北角乙至东南角巽使丁乙巽为一直线 再于丁横过立一表于丙使丙丁为乙丁之横立正线【丙丁横六歩四分】次从丁退而北行至【戊】量得【十二歩】 从戊斜望池西北隅【甲】不能当【丙】表而出其间如【戌】又于戌立表【戌丁】之距【四歩】 再退而北行至【己】从【己】窥【甲】正过【丙】表己丙甲为一直线量得己丁之距【三十六歩】
法以【丙丁六歩四分】为一率【丁己三十六歩】为二率【戊丁四歩】为三率 二三相乗得【一百四十四歩】为实一率【六歩四分】为法除之得【二十二歩半】为辛己于辛己内减丁戊【十二歩】余【十歩半】为壬己是为景差
次以【戌丁四歩】减【丙丁六歩四分】余【丙戌二歩四分】以戊丁【十二歩】乗之得【二十八歩八分】为句实 景差【十歩半】为法除句实得二歩【八分弱】为甲申大句之距加丙丁【六歩四分即申乙】得共【九歩二分弱】为甲乙即方池一面之濶
次以辛己【二十二歩半】减丁己【三十六歩】余【十三歩半】辛丁为二率丁戊【十二歩】为三率相乗得【一百六十二歩】为股实 景差【十歩半】为法除之得【十五歩八分半弱】为乙丁大股之距
解曰此以四表重测改为三表乃巧算也 若测髙则重测本为前后二表者亦改用一表故当先知本法然后明其所以然下文详之
试先明四表本法
有甲乙之濶先立【丁】表从戊测之戊【人目】丁【表】乙【逺物之末端】三者参相直 次于【丁】表横过与【甲乙】平行作戊丁乙直线之横直线此线上取戊立表人目从【戊】过【戌】表窥甲逺物之西端亦参相直但于戊丁乙线为斜成句股形 量得戌丁两表横距【四歩】丁戊【人目距东表】直距【十二歩】
次于丁戊直线退而北行至己 又于西表戌作戌干癸直线与丁戊平行此平行线内取癸立西后表人目从【己】过【癸】至甲参相直成己甲癸斜 亦从【癸】横行至【丁己】线寻【辛】立东后表此后两表【癸辛】之距为前表【戌丁】等【四歩】 又量得【辛己】为东后表距人目之数【辛丁二十二歩半】次以丁戊【十二】减辛己【二十二半】得【十歩半】为壬己景差 末以己辛【二十二半】减【己丁三十六】余【十三歩半】为前后表间之距 以表横距【四歩】乗之得【五十四歩】为表间积【即丁癸长方】 置表间积为实以景差【十歩半】为法除之得【五歩一半弱】加表横距【四歩】得共【九歩二分弱】为所测逺物甲乙之濶解曰前表测得成【戊乙甲】句股形内有戌乙余方与形外戌坤余方等积 后表测得【己乙甲】句股形内有癸乙余方与形外酉癸余方等积 于【癸乙】内减【戌乙】于【酉癸】内减【寅癸即丑戌】则所余之【癸丁】及【酉辰】两余方亦必等积也故以【丁癸】变【辰酉】而得【辰寅】亦即【甲庚】也
次明改用三表之理
用三表者于【丙丁】两表间増一【戌】表其实则于【戌丁】两表外増一【丙】表也前増一表而无后表则无从而得景差故以三率法求而得之其实【癸辛】即后表也其理与四表同
然不用【癸子】形而用【戌子】形何也曰准前论【辰酉】形与【丁癸】形等积而【午癸】形与【丁癸】形亦等积【两余方在己丙丁句股形内外故等】则【酉辰】与【午癸】亦等积矣各减同用之【卯未】则所余之【酉卯】与【卯癸】二形亦自相等积而【卯癸】原与【戌子】等故用【戌子】变为【卯酉】而得【卯寅】即得【甲申】矣是故【戌子】可名句实也
其以【辛丁】乗【戊丁】为股实何也曰此三率法也【丁乙】外加【丁辛】前后两测之表距故【辛壬即戊丁】外亦加【壬己】两测之景差法为壬己与辛丁若戊丁与丁乙也凖此测髙可用一表而成两测【即借前测逺之图而以横为直】
假如有【甲乙】髙立【丙丁】表人目在【戊】测之则表之端不相值而参相直于表之若干度如【戊】退若干歩至【己】测之正对表端【丙】其法并同
