依法乘而并之得八四○
定位【原问珠毎两价今实数只有分乃进位作
○于钱位又上作○于两位两为根横对得数为法尾数
两而两位空补作 定所得为八钱四分】
定位又法【此小数法也实有分厘在原问毎两下三位宜截去得数末三位定法尾数两而得数只三位无可截乃补作○于得数之上然后截之定为○两】
此与前条金价并畸零乘法也【余详通分】
省乘法【古谓之加法】
假如有漕粮三百六十石毎石耗米四斗问正耗共若干答曰共五百○四石
此就身加法也【原数即当得数不动只挨身加四
先于六十石加四六二十四石又于三百石加三四一百二十石末
用并法连原数并之合总凡加法定位依原数不湏更求下同】
【加法九试七试略同并法并合原数加数减余列右共数减余列左此及下
条并九减七减俱无余】
假如银五十四两毎两月息二分五厘今两个月共本息若干
答曰共五十六两七钱
【此因所加是分在两下二位故隔位加 又因毎月二分半今两个
月该五分故以五分为法先于四两加二○进于五十加二五末以
并法连原数合总】
省乘又法【古谓之求一乘法】
凡法数之首为一数者即原数不动而挨身加之与前两条同也若法首非一数者以法变为一数则亦可挨加此为本非一数求而得之故名求一乗法也 其法遇法首为二为三则折半用之而倍其实 法首遇五六七八九则加倍用之而半其实 法首遇四则取四之一用之而四其实【如此则法首成一数可用省乘】
【凡求一乘法定位亦于原实内寻毎数为根以横行对得数定之但此所对得数恒为法首位数 若乘法则为法尾位数与此不同乃理势之自然不可不知】
假如前条珠三分五厘价毎两值银二十四两用乘法得价银八钱四分今以法数折半作一十二两实数加倍作七分挨身加之所得正同而用加防矣
【原数不动即用为法首一数所乘也挨身以法次位二与原数相乘呼二七加
一十四本位纪一下位纪四加讫以并法合总亦连原数作数并之】定位【亦从原数七分上加两○寻毎两位为定位之根横对左行总数得法首
位是十两下一位是两俱空位补作两○再下一位即钱定所得为八钱四分】
又如前条钱三十万○○五百八十文毎千价九钱○五厘以钱折半【十五万○二百九十】为实价加倍【作一两八钱一分】为法
【原数借为得数不动 以法去首位一只用八一挨身加
之自下起于九加七二九于二加一六二其○位无加于
五加四○五于实首一加八 一加讫合 原数并总】定位【寻原数千位为根横对左行得数得法首两位】
并乘法【凡有数次乗者并为一次乗亦算家简法旧谓之异乗同乘】
假如原本银三千二百两毎两一年获息一钱五分六厘二毫五丝已经四年该息若干 答曰二千两
【法先以三千二百两乘四年得一万二千八百两再
以息银乘之是并两次乘为一次乘也】
截乘法【凡乗法位多者截作数次乘之以便初学其法与并乗相反而其理相通】
假如有三十二人各给布六丈四尺共若干
答曰二百○四丈八尺
【先置六丈四尺以十六人为法用省乘就身加六得一百○二丈四尺又
二乘加倍合总解曰十六乘又二乘即三十二乘也】定位【凡就身加者原数即可定位如前条漕粮毎石加四斗是也此
条是十六加首行六四虽以原数当得数而六丈四尺已陞为六十四丈
矣 若加倍自是本位此在用算者临时消息之也】
或置三十二人以八丈乘两次亦同
解曰八乘二次即六十四乗也
或置六丈四尺以四乗之得数又以八乗之所得亦同
解曰四乗一次又八乗一次即三十二乗也
除法
以数剖数是之谓除除其原数以归各数故除亦曰归【除与乘对理精用博近或谓之分义则浅矣】
有一位除有多位除【或分一位曰归多位曰除或曰归除曰混归然古皆曰除】皆有法有实有得数【得数一名商数】
