长多濶五尺髙又多长一尺
先以长多五尺髙多六尺并之得【十十】为纵亷 又以五尺六尺相乘三十为纵方
【解曰长多濶五尺髙又多长一尺是髙多濶六尺也】
列位 作防
视防在第二位合商之以○六
万四千尺为初商之实
视立方筹有○六四与实同宜
商四十尺因有纵改商三十尺【二防故商十尺】得二万七千尺为立方积【商三十故书于防之上两位用进法也】
次以初商三十尺自乘九百尺乘纵亷得九千九百尺为纵亷积
次以初商三十尺乘纵方得九百尺为纵方积并三积共三万七千八百尺以减原实余二万六千二百尺再商之【初商十宜有次商】
初商三十尺濶也 加纵五尺共三十五尺长也又加一尺共三十六尺髙也
乃以初商长濶髙维乘之
濶乘长得一千○五十尺 髙乘濶得一千○八十尺 长乘高得一千二百六十尺
并三维乘数共三千三百九十尺为平亷法【又法并长与髙乘濶又以髙乘长并之亦同】
次以初商长濶髙并之共一百○一尺为长亷法【又法初商三之加两纵亦同】
乃以平亷用筹为法以余实列位除之
如后图合视筹第六行是二○三四小于余实次商六尺【所减首位不空故书本位】得二万○三百四十尺为平亷积【次商乘平亷法也】
次以次商六尺自乘三十六尺乘长亷法得三千六百三十六尺为长亷积又以次商六尺自乘再乘得二百一十六尺为隅积
并三积共二万四千一百九十二尺以减余实余二千○○八不尽以法命之
法以初商濶髙长各加次商为濶髙长而维乘之濶乘长得一千四百七十六尺 髙乘濶得一千五百一十二尺 长乘髙得一千七百二十二尺
并得四千七百一十尺【如平亷】又并濶髙长得一百一十九尺【如长亷】又加一尺【如隅】共得四千八百三十尺为命分不尽之数为得分
命为四千八百三十分尺之二千○○八即竒数也计开
濶三十六尺有竒【音基】 长四十一尺有竒髙四十二尺有竒
假如有长立方形积一十万○一千尺但云长多濶五尺髙多濶六尺
先以两纵并得一十一尺为纵亷
以两纵乘得三十尺为纵方
列位 作防
视防在第三位合三位商之以
一十万○一千为初商之实
乃视立方筹有○六四小于一
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