径知全径矣【半径各如己庚线】
论曰此容员心即三角形之心【故以容员半径乗半总即得积也】又案此术亦句股及锐钝两角通用
三角容员第四术
用三较连乗
假如【甲乙丙】钝角形乙丙邉【四百三十二尺】甲丙邉【五百尺】甲乙邉【一百四十八尺】求容员径
术以半总【五百四十尺】求得乙丙邉较
【一百○八尺】甲丙邉较【四十尺】乙甲邉较
【三百九十二尺】三较连乗得数【一百六十九万三千
四百四十尺】以半总除之得数【三千一百三十】
【六尺】四因之【一万二千五百四十四尺】为实平方开之得容员径凡求得内容员径一百一十二尺
锐角同法
解曰此所得者为容员径上之自乗方幂故开方得径
三角容方第一术
合底与髙除倍积得容方径
内分二支
一句股形即以句股为底为髙【即句股和也其容方依正方角】一三角形以一邉为底求其垂线为髙【句股形以为底锐角形三邉皆可为底钝角形以大邉为底其容方并依为底之邉】
假如【甲乙丙】句股形甲丙股【三十六尺】乙丙句【一十八尺】求容方依正方角而以容方之一角切于
术以句股相乗得数【六百四十八尺】为实以句股和【五十四尺】为法除之得所求
求到内容方径一十二尺
如图作寅乙线与股平行作寅甲
线与句平行成寅丙长方为句股
形倍积
次引寅甲线横出截之于癸引乙
丙句横出截之于夘使引出两线
【甲癸及丙夘】皆如甲丙股仍作夘癸线聫之
乃从癸作斜线至乙割甲丙股于戊则戊丙为所求容方之邉又从戊作申未横线与上下两线平行割甲乙于己则己戊为所求容方之又一邉末从己作午辛立线割丙乙句于辛则己辛及辛丙又为两对邉而四邉相等为句股形内所容之方
解曰寅夘大长方以癸乙斜线分两句股则相等而寅戊与戊夘两长方等则寅丙长方与申夘长方亦等【寅丙内减寅戊而加相等之戊夘即成申夘】夫寅丙者句股倍积而申夘者句股和乗容方径也【乙丙句丙夘股合之为申夘形之长申乙及未夘并同方径为濶】故以句股和除倍积得容方径
又解曰寅丙长方分两句股而等则寅戊与午丙两长方等【寅己与己丙既等则于寅戊内减寅己而加相等之己丙即成午丙】而寅戊原等戊夘则午丙亦与戊夘等夫午丙形之丙甲与戊夘形之丙夘皆股也则两形等积又等邉矣其长等其濶亦等【甲丙与丙夘既等则辛丙与戊丙亦等】而对邉悉等即成正方形
论曰此以句为底股为髙也若以股为底句为髙所得亦同其容方依正方角乃古法也三角以底濶合中长除积盖生于此是为第一术之第一支
假如【甲乙丙】句股形乙丙二十八尺其积一百六十八尺求容方依线而以容方之两角切于句股术以除倍积【三百三十六尺】得对角线【一十二尺】与相并【四十尺】为法倍积为实法除实得所求
求到容方径八尺四寸
如图作寅丑线与乙丙平行又作
寅丙及丑乙与甲丁对角线平行成
丑丙长方为句股形倍积
次引乙丙至夘引寅丑线至癸使
癸丑及夘乙并同甲丁仍作癸夘线
聫之
次从癸向丙作斜线割丑乙线于子遂从子作申未线与乙丙平行割甲乙股于庚割甲丙句于己则庚己为容方之一邉末从庚作辰壬线从己作午辛线并与甲丁平行而割乙丙于壬于辛则辛壬及庚壬及己辛三线并与庚己等而成正方
解曰寅子长方与子夘长方等积【癸丙线分寅夘形为两句股而等则两句股内所作之方必等】午壬长方又与寅子等【寅丁形以甲丙线分为两句股则寅己与己丁等又丑丁形以甲乙线分为两句股则丑庚与丁庚等若移寅己作己丁移丑庚作丁庚则午丁等寅戊而辰丁等丑戊合之而午壬等寅子】则午壬亦与子夘等而午壬之邉【午辛及辰壬】子夘之邉【夘乙及未子】并等甲丁对角线则两形【午壬子夘】等积又等邉矣其长等其濶亦等【辰壬既等夘乙则辛壬亦等子乙而庚壬及己辛亦不得不等】故四线必俱等也
又解曰寅子既与子夘等则寅乙必与申夘等【于寅乙内移寅子居子夘之位即成申夘】而寅乙者倍积也申夘者底偕中长乗容方径也【乙丙也夘乙即甲丁对角中长线也合之为丙夘之长其两端之濶申丙及未夘并同方径】故合与对角线为法以除倍积得容方径
