又以半径比乙角之余若乙丙邉与乙戊
一 半径 一○○○○○
二 乙角【二十四度】余九一三五五
三 乙丙邉一千五百八十二尺
四 乙戊邉【即乙丁引长线】 一千四百四十五尺
以原邉乙丁【一千○八十尺】与引长乙戊邉相减得丁戊【三百六十五尺】为形外所作虚句股形之句【则先得丙戊垂线为股而原邉丁丙为之】
求丁丙邉
依句股求术以丙戊股自乗【四十一万三千四百四十九尺】丁戊句自乗【一十三万三千二百二十五尺】并之得数【五十四万六千六百七十四尺】为实平方开之得七百三十九尺为丁丙邉
求丙角
术为以丁丙邉比丁乙邉若乙角正与丙角正
一 丁丙邉 七百三十九尺
二 丁乙邉一千○八十尺
三 乙角【二十四度】正 四○六七四
四 丙角正 五九四四二
捡表得丙角三十六度二十九分
求丁角
并乙丙二角共【六十度二十九分】以减半周得余一百一十九度三十一分为丁钝角
计开
先有之三件
乙丁邉【一千零八十尺】 乙丙邉【一千五百八十二尺】 乙角【二十四度】
今求得三件
丁丙邉【七百三十九尺】 丙角【三十六度二十九分】 丁钝角【一百一十九度三十一分】
右例有两邉一角而两邉并在角之两旁不与角对是为钝角形第二术之第二支
又术【新增】 用切线分外角
假如【乙丙丁】钝角形有丁乙邉【五百四十尺】丙乙邉【七百九十一尺】乙角【二十四度】 角在两邉之中不与邉对求丙角
以【丁乙丙乙】两邉相并为总相减为较又以乙角【二十四度】减半周得外角【一百五十六度】半之得半外角【七十八度】捡其切线得四七○四六三
术为以邉总比邉较若半外角切线与半较角切线
一 两邉之总一千三百三十一尺
二 两邉之较 二百五十一尺
三 半外角切线 四七○四六三
四 半较角切线八八七一九
捡表得半较角【四十一度三十五分】以转减半外角【七十八度】得余三十六度二十五分为丙角
求丁角
并乙丙二角共【六十度二十五分】以减半周得一百一十九度三十五分为丁钝角
求丁丙邉
术为以丙角正比乙角正若乙丁邉与丁丙邉
一 丙角【三十六度二十五分】正 五九三六五
二 乙角【二十四度】正 四○六七四
三 乙丁邉五百四十尺
四 丁丙邉三百六十九尺九寸八分计开
先有之三件
丁乙邉【五百四十尺】 丙乙邉【七百九十一尺】 乙角【二十四度】
今求得三件
丙角【三十六度二十五分】 丁钝角【一百一十九度三十五分】 丁丙邉【三百六十九尺九寸八分】
钝角形第三术 有三邉求角【新式】
假如【乙丙丁】钝角形有乙丙邉【三百七十五尺】乙丁邉【六百○七尺】丁丙邉【三百尺】
术自乙角作虚垂线至甲又引丁
丙线横出遇于甲而成正方角则
成乙甲丁句股形
又引横线至辛使甲辛如丙甲成
乙甲辛句股形则丁辛为两句之
总而所设丁丙邉为两句之较
又乙丁邉为大形【乙甲丁】之乙丙邉为小形【乙甲辛即乙甲丙】之两相并为总相减为较
术为以句较比较若总与句总
一 句较【即丁丙邉】三百尺
二 较【即乙丁内减乙丙之余】 二百三十二尺
三 总【即乙丁乙丙二邉相并】 九百八十二尺
四 句总七百五十九尺四寸
以句较【三百尺】减所得句总【七百五十九尺四寸】余数【五百二十九尺四寸】为大形之句甲丁
求丁角【用乙甲丁大形】
术为以乙丁比丁甲句若半径与丁角之余
一 乙丁六百○七尺
二 甲丁句五百二十九尺七寸
三 半径 一○○○○○
四 丁角余八七二六五
