也又平分辛角作
辛壬线与壬戊与辛甲
皆同大则成甲辛壬三
角形与辛戊甲相似则
乙辛【即戊辛亦即戊甲】与辛甲
【即辛壬戊壬】若辛甲与壬甲
也如此逓半则其角比例并同
一【乙甲】 二【乙戊即戊辛戊甲】 三【辛甲即辛壬戊壬】 四【辛癸即壬癸壬甲】五【癸甲即癸子壬子】 六【癸丑即丑子子甲】 七【丑甲即丑寅寅子】 八【丑卯即卯寅寅甲】九【卯甲】 若能知其数则以大分逓乗全数除之得细数
先得甲乙为大分而求乙己全分及
乙庚小分 用此图亦为半圆内求
容方法则以乙巳全分加乙庚小分
折半于戊得戊己为半径若先得戊
己则以戊己【即戊丁】为作丁甲戊句股使戊甲句半于丁甲股则丁甲即为戊己理分中末之大分
解曰甲庚【即乙己】全数与丁甲【大分】若丁甲【大分即甲乙】与甲己小分【即乙庚】也
以量分
甲乙线十数求作理分中末线
先依甲乙线作甲乙丁丙正
方形【四面皆十数】 次任用一面
平分之如甲丙平分于壬【甲壬
及壬丙皆五数】甲乙之半数也【甲丙与甲】
【乙等其分亦等】 次自壬向乙角作乙壬斜线其数一十一【一八○三三九】 次自壬量甲壬或丙壬之度【即甲乙之一半】移置于乙壬线上截壬癸如甲壬则其余癸乙即理分中末之大分其数六【一八○三三九】末以癸乙之度移置于甲乙线上如乙戊则乙戊为大分戊甲为小分其数三【八一九六六○】
简法
作句股形 令甲壬句如甲乙股之
半乃以壬为心甲为界作虚线圆分
截乙壬于癸
末以乙为心癸为界作圆分截甲乙线于戊
则乙戊为大分甲戊为小分
又简法
以甲乙全线为半径作半圆形则乙庚乙辛皆与甲乙等
次平分乙辛于己
次以己为心庚为界运规割甲乙
线于戊【戊己之度即同己庚】
则乙戊为大分 甲戊为小分
又简法
作子寅丑卯十字线相交于乙
次以乙为心甲为界运规截十字
线于甲于庚于辛则乙庚乙辛皆
与设线甲乙等乃折半【乙辛】于己
以己为心庚为界运规截甲乙于戊 则乙戊大分甲戊小分皆得矣 此法可于平面圆器上求之
附长方变正方法
甲乙丙丁长方形欲变正方以长方形之横边【乙丙】直边【丙丁】二线取其中比例即所求
取中比例法以丙丁乙丙【即戊
丙】联为一直线【丁戊】而折半于
己以己为心丁若戊为界作
半圆次引乙丙横线至圆界
截圆界于庚成丙庚线即乙
丙及丙丁二线之中比例线
次于丙庚线上作小方形其容与甲乙丙丁长方形等如右图丙庚线上方形为丙壬乃子壬癸句股形内之容方也而甲丙长方形则子壬癸句股外之余方也余方与容方等积
简法
先引丁丙边至午引乙丙边至
未次以丙角为心乙为界作小
员界虚线截引长线于戊
次以丁戊线折半于己次引乙丙至未次以己为心戊为界运规作小圆界截引长线于庚 则丙庚即所变方形之一边 末依丙庚线作方形与甲乙丙丁长方形等积 其法以丙为心庚为界运规截丙辛与丙庚等
理分中末线用法
一用以分平圆为十平分
法为半径与三十六度之分圆若全分与理分中末之大分也
一用以分平圆为五平分
歴书言以全分为股理分中末之大分为句求其即半径全数为股三十六度之分圆为句求得七十二度之分圆为
一用以量十二等面体
法为立方边与所容十二等面边若理分中末之全分与其小分也又十二等面体之边与内容立方边若理分中末之大分与其全分也又立方内容十二等面体其内又容小立方则外立方与内立方若理分中末之全与其大分也
一用以量二十等面体
法为立方边与所容二十等面边若理分中末之全与其大分也
一用以量圆灯
法为圆灯边与其自心至角线若理分中末之大分与其全分也此自心至角之线即为外切立方立圆及十二等面二十等面之半径又为内切八等面之半径圆灯为有法之形即此可见
用理分中末线説
