亷法列平方筹上为亷隅共法简
筹第八行积三八四小于余实次商八分除实三百八十四分开得平方每面二步八分不尽一十六分再开之
又于余实下加两圏则余实一十六分化为一千六百○○秒为三商之实
依捷法以初商次商共二步八分倍之得五步六分为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第二行积一一二四小于余实商作二秒除实一千一百二十四秒共开得平方每面二步八分二秒不尽四百七十六秒
此单下开两位式也所不尽之数不过百分之四若欲再开亦可得其忽防如后式
还原以二步八二用筹为法又以二步八二列为实而自相乘之得七万九千五百二十四分加不尽之分四百七十六共八万乃以一万分为一步之法除之【当退四位】仍得八步合原数
解曰此以一步化为百分故其积万分何也自乘者横一步直一步也今既以一步化为一百分则是横一百分直一百分而其积一万分为一步
假如平方九十步开得九步除实八十一步余实○九步不尽【小分几何】
法于余实九步下加八圏则余实九步化为九亿共作五防而以第二防○九亿○○分为次商之实依捷法以初商九步倍作一十八步为亷法列平方
筹上为亷隅共法简筹第
四行○七三六略小于余
实商四千分除实七亿三
千六百万分余一亿六千
四百○○万分为第三商
之实【第三防也】
又依捷法以初商次商九步又十之四倍之得一十八步八为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第八行一五一○四略小于余实商八除实一亿五千一百○四万余一千二百九十六万分○○为第四次商之实【第四防也】
又依捷法以三次所商共九步四八倍之得一十八步九六为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第六行一一三七九六略小于实商六除实一千一百三十七万九千六百分余一百五十八万○四百○○分为第五次商之实【第五防也】
又依捷法以所商九步四八六倍之得一十八步九七二为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第八行一五一七八二四略小于实商八除实一百五十一万七千八百二十四分余六万二千五百七十六分不尽凡开得平方每面九步四千八百六十八分【亦可名为四分八秒六忽八防】不尽一○○○○○○○○之○○○○六二五七六【即一万分之六分有竒】
虽不尽不过万分之一不足为损益可弃不用还原以九步四八六八用筹为法又为实自乘得八十九亿九千九百九十三万七千四百二十四分加入不尽之分六万二千五百七十六共九十亿以一亿分为一步之法除之【当退八位】仍得九十步合原数解曰此以一步化为一万分故其自乘之积一亿何也自乘者横一步直一步之积也今既以一万分为步则是横一万分直一万分而其积一亿为一步
若依命分法则还原不合
如前例 原实八步开得方二步除实四步不尽四步法当倍每方二步作四步又加隅一步为命分命为二步又五分步之四意若曰若得五步则商三步矣今只四步是五分内止得四分也然还原有不合何也
以算明之
用通分法以命分五通二步得一十分又加得分四共一十四分自乘得一百九十六为实以命分五自
乘得二十五分为法【每步通作
五分横一步直一步则共得二十五分也】除之
得七步又二十五分之二十一以较原实少二十五之四
以图明之
每步作五分其羃积二十五分方二
步积四步共一百分又五之四以乘
方二步得四十分倍之为亷积八十
分又五之四自乘得隅积一十六分
共九十六分以合原余积四步该一百分少二十五分之四
