半积惟句股相等如半方者容方即为半积
论曰此磬折形依线而成葢即几何所谓有阙依形也所阙之小方午辰及戊未皆与丑巳形相似而体势等以有线为之对角也然以句股解之殊简
又论曰若壬角在线上去戊角更逺则所缺之午辰小方亦更大而其形皆相似而体势等辛角亦然
解几何三卷三十五题
甲丙乙句股形 以
甲乙为半径作员
则甲丙股为正
丙乙句为余
己丙矢为句较丁
丙大矢为句和
依句股法 较乗和开方得甲丙股而丙戊亦甲丙也故甲丙乗丙戊与巳丙乗丁丙等积也
几何三卷第三十五题言员内两线相交则其各分之线相乗等积即此理也
巳丁过员心线
有庚壬斜线相交
于丙【分丙巳及丙丁又丙庚及
丙壬】皆分为两法自
员心乙作十字线
至辛平分庚壬为两【辛庚辛壬】皆斜线之半
辛庚半线内又分辛丙为小线
以辛丙减辛庚余庚丙为较以辛丙加辛壬成丙壬为和
以大小二方相较之理言之庚辛方内有庚丙较乗丙壬和之积及辛丙方
乙辛庚句股形以乙庚为幂内兼有庚辛及乙辛句股二幂即兼有庚丙乗丙壬之积及辛丙乙辛二方也又乙辛丙小句股形以乙丙为则乙丙方内兼有辛乙辛丙二方而甲丙乙句股形以同庚乙之甲乙为幂内兼有甲丙及乙丙二方 此两者既等其幂必等而其所兼之辛丙乙辛二方又与乙丙方等则各减等率而其所余之庚丙乗丙壬积亦必与甲丙方等矣
而已丙乗丙丁原与甲丙方等则巳丙乗丙丁亦必与庚丙乗丙壬等矣
辛戊线 庚壬线
相交于丙则戊丙
乗丙辛与庚丙乗
丙壬亦等
何以知之曰试作
一丁巳过心线与
两线交于丙凖前论戊丙乗丙辛之积及庚丙乗丙壬之积皆能与丁丙乗乙丙之积等则亦必自相等矣
丁巳员径 有
庚壬斜线相交
于丙则庚丙乗
丙壬与巳丙乗
丙丁等
如法作乙辛及
乙庚线成乙辛庚句股 又成乙辛丙小句股以丙辛句减庚辛句余庚丙为较 以同丙辛句之辛戊加庚辛句成庚戊为和【即丙壬】
又以乙丙【即乙子亦即乙癸】减庚乙余子庚为较 又两相加成庚癸为和【即子丑】以庚子较乗庚癸和与庚丙较乗丙壬和之积必等【详后条】而巳丙即庚子丙丁即子丑【亦即庚癸】故巳丙乗丙丁与庚丙乗丙壬亦等
又大小方相减之理 庚乙方内兼有庚子乗庚癸之积及乙子方即如兼有庚丙乗丙壬之积及乙丙方也【乙丙即乙子】
而同庚乙之甲乙幂内原兼有甲丙方及乙丙方此庚乙甲乙两积内各减去乙丙方则所存者一为庚丙乗丙壬之积一为甲丙自乗积此所余两积亦必相同可知矣
又巳丙乗丙丁之积原与甲丙方等则亦与庚丙乗丙壬等矣
先解两方相减
寅辛大方内减子巳小方【寅辰为两方边之较卯辰为两方之和即子辛】法以小方边【乙子】为度于大方边截取【乙长乙戊】作辰午线及
戊未线成辰戊
小方与巳子等
为减去之积其
余为寅午长方
【即二方较线寅长乗大方邉之
积】及未辛长方
【即较线午未乗小方邉之积】
末取未辛长方移补丑卯之位成卯寅长方【即较乗和之积】又庚甲大方内减己癸小方【丁辛为两方较已辛为两方和亦即辛丙】如法作丁壬癸戌二线减去丁癸小方与已癸等其余辛壬壬癸两长方又移癸壬为丙壬成丁丙长方即较乗和之积也
凖此论之凡大小二方相减其所余者必皆为较乗和之积
次解两句股形相减 凡两句股同髙即可相加减【谓股数同也】
乙庚辛句股内减乙庚丁句股 则以丁庚句减辛庚句余【辛丁】为两句之较 又以同【丁庚】之巳庚句加辛庚句成辛已为两句之和 和乗较成丁丙长方
又以乙丁减辛乙余辛戊为两之较 又两相加成辛子为两之和【戊乙子乙并同丁乙】 和乗较成卯寅长方
此两长方者其积必等【无论乙为正角或钝角或鋭角并同】