言西学者以几何为第一义而传只六卷其有所秘耶抑为义理渊深翻译不易而姑有所待耶测量全义言有法之体五其面其积皆等其大小相容相抱与球相似几何十一十二十三十四卷诸题极论此理又几何六卷言理分中末线为用甚广量体所必需几何十三卷诸题全頼之古人目为神分线又言理分中末线求法见本卷三十题而与二卷十一题同理至二卷十一题则但云无数可解详见九卷其义皆引而未发故虽有此线莫适所用疑之者十余年辛未嵗养病山阿游心算学于量体诸法稍得窥其奥爰证厯书之误数端于十二等面二十等面得理分中末之用及诸体相容之确数故以立方为主其内容十二等面边得理分线之末二十等面边得理分线之中反覆推求了无凝滞始信几何诸法可以理解而彼之秘为神授及吾之屏为异学皆非得其平也其理与法详几何补编
遥量平面法
甲乙庚辛为
所欲量之平
面而不能到
如仰视殿
上承尘而人
在殿外又如峭壁悬崖之上有碑若碣凡平面之物人从地面斜视灼然可见而不能到
或平面在下如田池之类人从台上俯视可见或临深崖瞰谷底其理不异但倒用其图即是
欲量甲乙庚辛平面而不能到可到者丙丁则先知丙丁之距及丙丁所作各角即可以知之
先求甲乙线 法于丙于丁各安平圆仪各以指尺向甲向乙又自相向各作角成甲丙丁甲丁乙乙丁丙凡三角形者三依第一法用甲丙丁形此形有丙丁线【两测之距】有丙角有丁角自有甲角可求甲丁线法为甲角之正与丙丁若丙角之正与甲丁也
次仍依第一法用乙丁丙形此形亦有丙丁线【两测之距】有丙角有丁角自有乙角可求乙丁线
法为乙角之正与丙丁若丙角之正与乙丁也【此丙角与前形之丙角不同】
次仍依第一法用甲丁乙形此形有甲丁乙丁两线及两线间所作之丁角【与前形丁角不同】可求甲乙线为所测之一边 法自甲角作甲戊垂线至戊分乙丁线为两而甲丁乙三角形分为两句股形 其一甲戊丁句股形有丁角 有甲丁线为可求甲戊句戊丁股
法为全数与甲丁若丁角之正与甲戊句 又全数与甲丁亦若丁角之余与戊丁股也
其一甲戊乙句股形有甲戊句 有乙戊股【戊丁减乙丁得之】可求甲乙
法以甲戊句乙戊股各自乗而并之开方得甲乙即所测平面之一边
第二求庚辛线 法亦于丙于丁各安平员仪【即先所安之元处】各以指尺向庚向辛又自相向各作角成庚丙丁庚丁辛 辛丙丁 凡三角形亦三
依第一法用庚丙丁形 此形有丙丁线【两测之距】有丙角有丁角自有庚角可求庚丁线
法为庚角之正与丙丁若丙角之正与庚丁也【此丙角与前两丙角不同】
依上法用辛丙丁形 此形有丙角【此丙角又与上不同】有丁角自有辛角 可求辛丁线【丁角与前不同】
法为辛角之正与丙丁若丙角之正与辛丁也仍依上法用庚丁辛形此形有庚丁辛丁两线及两线间所作丁角【此丁角又不同】可求庚辛线为所测之又一边法自庚角作庚己垂线至己分辛丁线为两而庚丁辛三角形分为两句股形
其一庚己丁句股形有丁角有庚丁线为可求庚己句己丁股
法为全数与庚丁若丁角之正与庚己句亦若丁角之余与己丁股也
其一庚己辛句股形有庚己句有辛己股【己丁减辛丁得之】可求庚辛
法以庚己句辛己股各自乗而并之开方得庚辛为所测平面之又一边【即甲乙之对邉】
第三求甲庚线
法于丁防侧安平仪以指尺向甲向庚作甲丁庚角成甲丁庚形此形有甲丁庚丁两线及两线所作之丁角【此丁角在甲丁庚丁两线间】可求甲庚线为所测形之侧边
法自庚角作甲丁之垂线至壬分甲丁线为两而甲丁庚三角形分为两句股形
其一庚壬丁句股形 有庚丁线为有丁角可求庚壬句壬丁股【法同前用丁角之正余】
其一庚壬甲句股形 有庚壬句甲壬股【丁壬减甲丁得甲壬】依句股法可求甲庚线为所测平面之侧边
第四求乙辛线