实其物也法其则也法实在乘法或可互用而除法必须审定乘法以法与实相遇而生一数如阴阳相交而生物也故虽互用而其交之理不易其生之用亦不易也除法以实满法而成一数如镕金以就型也故曰实如法而一若倒用之则非矣【实如法而一或变文曰如某数而一如用三除者省文曰以三而一言以三数成一数也而字皆连上为文或者不察遂竟以而一当除之字义失其防矣】定法实诀
凡审法实有二诀一曰先有定则即以定则为法其所除者必同名之物也【如有定则之银为法而除总银以定则之米为法而除总米是也】一曰先无定则而求定则须详问意以所用求之者为法其所除者必异名之物也【如以总米除总银以总银除总米是也】何以为先有定则也以事明之如银籴米而先知每米一石之银若干是先有定则之银也即以此定则之银为法而以总银为实以法除实则得总银所籴之总米矣【此为有总银数又有米毎石之银数故以银除银而得总米】
若先知毎银一两之米若干是先有定则之米也即以此定则之米为法而以总米为实以法除实则得总米所粜之总银矣【此为有总米数又有银毎两之米数故以米除米而得总银】
是皆所除者同名而所得者异名也又谓之以毎数求总数【凡以毎数求总数者以每数为法毎数即定则也以比例求之更明图具左方】
何以为先无定则而求定则也如有总米又有总银而无毎数则当于问意详之问者若欲知每米一石之银是以米分银也则以总米为法总银为实问者若欲知每银一两之米是以银分米也则以总银为法总米为实是所除者异名而所得者亦异名也又谓之以总数求每数【凡以总数求毎数先无定则故必于问者之所求酌之亦有比例之理】
又防法
凡不动者为法动者为实何以明之如有总米总银而欲知毎米一石之银则将变总银为每米之银是银动而米不动也故以米为法若欲知每银一两之米则将变总米为毎银之米是米动而银不动也故以银为法其以毎数求总数者先有定则不动即用为法尤为易见
凡布算乗易而除难除法之难尤在法实法实无误则思过半矣此乃珠算笔算所同也故首辨之如右若笔算除法更有宜知者数端具如后方
一列位【法实既辨即当列位】
其法先作两直线自上而下平行相望约其间可容字两行为率其长短则视位数多寡定之先以实数列于右直线之右自上而下依列位法书之次以法数列于右直线之左亦自上而下其千百十单皆与实相对或法数有千而实只有百者即对书于上一位余皆仿此亦有实数无分秒而法数有之者亦对书于实尾之下次约实以求得数【得数亦名商数】
以法约实纪其得数于左线之右视法首位是言如之数【如三三如九之】则书于实之上一位而于实首添作○以遥对之或法首位是言十之数【如二六一十二之类】则书于实首之对位其次商三商以上皆依此书之若书之而不相接辏是商数有空位也补作○此定位之根慎不可错次乘商数求应减之数以减原实
以商得数与法数相呼乗之而纪数于左线之左皆以乘数之进位对商数纪之【如二六一十二则以一十对商数书之如三三如九是为○九则以九上之○对商数书之他皆仿此】乃遂以乗出数与右行原实对减【周减法】足减者于原实抹改之不足减者改商数其乗出数亦抹去便续商也
次定得数之位
先于法数之上一位作□为识以对得数命为单位等而上之则十百千万等而下之则分秒忽微皆从此定
次命分
除有不尽者以法命之用法数为母不尽之数为子命为几分之几
次还原
凡除法恐其有误当以乘法还原用法数与得数相乗除有不尽者并入之即得原实
又法仍以除法还原用得数为法转除原实即复得法数除有不尽者以减原实为实然后除之
又法以九减七减试之以法数九减七减皆用其所减之余纪右再以得数如法减之纪其余于左左右两余数相乗仍如法减之纪其余于上方末以原实亦如法减之纪其余于下方上下相同则无误矣
又简法作直线于左方以应减之数依并法并之必合原实有不尽数亦并入之【此法更简更确】
按笔除原法以法实上下相叠不论数之何等【谓十单分秒之等】而但齐其尾殊欠条理又以得数横续于法实之尾定位易淆今法与实皆用真数相对而宜减之数先列左方对减无误即古人实如法而一之故了了分明据法首定位尤为简快
