一
○一商四十尺【二防商十】得六万四千尺为立方积【商四十故书于防之上两位进法也】
次以初商自乘一千六百尺乘纵亷得一万七千六百尺为纵亷积
次以初商乘纵方得一千二百尺为纵方积
并三积共八万二千八百尺以减原实余一万八千二百尺再商之
初商四十尺濶也 加纵五尺得四十五尺长也加纵六尺得四十六尺髙也
乃以初商濶长髙而维乘之
长乘濶得一千八百尺 濶乘髙得一千八百四十尺【又法并髙与长九十一尺以濶四十尺乘之共三千六百四十尺省两维乘其数亦同】髙乘长得二千○七十尺
并维乘数共五千七百一十尺为平亷法
又以濶长髙并之共一百三十一尺为长亷法乃列余实以平亷用筹为法除之
合视筹第三行是一七一三小于
余实次商三尺【所减首位不空故本位书之】就
以次商三尺乘平亷法得一万七
千一百三十尺为平亷积 又以
次商三尺自乘九尺乘长亷法得一千一百七十九尺为长亷积 又以次商三尺自乘再乘得二十七尺为隅积 并之得一万八千三百三十六尺大于余实不及减
改商二尺
就以次商二尺乘平亷法得一万一千四百二十尺为平亷积【即用筹第二行取之】
次以次商自乘四尺乘长亷法得五百二十四尺为长亷积 又以次商自乘再乘得八尺为隅积并之共一万一千九百五十二尺以减余实仍余六千二百四十八不尽以法命之
法以濶长髙各加次商二尺为濶长髙而维乘之并髙四十八尺长四十七尺共九十五尺以濶四十二尺乘之得三千九百九十尺【代两维乘】又以长乘髙得二千二百五十六尺并得六千二百四十六尺 又以长濶髙并之得一百三十七尺 又加一尺 共六千三百八十四为命分
命为六千三百八十四之六千二百四十八即竒数计开
濶四十二尺有竒
长四十七尺有竒
髙四十八尺有竒
厯算全书卷三十二
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书卷三十三
宣城梅文鼎撰
筹算六之七
开方捷法
勿庵氏曰亷隅二形也故有二法今借开方大筹为隅法列于亷法筹之下而合商之则亷隅合为一法而用加捷矣存前法者所以着其理用捷法者所以善其事
平方
法曰如前列实从单位作防每隅位防之以求初商【初商列位有常法进法俱如前】既得初商即倍根数为亷法【亦同前法】以亷法数用筹【亷法几位用筹几根】列于平方筹之上为亷隅共法【或省曰次商法】合视亷隅共法筹某行内有次商之实同者或略少者减实以得次商【以本行内方根命之】
三商者合初商次商倍之以其数用筹列平方筹上为亷隅共法【或省曰三商法】以除三商之实而得三商四商以上仿此求之
解曰隅者小平方也故可以平方筹为法 亷之数每大于隅一位今以平方筹为隅列于亷之下则隅之进位与亷之本位两半圆合成一数故亷隅可合为一法
【何以知亷大于隅一位也曰有次商则初商是十数矣平方亷法是初商倍数其位同初商故大于隅一位】
凡初商减积尽最上一防故最上一防者初商之实也次商减积尽第二防故第二防以上次商之实也三商减积尽第三防故第三防以上三商之实也推之第四防为四商之实第五防为五商之实【以上并同】
审空位法曰若次商之实小于亷隅共法之第一行【凡筹第一行最小数也】则知次商是空位也【不能成一数故空】即作圈于初商下以为次商 乃于亷法筹下平方筹上加一空位筹为亷隅共法以求三商【若空位多者另有简法见后】三商实小有空位并同
假如有平方积二千四百九十九万九千九百九十九尺问每面若干
列位 作防
如图防在次位以二千四百
万为初商实
视平方筹有小于二四者是
一六其方四也商四千尺减积一千六百万尺【有四防故初商是千而有次商】
次以初商四千尺倍之得八千尺为亷法用第八筹列平方筹上为亷隅共法