何以明其然也曰依句股法乙辛上方兼有乙庚庚辛上二方又乙巳上方兼有乙庚庚巳上一方今既以乙巳上方减乙辛上方则各所兼之乙庚方巳相同而减尽故乙辛上方之多于乙巳上方者即是庚辛上方多于庚巳上方之数也
又所用者是两分之乙庚辛句股及乙庚已句股【即乙庚丁】故不论乙角锐钝其法悉同也
解几何三卷三十六三十七题
甲乙丙句股形 以丙乙
句为半径作员 则甲丙
股为切线 甲乙为割
线
甲乙割线内减丁乙半径
则甲丁为句较 甲乙割线加戊乙半径成甲戊为句和 和较相乗平方开之得甲丙股
几何三卷第三十六题三十七题之理葢出于此若割员线不过乙心 如甲庚 则以他句股明之法自乙心向割员线作乙巳为十字正交线则割线之
在员内者平分为两【子巳巳庚】并为员内线子庚之半
又作乙子半径成子巳乙
小句股则子乙小上方
幂兼有子巳小股乙巳小
句两幂又甲庚总线既分于巳则甲巳大线内减子巳小线其余甲子在员外者为较 以小线巳庚加大线甲巳成甲庚总为和
凡大小二方相较则大方内兼有较乗和及小方之积
则是甲巳幂内必兼有甲
子乗甲庚之长方及子巳
方也
又甲巳乙亦句股形其甲
乙内原兼有甲巳及乙已句股二幂即是兼有甲子乗甲庚之长方及子巳方与乙巳方也而子巳及巳乙二方原合之成一子乙方子乙即丙乙也是合丙乙方与甲子成甲寅之长方而成甲乙方也
又甲丙乙句股形 同以甲乙为原合丙乙方与甲丙方而成甲乙方
两形之甲乙方内各去其相等之丙乙方则其余积一为甲子乗甲寅之长方一为甲丙自乗方是二者不得不等矣
用法
凡测平员形 既得甲丙切线 自乗为实 以甲丁之距为法除之得甲戊之距以甲丁距减之得丁戊员径
若欲测庚物之在员周者亦以甲丙切线自乗为实以甲子为法除之即得甲庚之距
又法用两句股相加减
甲乙丙句股形 以乙丙句为半径作员 又以甲乙为半径作外员 自外员任取甲防作过心员径至戊 又任作一不过心斜线入内员至庚 则以两员
间距线乗其全线皆与
股幂等而亦自相等
如以甲丁乗甲戊或甲
壬乗甲庚其积皆等又
皆与甲丙切线上方幂等
法以两句股相加减
先自乙心作乙辛十字正线平分壬庚线于辛成乙辛甲句股
又作乙壬乙庚二线成乙辛壬小句股与乙辛庚等法以辛壬与甲辛相减余甲壬为两句之较
又相加成甲庚全线为两句之和则以甲壬乗甲庚为句之较乗和也
又以乙壬与甲乙相减余甲丁为两之较
亦相加成甲戊全线为两之和则以甲丁乗甲戊为之较乗和也
此句与之和较相乗两积必等
而甲丁乗甲戊原与甲丙自乗等【以甲丙乙句股言之也】故三积俱等
凖此论之凡自甲防任作多线入内员其法并同 不但此也但于外员周任作线入内员亦同如于丑作丑戊线则丑卯乗丑戊亦与甲丙幂等
何以知之曰试于丑作丑寅过心线即诸数并同甲戊矣而丑卯戊之于丑辰寅犹甲壬寅之于甲丁戊故也
简法
庚壬斜线交丁巳员径于
丙 如法作乙辛线 成
乙辛庚句股形及乙辛丙
小句股形
又以丙辛小句与辛庚大句相减得庚戊较又相加成庚丙和
再以乙丙小【即乙癸亦即乙子】与庚乙大相减得子庚较又相加成癸庚和
依大小两句股相加减法庚戊较乗庚丙和与子庚较乗庚癸和同积
而壬丙原同庚戊又巳丙原同子庚而丁丙亦同癸庚则壬丙乗庚丙亦必与巳丙乗丁丙同积矣
又简法
壬庚线斜交已丁员径于丙 依法作乙辛又作乙壬线 成乙辛壬句股及乙辛丙小句股皆如前
今自庚别作一过乙心线如
庚戊则乙辛庚与乙辛壬成
相同之两句股即显壬丙为
大小两句之较而丙庚为其
和