以此观之实数每缩虚数常盈故命分之法不可以还原 其故何也曰隅差也何以谓之隅差曰平方之有竒零其在两亷者实其在隅者虚何也亷之虚者一面而隅之虚者两面也即如二步五之四谓五分内虚一分故不能成一歩也然试观于图两亷之四步皆虚一分【横四分直五分积二十分以二十五分计之是为于五分之中虚一分】而隅之一步虚一分有零【横四分直亦四分积一十六分虚九分以二十五分计之是为五分之中虚二分弱】则是边数二步五之数者其积不及五之四也今余积四步者实数也其边数常盈于五之四有竒也而命之曰五之四宜其不及矣然则古何以设此法曰古率常寛以为所差者防故命之也不但此也古率圆一围三方五斜七今考之皆有防差故曰寛也
愚常考定开平方隅差之法法曰如法以命分之毋通其整而纳其子【即得分】为全数以全数自相乘得数为通积另置分毋以分子减之余数以乘分子而加之为实乃以分毋自乘为法除之即适还原数 如上方二步五之四以分毋五通二步得十纳子四共十四自乘得方积一百九十六分另以分子四减分毋五余一以转乘分子四得四即隅差也以隅差加入方积共二百分为实乃以分毋五自乘得二十五为法以除实得八步合原积
又如后例 原实九十步开得九步除实八十一步不尽九步法当倍每方九步作十八步又加隅一共十九步为命分命为九步又十九分步之九意若曰若得十九歩则加商一步成十步今只九步是十九分内只得九分也然还原亦不合
以算明之
用通分法以命分十九通九步得一百七十一步又加得分九共一百八十步自乘得三万二千四百为实以命分十九自乘得三百六十一为法【每步十九分横十九分直十九分共得三百六十一分也】除之得八十九步又三百六十一分之二百七十一以较原实之九十步计少三百六十一分之九十分
若依隅差之分以得分九减命分十九余十转乘得分得九十分为隅差以加自乘通积三万二千四百共得三万二千四百九十为实乃以命分自乘三百六十一为法除之恰得九十步合原积
以图明之
甲戊丁庚形者方九步九分
之总形也通为一百八十分
积三万二千四百分以三百
六十一为步除之较原实少
九十分
内分甲丙乙巳形为初商方九步之形其积八千一歩戊乙形庚乙形次商亷积之形也长九步【通为一百七十一分】濶九分积一千五百三十九分两亷共计三千○七十八分
丁乙者小隅者横直各九分以较亷积中每一步之形【如丑乙】欠一丁癸形即隅差也
以积考之亷九步每步濶九分长一步【通为十九分】积一百七十一分隅濶九分长亦九分积八十一分少九十分为隅差
立方
法曰凡立方有余实不能成一数不可开矣若必欲知其分秒则于余实下加三圏【原实一化为一千分】如法开之所得根数是一十分之几分也若加六圏【原实一化为一百万分】所得根数是一百分之几分也若加九圏【原实一化为十亿】则根数是一千分之几分也若加十二圏【原实一化为万亿】则根数是一万分之几分也
解曰平方筹两位故两位作防而其化小分亦以两位为率葢积多两位则根数可多一位也【亷一位隅一位故两位】立方筹三位故三位作防而其化小分亦以三位为率葢积多三位则根数可多一位也【平亷一位长亷一位隅一位故三位】
假如立方积一十七步开得立方二步除八步余实九
步不尽法于余实下
加十二圈则余实九
步化为九万亿分【増
四防可加开四位】
依捷法截第二防○九○○○为次商之实 以初商二自乘【四】而三之得一十二步为平亷法列立方筹上为平隅共法 以初商【二】三而进位得【六○】为长亷法列立方筹下 简共法筹第五行积【○六一二五】小于实商五分【六行七行亦小于实因无长亷积故不用】
乃以第五行平方【二五】与长亷法相乘得【一五○○】为长亷积以加共积共得【○七六二五】是为次商五分之积以除实余一三七五以俟三商
又截取第三防一三七五○○○为三商之实 以初商次商共二步五分自乘得【六二五】而三之得【一八七五】为平亷法列立方筹上为平隅共法 以初商次商【二步五分】三而进位得【七五○】为长亷法列立方筹第七行【一三一二八四三】共法【八四三】小于实商七秒 乃以第七行平方【四九】与长亷法相乘得【三六七五○】为长亷积以加共积共得【一三四九五九三】为三商七秒之积以除实余○二五四○七以续商