因看数度衍中破勾测逺条疑其图不真因作此以证明其説
测量图説
一测股六十四尺
八寸【壬丁】 二测
句四十三尺二寸
【丙丁】 三大股三
千六百八十五尺
二寸【乙丁即丙午】四大
句二千四百五十
六尺八寸【甲午】加【午乙】
得二千五百尺为甲乙之髙
解曰癸丁长方形即古人所谓表间积也以景差壬辛【即丑子】除之变为寅子形是寅子与癸丁同积也 而申癸形原与癸丁同积则寅子与申癸亦同积也 于内各减同用之申子而寅未与未癸亦同积矣夫未癸即氐己也是戊丁【即亥己】乗丙己之积也故可命为句实而以景差壬辛【即申未】除之得甲午句也【甲午即戌酉】其取股实何也曰三率法也表在丁其景丁戊 后表在庚则其景庚壬后表之逺于前表者为庚丁故后景之大于前景者为辛壬则其比例为辛壬与庚丁若丁戊【即庚辛】与丁乙也
试引癸庚至箕截庚箕如庚壬又截尾箕如壬辛于尾于箕各作与庚乙平行线而于乙作垂弧为乙牛联之作长方形又作丁心线截之作箕乙线斜分之则其理着矣
三角形求外切圆法
设如锐角形有甲丙边七十五尺甲乙边六十一尺
乙丙边五十六尺 问外切
圆径若干 畣曰外切圆半
径三十八尺一寸二分五牦
法先求得甲丁中长线六十
尺为一率甲乙边六十一尺
为三率甲丙边折半得戊甲三十七尺五寸为三率二率与三率相乗一率除之得四率【三八一二五】为甲乙圆半径
解曰此甲丁乙三角形与甲己戊三角形同式故其线为相比例率也若甲为钝角其理亦同
以甲丙折半为三率故四率亦为半径若以甲丙全线为三率则四率必得甲辛为全径矣葢甲辛丙形与甲乙丁形同式也何以见甲乙丁形与甲辛丙形同式葢两形之乙角辛角同当甲庚丙弧分则二角必相等而丁丙又同为直角则两甲角亦必等而为同式无疑矣又界角比心角所当之弧大一倍今己心角所当甲庚弧适当乙界角所对甲庚丙之一半则两角为等可知而戊为直角与丁角等则两甲角必等故甲己戊与甲乙丁亦为同式形也
三角举要有量法未着算例因作此补之
又如甲乙丙钝角形 求外切员径【甲辛】 半径【甲己】法先求得中长线【乙丁】得【乙丁丙】句股形
次作【乙辛】线成【甲乙辛】大句股
形
又甲乙半之于戊从员心
【己】作直线过戊至庚又成
【甲戊己】句股形
一率 乙丁股【形内垂线】
三率 甲戊股【即甲乙之半】
四率 甲辛【即外切员径】四率 甲己【即切员半径】解曰三句股形皆相似故可以三率比例求之
问何以知其为相似形也曰原设形之丙角与甲乙辛形之辛角所当者同为甲庚乙员分则两角等而乙丁丙形之丁角与甲乙辛大形之乙角又皆正角则余角亦等而为相似形
又甲己为甲辛之半甲戊为甲乙之半戊正角与大形乙正角等又同用甲角则己戊亦乙辛之半而为相似形
一系凡三角形求得形内垂线为法 垂线左右两原边相乗 为实 法除实得外切员径 锐钝同法假如甲乙丙钝角形求得中垂线乙丁六分为法 左右两斜边【甲乙十八分乙丙十分】相乗【一百八十分】为实 法除实得外切员径甲辛三十分 即可借用前图【分寸畸零稍为整顿】
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>
歴算全书卷四十九
钦定四库全书
厯算全书卷五十
宣城梅文鼎撰
三角形举要法卷一
测算名义
古用句股有割员弧背矢诸名今用三角其类稍广不可以不知爰摘纲要列于首简
防
防如针芒无长短濶狭可论然算从此起譬如算日月行度只论日月中心一点此防所到即为躔离真度线
线有弧直二种皆有长短而无濶狭自一防引而长之至又一防止则成线矣
如测日月相距度皆自太阳心算至太隂心是为弧线如测日月去人逺近皆自人目中一防算至太阳太隂天是为直线
凡句股三角之法俱论线线两端各一防故线以防为其界
面