一位除式
假如有额编地丁银二百一十一两一钱四分其科则毎亩六分问原地若干
答曰三千五百一十九亩
审法实诀【此为以毎数求总数也其毎数六分为先有之定则不动故以为法】
【右并法还原即用原列应减之数并之必合原实是为简法】列位法【如法作两直线先以实数二一一一四列于右直线之右自上而下顺布之次以法数六列于右直线之左因法系六分故与实分位相对】
商除法【次以法数约实法是六实是二以六除二当合下位作廿一除之商作三以乘法六呼三六一十八是言十之数将商得三以法首二书于左直线之右以乘得一八书于左直线之左因是言十之数以乗得进位一字对商数三字书之遂以此乘得一八用减法与原实二一对减先于实次位减八实系一不足减作防借上一数为十一减八余三改书三于实一之右次于实首位减一实系二因借去一防只作一减尽作○乃作线抹去二一存○三亦于左作线抹去减数一八】
【次商以六除三亦当合下位作三一除之商作五以乘法六呼五六成三十是言十之数将次商五对实三字书于初商之下亦以乗得三○依法以三字为进位对次商五字书于左直线之左依法对减实三】
【作○仍作线抹去实三亦于左减数抹去三○三商以六除一合下位作十一商作一呼一六如六是言如之数将三商一对实上位一字书于次商五之下依法以乘得○六对所商一字书于左线之左以对减实一一以六减一不足减作防借上成十一减六余五改书 五于右抹去一一亦于左减数抹去○六末商以六除五亦合下位作五十四商作九呼六九五十四是言十之数将商得九对实五字书于三商一之下依法以乘得五四对所商九字书左线之左以对减实五四恰尽俱改书○而抹去五四左减数亦抹去 共商得三五一九】
定位诀【于右线法数六字上一位作□为单位之识以横对左得数九字定为单九亩进位是十亩又进百亩又进千亩命所得为三千五百一十九亩】
乗法还原【以法六分乘得数三千五百一十九亩仍得原实见乗法】除法还原【以得数为法除原实仍得法数六分 见后条】试法
【九减得数无余纪○于左法数余六纪于右左右相乗仍纪○于上
九减原实无余纪○于下凡○位与他数相乗所得皆○】
【七减得数余五纪左法数余六纪右左右相乗仍以七减余二纪于
上七减原实余二纪于下两试皆上下相同知其不悮】
【论曰除法以乘法还原犹之乘法以除法还原此旧法珠算所必需若除法以除法还原则旧所无也同文算指用九减七减试法可免还原颇称巧防今以并法代之则试法亦省故称简法焉兹各具一则用相参互以明筭理握算者择而用之可也今定笔除只用简法还原若笔乘仍用试法】
多位除式
假如有熟地三千五百一十九亩共征银二百一十一两一钱四分问每亩科则若干 答曰毎亩六分审法实【此以总数求毎数也问者欲知毎亩科则是将以总银变为毎银银数动地亩不动故以地为法银为实】
列位法【先以实数自上而下顺布于右线之右次以法数对书于右线之左实首位是二百法首是三千法大于实一位故进一位列之凡进位列者皆不满法】
商除法【以法数约实法首是三实是二合两位二一除之宜商七因法有次位须留余地改商六以乗法三呼三六一十八是言十之数以商数六对实首二书于左直线之右以乘得一八书于左线之左遂以商数六徧乗法次位五呼五六成三十乗得三○挨书于一八之下一位又以商数徧乗法第三位一呼一六如六乘得○六挨书下一位又以商数六徧乗法末位九呼六九五十四乘得五四又挨书下一位如此徧乗法四位讫乃以乘出数为减数对减原实恰尽】
定位【寻法首上一位为单位横对左线得数上二位定为两顺下一位是钱此二位俱空补作○○再下是分定所得为六分】
此一次除尽例也又为法大实小故所得不能成整数【两为
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