又截取第四防○二五四○七○○○为四商之实以商数【二五七】自乘得【六六○四九】而三之得【一九八一四七】为平亷法列立方筹上为平隅共法 以商数【二五七】进位而三之得【七七一○】为长亷法列立方筹下简共法筹第一行【○一九八一四七○一】小于实商一忽
乃以第一行平方【一】乘长亷得【七七一○】为长亷积以加共积得【一九八二二四一一】为商一忽之积以除实余○五五八四五八九以末商
通第五防○五五八四五八九○○○为末商之实以商数【二五七一】自乘得【六六一○○四一】而三
之得【一九八三○一二三】为平亷法列立方筹上为平隅共法 以商数【二五七一】进位而三之得【七七一三○】为长亷法列立方筹下简共法筹第二行【○三九六六○二四六○八】小于实商二防
乃以第二行平方【○四】乘长亷法得【三○八五二○】为长亷积以加共积得【○三九六六三三三一二八】为末商二防之积以减实余一六一八二五五八七二不尽
凡开得立方每面二步五分七秒一忽二防【不尽之数不能成一防弃不用】
还原以二步五七一二用筹为法别以二步五七一二列为实以法乘实得六六一一○六九四四
再乘之得一十六万九千九百八十三亿八千一百七十四万四千一百二十八分
乃以不尽之积一十六亿一千八百二十五万五千八百七十二分加入再乘积共得一十七万亿以一万亿为一步之法【以一步为万分横一万直一万商一万共一万亿】除之得一十七步合原数
若依命分法则还原不合
如前所设立方积一十七步开得立方每面二步除积九步余九步法当以立方二步自乘得四步而三之得十二步为平亷又以立方二步三之得六步为长亷又加【一步】为隅共【一十九步】为命分命为立方二步又十九分步之九意若曰余积若满十九步则加商一步矣今只有九步是以十九分为一步而今仅得九分也然还原则有不合
以算明之
用通分法以命分十九通立方二步得【三十八分】又加得分九共【四十七分】此即所云二步又十九分之九乃立方一面之数也以此自乘得【二千二百○九分】再乘得【一十○万三千八百二十三】乃立方二步又十九分之九所容积数也为实别以命分十九自乘得【三百六十一】再乘得【六千八百五十九】乃方一步之积为法以除实得【一十五步又六千八百五十九之九百三十八】较原实一十七步少【一步又六千八百五十九分之五千九百二十一】
其故何也曰长亷小隅之差也何以言之曰立方之有竒零其在平亷者实其在长亷小隅者虚何也平亷之虚者一面而长亷虚两面小隅虚三面故也今以十九分为一步其立方积【六千八百五十九分】为步法以十九分除之得每【三百六十一】为分法平亷每步【横十九分直十九分髙九分积三千二百四十九】分法除之得九是为十九分之九适合命分之数也
若长亷【横九分直十九分髙九分积一千五百三十九分】分法除之得四分有竒而已以较平亷九分之积【三千二百四十九】少【一千七百一十分】三长亷共【六步】共少【一万○二百六十分】步法除之得一步又三千四百○一分为长亷差
若小隅【横直髙各九分积七百二十九分】分法除之得二分有竒而已
以较平亷九分之积【三千二百四十九】少二千五百二十分为隅差
合亷隅两差计之共少一步又六千八百五十九分之五千九百二十一
以图明之
丑寅为立方一步之形每步通为十九分横直髙各十九分积六千八百五十九分是为步法
以十九分除步法得三百六十一分是为分法
亷隅总图【见左】
甲乙丙三平亷也纵横各方二步通为三十八分厚九分积一万二千九百九十六分三亷共三万八千
九百八十八分丁戊巳三长亷
也各长二步通为三十八分厚
濶各九分积三千○七十八分
三亷共九千二百三十四分
庚小隅也长濶髙皆九分积七
百二十九分
三长廉三平廉一小隅共包一正方形在内
正方形纵横各二步通为三十八分 积五万四千八百七十二分
总形方二步九分通为四十七分髙如之 积一十○万三千八百二十三分 以步法除之得一十五步有竒不满
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