捡表得丁角二十九度一十四分
求丙角【用乙甲丙小形】
术为以甲丙句比乙丙若半径与丙角之割线
一 甲丙句二百二十九尺七寸
二 乙丙三百七十五尺
三 半径 一○○○○○
四 丙角割线 一六三二五六
捡表得丙角【五十二度一十四分】为本形之丙外角以减半周得丙钝角一百二十七度四十六分
求乙角
并丁丙二角所得度分【共一百五十七度】以减半周得余二十三度为乙角
计开
先有三邉
乙丙邉【三百七十五尺】 乙丁邉【六百七尺】丁丙邉【三百尺】
求得三角
丁角【二十九度一十四分】 丙钝角【一百二十七度四十六分】 乙角【二十三度】
右例钝角形三邉求角作垂线于形外径求钝角乃新式也若以大邉为底从钝角分中长线同锐角第三术
厯算全书卷五十一
钦定四库全书
厯算全书卷五十二
宣城梅文鼎撰
三角法举要卷三
内容外切【三角测量之用在邉与角而其内容外切亦所当明故次于算例之后】内容有二曰本形曰他形
一三角求积
积谓之幂亦谓之面乃本形所有
一三角容员
一三角容方
以上皆形内所容之他形
外切惟一
一三角形外切之员
三角求积第一术
底与髙相乗折半见积
内分二支
一句股形即以句股为底为髙
一锐角钝角形任以一邉为底而求其垂线为髙
假如句股形甲乙股【一百二十尺】乙丙句【三十五尺】求积
术以甲乙股乙丙句相乗【四千二百尺】折半得积
凡求得句股形积二千一百尺
如图甲乙股与乙丙句相乗成甲
乙丙丁长方形其形半实半虚故
折半见积
或以句折半【十七尺半】乗股亦得积【二千
一百尺】
如图乙丙句折半于戊以乙戊乗
甲乙成甲乙戊丁形是移丙戊己
补甲丁己也
或以股折半【六十尺】乗句亦得积【二千
一百尺】
如图甲乙股折半于己以己乙乗
乙丙成己乙丙丁形是移甲己戊
补戊丁丙也
右句股形以句为底以股为髙若以股为底则句又为髙可互用也
句股形有立有平若平地句股以句为濶以股为长其理无二
论曰凡求平积皆谓之幂其形如网目又似窓櫺之空皆以横直相交如十字亦如机杼之有经纬而成布帛故句股是其正法何也句股者方形斜剖之半也折半则成正剖之半方形矣其他锐角钝角或有直无横有横无直必以法求之使成句股然后可算故句股者三角法所依以立也
假如锐角形甲乙邉【二百三十二尺】甲丙邉【三百四十尺】乙丙邉【四百六十八尺】求积
术先求垂线用锐角第三术任以
乙丙邉为底以甲丙甲乙为两
两之较数【一百零八尺】总数【五百七十二尺】相乗【六万一千七百七十六尺】为实以乙丙底
为法除之得数【一百三十二尺】转减乙丙余数【三百三十六尺】半之得乙丁【一百六十八尺】依句股法以乙丁自乗【二万八千二百二十四尺】与甲乙自乗【五万三千八百二十四尺】相减余数【二万五千六百尺】平方开之得甲丁垂线【一百六十尺】以甲丁垂线折半乗乙丙底得积凡求得锐角形积三万七千四百四十尺
如图移辛补壬移庚补癸则成长
方形即垂线折半乗底之积
右锐角形任以乙丙邉为底取垂
线求积若改用甲乙或甲丙邉为
底则所得垂线不同而得积无异故可以任用为底假如钝角形甲乙邉【五十八步】甲丙邉【八十五步】乙丙邉【三十三步】求积
术求垂线立于形外用钝角第三
术以乙丙为底甲乙甲丙为两
总数【一百四十三步】较数【二十七步】相乗【三千八百
六十一步】为实乙丙底为法除之得数
【一百一十七步】内减乙丙余数【八十四步】折半