又显戊癸为两之较而与巳丙等则巳丙亦较也又癸庚为两之和而与丙丁等则丙丁亦和也是故壬丙乗丙庚较乗和也已丙乗丙丁亦较乗和也而其积必等
厯算全书卷四十八
钦定四库全书
歴算全书卷四十九
宣城梅文鼎撰
句股阐微卷四
几何増解
方斜较求原方【几何约论线第十四条有用法今解其理】
甲乙丙丁正方形 甲乙其对角线 戊乙为方斜之较 于戊乙上作庚癸乙戊小方则丙庚与庚戊等
论曰法于方之一角甲
作员而以丙甲方径为
员之半径则乙丙为切
员线乙辛为自员外割
员之全线乙戊较为割
员在外之余线而两线
皆出一防则乙戊乗乙
辛之矩形与乙丙切线方形等
夫乙丙即原设方也今以同乙戊之癸乙为横乙辛为直作乙已长方【即乙戊乗乙辛之矩】又移切甲己长方为子甲长方又移卯补午移辰补酉移丑补寅则复成乙丙甲丁方形矣而丑卯午酉等斜剖半方形皆以乙戊较为半方形之边是庚戊及丙庚皆与乙戊等而亦自相等又何疑焉
用法 有方斜之较乙戊求原方形之一边法以乙戊较作小方形取其斜乙庚再引长之截丙庚如乙戊得乙丙如所求
从此图生一测员之法 假有员城八面开门正西门如戊门外有塔如乙其距如乙戊西南门如丙距塔若干歩如乙丙问城径
法以乙丙之距自乗得数为实以乙戊之距为法法除实得乙辛于乙辛内减去乙戊即员城之径 防法但倍乙丙即得城径
有员城正西之门如戊西南之门如丙人立于庚可两见之而庚丙与庚戊皆等问城径
法以庚戊自乗成戊癸小方以方斜之法求其斜距为乙庚以乙庚加庚丙为乙丙即城半径
按此即几何约之用法也
又以句股法解之
又论曰试于庚丙上作丙子较线上方引庚戊至丁则丁庚又为丙子方之斜而丁戊与乙丙等从丁戊作丁壬甲戊为元方如所求
又论曰此即句和较相乗
开方得股也 乙甲丁甲皆
如 戊甲甲辛【甲丙甲壬】皆如
句 乙戊如句较【丁丙同】乙辛如句和 和较相乗
成癸辛长方 开方得丁戊
股【乙丙同】
切线角与员周角交互相应【几何三卷三十二三十三増题】
乙丙丁三角形在员内有甲乙切员线则所作丙乙甲
角与丙丁乙角同大又丁乙戊
角与丁丙乙角同大所谓交互
相应也
论曰丁角以乙丙弧分论度而
丙乙甲角亦以乙丙弧分之度为度故丙乙甲角即丁角也丙角以丁乙弧分为度而丁乙戊角亦以丁乙弧分为度故丁乙戊角即丙角也 凡用员周度为角度皆以两度为一度详后第三増题
若丁为钝角则丙乙甲亦钝角两钝角同以丙辛乙弧为度故也其丙锐角与丁乙戊锐角则同以丁乙弧为
度
又増题 员内三角形一角移
动则余二角变而本角度分不
变交互相应之角度亦不变
如上图【三图】丁角移至辛则丙
角加大而相应之辛乙戊角亦
从之而大以辛丁乙弧大于丁
乙弧也辛乙戊大则辛乙丙小
矣其较皆为丁辛弧 若丁角虽移至辛而其度不变相应之丙乙甲角亦不变以所用之丙乙弧不变也又丙角移至壬则丁角加大相应之壬乙甲亦从之而大以壬丙乙弧大于丙乙弧也壬乙甲大则壬乙丁小矣其较皆为丙壬弧 若丙角虽移至壬其度不变相应之丁乙戊亦不变以所用之丁乙弧不变也
此图同论但丁角移则丙角变
小丙角移亦然
又増题 切员线作角与员周弧度相应图
有子甲戊员有干艮线相切于子从子防出线与切线作角必割员周之度其大小皆相应但皆以员周两度当角之一度
如用子午正线则所作两防子角皆正角【百八十度分两正角各皆九十度】而亦剖员为半周【两半员并百八十度】是两度当一度又如用子辛线作辛子艮钝角【四十五度】而本线割员周于辛为九十度象限亦两度当一度
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