以第二防余实八百九十九万为次商实视筹第九行合数八○一小于实次商九百尺减实八百○一万尺
【此所减首位不空故对位书之】
次倍初商次商共四千九百尺得九千八百尺用第九第八两筹列平方筹上为廉隅共法 以第三防上余实九八九九为三商之实
合视筹第九行是八九○一小于实商九十尺减余
实八十九万○一百
尺
【首位不空故亦对位书之】
次倍三次商共四千九百九十尺得九千九百八十尺用九九八三筹列平方筹上为廉隅共法
以第四防上余
积九九八九九
为四商之实
合视筹第九行
积八九九○一
小于实商九尺
减余实八万九
千九百○一尺
不尽九千九百九十八尺
开方已得单尺而有不尽以法命之倍方根加一数得九千九百九十九为命分
凡开得平方四千九百九十九尺又九千九百九十九之九千九百九十八
右例可明四以上用常法之理葢积所少者不过万分之一不能成五数之方而其法迥异
加空筹式
假如有平方积一千六百七十七万七千二百一十六问每面若干
列位 作防
如图防在次位以一千六百万
为初商实
视平方筹有一六与实同其方
四商四千尺减积一千六百万尺【凡余实必在商数下一位起倘空位则作圈补之后仿此】 次以初商四千尺倍得八千尺为亷法用第八筹列平方筹上为亷隅共法【筹见前例】
以第二防上余实○七七为次商实
筹最小数是○八一【第一行数】大于实
不及减是商数无百也
乃于初商四千下作一圈以为次
商【减去实中○位】 次如上图加一空位筹于次商亷法之下平方筹之上为三商亷隅共法
以第三防上七七七二为三商实
视筹第九行是七二八一小于实商九十尺减积七十二万八千一百
次合初商次商三商共四○九倍之得八一八为廉法
去空位筹加一八两筹列于平方筹之上为四商廉隅共法
以第四防上四九一一六为四商之实
合视筹第六行数与实合商六尺减积四万九千一百一十六尺恰尽
凡开得平方四千○九十六尺
假如有平方积九亿○○一十八万○○○九步问每面若干
列位
作防
如后图防在首位以○九亿步为初商实
视平方筹有○九与实同商
三万步【五防故初商万】减积九亿步
次以初商三万步倍之得六
万步用第六筹加平方筹上为次商法【即廉隅共法】 以第二防上为次商之实视实三位俱空无减知商数有空位且不止一空位也如前法宜挨次商得一空位则于原实内销一圈【凡续商之实必下于前商之实一位故虽○位必减去之以清出续商之实】而于共法筹内加一空位筹如此挨商颇觉碎杂故改用又法
又法曰凡实有多空位者知商数亦有多空不必挨商当于原实中审定可减之数在何位则此位之上皆连作圈而径求后商如此余实有三圈皆无积可减必至○一乃有可减而法是第六筹筹最小是○六大于○一仍不可减必至一八方可减而一是筹之进位当以商数对之则知以上俱是空位乃皆作圏合视之有三圈即次商三商四商也干原实内销去三圈如后图
此即次商三商四
商合图也
次加三空筹于平亷【第六筹】之下平方之上为五商亷隅共法 径以第五防上一八○○○九为五商实
视筹第三行数与余实合商三尺
除积一八○○○九恰尽
凡开得平方三万○○○三步
又假如积二千五百○七万○○四十九尺问方若干列位 作防
如图防在次位以二千五
百万尺为初商实
视平方筹有二五与实同
其方五商五千尺减积二千五百万尺
次倍初商五千尺得一万○千尺用一筹空位筹为廉法【凡商得五数则原带有空位】列平方筹上为次商法 实多空位以前除又法审之必至○七万尺乃有可减而○七之○与筹上首位之○对当以商数居之则知此以上俱无商数也于是于初商五千下作两圏如后图
此次商三商合图也【原实上减两圏商数下加两圏】
如上图加两空位筹于廉法一万○千之下平方之上为四商法