【四十二步】为乙丁【即乙丙引长邉】依句股法乙丁自乗【一千七百六十四步】甲乙自乗【三千三百六十四步】相减余数【一千六百步】平方开之得甲丁【四十步】为形外垂线以乙丙底折半【十六步半】乗之得积
凡求得钝角形积六百六十步
如图甲乙丙钝角形移戊补庚移
庚己补壬癸又移壬子补辛成辛
癸丑长方即乙丙底折半乗中长
甲丁之积
右钝角形以乙丙为底故从甲角作垂线若以甲乙为底则自丙角作垂线亦立形外而垂线不同然以之求积并同若以甲丙为底从乙角作垂线则在形内如锐角矣其垂线必又不同而其得积无有不同故亦可任用一邉为底
凡用垂线之髙乗底见积必其线上指天顶底线之横下应地平两线相交正如十字故其所乗之幂积皆成小平方可以虚实相补而求其积数钝角形引长底线以作垂线立于形外则两线相遇亦成十字正方之角矣
总论曰三角形作垂线于内则分两句股钝角形作垂线于外则补成句股皆句股法也
三角求积第二术
以中垂线乗半周得积谓之以量代算
假如钝角形乙丙邉【五十八步】甲乙邉【一百一十七步】甲丙邉【八十五步】求积
术平分甲乙两角各作线防于心从
心作十字垂线至乙甲邉【如心庚】即中
垂线也乃量取中垂线【心庚】得数【一十八步】
合计三邉而半之【一百三十步】为半周以半周乗中垂线得积
凡求得钝角形积二千三百四十步
又术如前取中垂线【心庚】为濶半周为
长【如乙癸及丁壬】别作一长方形【如乙壬丁癸】即
与【甲乙丙】钝角形等积
解曰凡自形心作垂线至各邉皆等故中垂线乗半周为一切有法之形所公用方员及五等面六等面至十等面以上并同故以中垂线为濶半周为长其所作长方形即与三角形等积
又解曰中垂线至邉皆十字正方角即分各邉成句股形以乗半周得积即句股相乗折半之理
附分角术 有甲角欲平分之
术以甲角为心作虚半规截角旁两
线得辛壬二防乃自辛自壬各用为
心作弧线相遇于癸作癸甲线即分
此角为两平分
三角求心术
如上分角术于甲角平分之于乙角
又平分之两平分之线必相遇成一
防此一防即三角形之心
解曰试再于丙角如上法分之则亦
必相遇于原防
三角求积第三术
以三较连乗又乗半总开方见积
假如钝角形甲乙邉【一百一十六尺】甲丙邉【一百七十尺】乙丙邉【二百三十四尺】求积
术合计三邉而半之【二百六十尺】为半总
以与甲乙邉相减得较【一百四十四尺】与甲
丙邉相减得较【九十尺】与乙丙邉相减
得较【二十六尺】三较连乗【以两较相乗得数又以余一较】
【乗之也】得数【三十三万六千九百六十尺】又以半总较之得数【八千七百六十万零九千六百尺】平方开之得积
凡求得钝角形积九千三百六十尺
若系锐角同法
解曰此亦中垂线乗半周之理但所得为幂乗幂之数故开方见积详或问
三角容员第一术
以与句股求容员径【此术惟句股形有之凡句股相并为和以和与并为和和以和与相减为和较】
假如【甲乙丙】句股形甲丙句【二十步】乙甲股【二十一步】乙丙【二十九步】求容员径
术以句股和【四十一步】与相减得数为容员径
凡求得内容员径一十二步
解曰此以和较为容员径
如图从容员心作半径至邉又作
分角线至角成六小句股形则各
角旁之两线相等【如丙戊丙庚两线在丙角旁则
相等乙庚乙己在乙角旁甲戊甲己在甲角旁并两线相等】
其在正方角旁者【甲戊甲己】乃和
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