面有方员各种之形皆有长短有濶狭而无厚薄故谓之幂幂者所以冒物如量田畴界域只论土面之大小
面之方员各类皆以线限之故面以线为界【面之线亦曰邉】惟员面是一线所成乃弧线也若直线必三线以上始能成形体
体或方或员其形不一皆有长短有濶狭又有厚薄【或浅深髙下之类】员体如球如柱方体如柜如防或如员塔方塔皆以面为界【图后】
以上四者【谓防线面体】略尽测量之事矣然其用皆在线如论防则有距线论面则有邉线论体则有棱线【面与面相得则成棱线】凡所谓长短濶狭厚薄浅深髙下皆以线得之三角法者求线之法也
长短濶狭厚薄等类皆以量而得而量者必于一线正中若稍偏于两旁则其度不真矣故凡测量所求者皆线也三角形
欲明三角之法必详三角之形
两直线不能成形成形者必三线以上而三线相遇则有三角故三角形者形之始也
多线皆可成形析之皆可成三角至三角则无可析矣故三角能尽诸形之理
凡可算者为有法之形不可算者为无法之形三角者有法之形也不论长短斜正皆可以求其数故曰有法若无法之形析之成三角则可量故三角者量法之宗也角
三角法异于句股者以用角也故先论角
两线相遇则成角【平行两直线不能作角何也线既平行则虽引而长之至于无穷终无相遇之理角安从生是故作角者必两线相遇必不平行也】
角有三类一正方角一锐角一钝角
如右图以两线十字纵横相遇皆为正方角【亦曰直角亦曰方角】
如右图以两线斜相遇则一为锐角一为钝角
凡锐角必小于正方角凡钝角必大于正方角
正方角止一锐角钝角则有多种而算法生焉
弧
角在小形与在大形无以异也故无丈尺可言必量之以对角之弧
法以角之端为员心用规作员员周分三百六十度乃视本角所对之弧于全员三百六十度中得几何度分其弧分所对正得九十度者为正方角【九十度者全员四之一谓之象限】若所对弧分不满九十度者为锐角【自八十九度以至一度并锐角也】所对弧分在九十度以上者为钝角【自九十一度至百七十九度并钝角也】
如图丁为角即用为员心以作员形
其庚丁丙角【凡论角度并以中一字为所指之角此言庚丁
丙即丁为角也】所对者庚丙弧在全员为四
之一正得象限九十度是为正方角
若乙丁丙角所对者乙丙弧在象限庚丙弧之内小于象限九十度是为锐角
又乙丁壬角所对乙庚壬弧过于壬庚弧【壬庚亦象限九十度弧故庚丁壬亦方角】大于象限九十度是为钝角
角之度生于割员
割员弧矢
有弧则有矢弧矢者古人割员之法也
如图以乙子直线割平员则成弧
矢形
所割乙丙子员分如弓之曲古谓
之弧背以弧背半之则为半弧背
【如乙丙】
通正
割员直线如弓之谓之通【如乙子】
通半之古谓之半弧今曰正【如乙甲】
矢线
正以十字截半径成矢【如丁丙横半径为乙甲正所截成甲丙矢】谓之正矢
【以上二条俱仍前图】
正弧余弧正角余角
所用之弧度为正弧以正弧减象限
为余弧【如庚丙象限内减乙丙正弧则其余乙庚为余弧】
正弧所对为正角【如正弧乙丙对乙丁丙角则为正角】
以正角减正方角为余角【如以乙丁丙正角去减庚丁丙方角则其余乙丁庚角为余角】
正余正矢余矢
有正弧正角即有正【如乙甲】有正矢
【如甲丙】亦即有余【如乙己】有余矢【如己庚】
正正矢余余矢皆乙丙弧所有亦即乙丁丙角所有
自一度至八十九度并得为乙丙并得为正弧即正余矢毕具
若用乙庚为正弧则乙丙反为余弧
角之正余亦同
割线切线
每一弧一角各有正余正矢余矢己成四线于平员内【古人用句股割员即此法也盖此四线己成倒顺二句股】
再引半径透于平员之外与切员直线相遇为割线切线而各有正余复成四线【正割正切余割余切复成倒
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