以○七○○四九为四商实【次商三商之两防已销故径用第四防】
视筹第七行相合商七尺减实
恰尽
凡开得平方五千○○七尺
又假如积五千六万三千五百○○尺问方若干列位
作防 如图防在次位以五十六万为初商实
视平方第七行是四九小
于实商七百尺除实四十
九万
次倍初商七百得一千四百用第一第四两筹列平方筹上为次商法 以第二防上○七三五为次商实
合视第五
行是○七
二五小于
实商五十
尺减去余
积○七万
二千五百
尺
次合商数七百五十倍之得一千五百○尺应用第一第五空位三筹加于平方筹上为三商法以第三防上○一千○○尺为三商实而实小于法不能成一尺乃于商数未作一圏以为三商其不尽之数以法命之
凡亷隅共法筹第一行数即命分
也葢能满此数即成一单数矣
凡开得平方七百五十○尺又一
千五百○一之一千○○○约为
三之二弱
立方
法曰如前列实隔两位作防以求初商既得初商即以初商数自乘而三之为平亷法【即方法】以平亷法用筹列于立方筹之上【借立方筹为隅法也】为平亷小隅共法别以初商数三之而进一位为长亷法【即亷法】以长亷法用筹列于立方筹之下【法于长亷数下加一空筹以合进一位之数】先以平隅共法【即平亷小隅共法或省曰共法】为次商之法即截取初商下一位至第二防止为次商之实法除实得次商【视共法筹内有小于实者为平亷亷小隅共积用其根数为次商】次以次商之自乘数【即大筹立积下所带平方积数】与长亷法相乘【以平方数寻长亷筹之行取其行内积数用之】得数加入平隅共积为次商总积以此总积减次商之实及减则已倘不及减转改次商及减而止【因亷积或大有不及减者】
三商者合初商次商数自乘而三之为平亷法以其数用筹列方筹上为平亷小隅共法
别以初商次商数三而进位以其数用筹加一空位筹列立方筹下为长亷法
截取次商下一位至第三防为三商之实共法为法除之以得三商【其积为共积】 次以三商自乘数与长亷法相乘得数加入共积为三商总积 减实【又一法长亷法不必加空位筹得于得数下加一圏即进位也】
四商以上仿此
解曰隅者小立方也故可以立方筹为法平亷之数每大于隅二位今以立方筹为隅列于平亷下则隅之首位与平亷之末位两半圆合成一数故平亷小隅可合为一法 长亷之两头皆如次商自乘之数故可以平方乘之又长亷之数每大于隅一位故于下加一空筹以进其位便加积也
【何以知平亷大于隅二位而长亷只大一位也曰平亷者初商自乘之数也初商于次商为十数十乘十则百数矣隅积者次商本位也故平亷与隅如百与单相去二位也若长亷只是初商之三倍位同初商初商与次商如十与单故长亷与小隅亦如十与单相去一位也】
凡初商积尽于上一防故上一防为初商实次商积尽于第二防故第二防以上为次商实推之三防为三商实四防为四商实以上并同
审空位法曰若次商之实小于平亷小隅共法之第一行或仅如共法之第一行而无长亷积则次商是空位也即作圏于初商下以为次商乃于平亷筹下立方筹上加两空位筹为三商平亷小隅之共法以求三商其长亷法下又加一空位筹【并原有一空位筹共两空位筹】为三商长亷法【又法长亷不必加空筹但于得数下加两圏】 若商数有两空位者平亷小隅筹下加四空位筹长亷积下加三圏
解曰有空位则所求者三商也初商于三商如百与单而平亷者初商之自乘百乘百成万故平亷与三商之隅如万与单大四位也此加两空筹之理也【平亷原大二位加二空筹则大四位矣】初商与三商既如百与单则长亷与隅亦如百与单大两位也此又加一空筹之理也
初商列位商一用常法二至五用进法六至九用超法今各存一例于后
假如有立方积六百八十五万九千尺
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