法亦于丁防侧安平仪指尺向乙向辛作乙丁辛角成乙丁辛形 此形有乙丁辛丁两线及两线所作之丁角此【丁角在辛丁乙丁两线间】可求乙辛线为所测形之又一侧边法自辛角作乙丁之垂线至癸分乙丁线为两而乙丁辛三角形分为两句股形
其一辛癸丁句股形有辛丁线为有丁角可求辛癸句癸丁股【法亦同前用丁角之正余】
其一辛癸乙句股形有辛癸句乙癸股【癸丁减乙丁得乙癸】依句股法可求乙辛线为所测平面之又一侧边
如此则所测形之四边皆具乃用后法求其幂
第五求乙庚线
法仍于丁防斜立平仪以指尺向乙向庚作乙丁庚角成乙丁庚形此形有庚丁乙丁两线及两线所作之丁角【此丁角又在乙丁庚丁两线间】可求乙庚线为所测形内之对角斜线
乙庚丁角形内自庚角作乙丁之垂线至卯分乙丁线为两而乙庚丁三角形亦分为两句股形
其一庚卯丁句股形 有庚丁线为有丁角可求庚卯句卯丁股【依上法用丁角之正余】
其一庚卯乙句股形 有庚卯句有卯乙股【卯丁减乙丁得卯乙】依句股法可求乙庚线为所测平面形内对角之斜线
既有乙庚线则所测甲乙辛庚平面形分为两三角形可以求其幂积
其一乙甲庚形有乙庚底 有甲庚甲乙两腰 法以两腰相减为较相并为和和乗较为实乙庚底为法除之得乙午以减乙庚得午庚半之得子庚乃用句股法以甲庚子庚各自乗相减为实开方得甲子垂线垂线半之以乗乙庚底得乙甲庚形平积
其乙辛庚形有乙庚底 有乙辛辛庚两腰如上法以乙辛辛庚相减为较又相并为和和乗较为实乙庚底为法除之得乙辰为底较以减乙庚得辰庚半之得丑庚乃用句股法以丑庚庚辛各自乗相减为实开方得丑辛垂线垂线半之以乗乙庚底得乙辛庚形平积末以两三角形积并之为所测甲乙辛庚平面四不等形之总积
右法可以不用丈量而遥知亩歩即有种种异态以三角御之足矣新法厯书言测量详矣然未着斯法意者其在几何后数卷中为未译之书欤
庚午蜡月既望晤逺西安先生谈及算数云量田可以不用履亩初闻之甚不以为然归而思之得此法然未知其所用者即此与否而此法固己足用矣若用有纵衡细分之测器指尺一量即得无烦布算矣
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>
测量用影差义疏
凡方形内从角剖成两句股形必相似而等【正方或长方并同】
方形内作对角斜线分为两句股又于斜线上任取一防作直线纵横相交如十字而悉与方边平行分方形为大小四句股形此四句股形各两两相似而等【大形丙与丁等小形庚与辛等】
则其四句股旁之两余方形虽不
相似而其容必等
解曰于原斜线所分相等句股内
各减去相等之大小两句股则其余亦等【丙戊庚形内减去大形丙小形庚余戊又于丁己辛形内减去大形丁小形辛余己原形既等所减又等则其余必等故戊己两长方虽不相似而其容必等也】
句股测逺
有甲乙之距人在戊立
表又立表于丁使戊丁
乙为一直线再于丙立
表使丙丁与乙戊如十字之半而与甲乙平行则丁戊小股与丙丁小句若丙庚大股与甲庚大句也
法以丙丁小句为二率乙丁大股为三率【即丙庚】相乗为实戊丁小股为一率为法法除实得大句甲庚再以庚乙加之得甲乙
假如丙丁两表相距【三歩】人在戊窥丁到乙逺【戊丁十二歩丁乙十八歩】欲求甲乙之距
法以丙丁【三歩】乗乙丁【十八歩】得【五十四歩】为实戊丁【十二歩】为法除之得【四十五歩】为甲庚加丙丁【三歩即乙庚】共四十八歩为甲乙
解曰此以乙丙长方形变为丙癸也依前论乙丙实形丙癸虚形不相似而容积等故也
重测法
有巽乙甲井方池欲遥望测其甲乙之一面方并乙丁之距
法立表于丁望测方池之东北
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