论曰此以一邉为底中长线为髙也既以一邉为底其容方即依此一邉而以两方角切余二邉也句股形故以为底若锐角形则任以一邉为底但依大邉则容方转小亦如句股形依方角之容方必大于依线之容方也钝角形但可以大邉为底其求之则皆一法也是为第一术之第二支
三角容方第二术
以图算
内分二支
一以法截中长线得容方径【句股形即截其邉】
一以法截两斜邉得容方边【句股形即截其】
假如锐角形求容方任以一邉为底
如图以乙丙最小邉为底先从对角甲作中长垂线至丁又从乙角作丑乙立线与甲丁平行而等乃从甲角
作横线过丑至癸截丑癸亦如甲
丁乃从癸向丙角作斜线割丑乙
立线于子末以子乙之度截中长
线【甲丁垂线】于戊即戊丁为容方之径
【从戊作己庚又从己作线至辛从庚作线至壬成庚己辛壬即所求
容方】
解曰甲戊与戊丁若甲丁与乙丙【子丑癸句股与子乙丙形有子交角必相似则丑子句与子乙句若丑癸股与乙丙股而丑子原与甲戊等子乙与戊丁等丑癸与甲丁等则甲戊与戊丁亦若甲丁与乙丙】又甲戊与己庚若甲丁与乙丙【甲己庚三角为甲丙乙之截形必相似则甲戊与己庚若甲丁与乙丙】
合两比例观之则甲戊与戊丁若甲戊与己庚而己庚即戊丁
以上并锐角形
凡锐角三邉并可
为底而皆一法
假如句股形求容方以股为底则于句端甲作横线与股平行而截之于癸使癸甲如甲乙句乃自癸向丙作斜线割甲乙句于戊则戊乙即容方之一邉末作己戊与股平行作己辛与句平行即成容方【或以句为底则从股端丙作丙癸横线与股等亦作癸甲斜线割丙乙股于戊其所得容方亦同图如左】
论曰锐角钝角皆截中长线为容方径句股形以为底亦然惟句股形以句为底即截其股为容方径【用股为底即截句】不另求中长而与截中长之法并同是为第二术之第一支
假如乙丙丁三角求容方 依乙丙邉为底
如图以乙丙底作正方形【即甲乙丙戊方】又作丁辛对角线次作甲辛及戊
辛两斜线割原形之两斜线于己
于庚乃作己庚线为所求容方之
一邉【末作己壬及庚癸两线成小方形于形内即所求】
解曰甲戊与己庚若子辛与午辛也【己庚辛三角形为甲戊辛之切形则其横与直之比例相等】而甲戊与子辛同为方径而等则己庚与午辛亦同为小方径而等
若底上方形大则其径亦大于对
角线则如第二图引丁辛线至子
其理亦同
有此二法则三邉并可为底
钝角形用大邉为底句股形用为底并同第二图
若句股形以句为底求容方如图即用乙丙句作【丙辛庚乙】方形从方角庚向丙作斜线割丁乙于壬从壬作癸
壬及甲壬二线即所容方【或用股上方则
引出句邉如股】
解曰庚丙线分丙角为两平分则
其横直线自相等【壬癸与癸丙相等壬甲与甲丙】
【相等则四线皆等】而成正方嘉禾陈防庵用分角法求容方与此同理
论曰此皆以底上方形为法而得所求小方也故不论顶之偏正其所得容方并同惟句股容方依正方角则中长线与原邉合而为一法虽小异其用不殊是为第二术之第二支
三角形外切平员第一术
句股形以为径
假如甲乙丙句股形乙丙长四尺五寸二分求外切员
术以折半取心得半径二尺二寸六分其长四尺五寸二分即外切平员全径以平员周率三五五乗之径率一一三除之得员周一十四尺二寸
如图乙丙员径即句股形之折半于丁即员心也以
乙丁半径为度从丁心运规作员
必过甲而句股形之角皆切员周
矣
论曰凡平员径上从两端各作直线至员周相防则成正方角【如乙丙径之两端于丙于乙各作直线防于甲则甲角必为正角】而为句股形【假令两线相遇于庚即成庚乙丙句股形于辛亦然以其皆正角故也】故不问句股长短而并以其为外切员之径
又论曰径一百一十三而周三百五十五此郑端清世子所述祖冲之术也【见律吕精义】按古率周三径一李淳风等释古九章以为术从简易举大纲而言之诚为通论诸家所传径五十周一百五十七则魏刘徽所改谓之徽率径七周二十二则祖冲之所定谓之宻率由今以观冲之自有两率【一为七与二十二一为一一三与三五五】盖以其捷者为恒用之须而存其精者明测算之理亦可以观古人之用心矣
三角形外切平员第二术
分邉取员心内分二支并以图算
一句股形但分一邉即得员心【其心在】
一锐角形钝角形并分二邉可得员心【锐角形员心在形内钝角形员心在形外】
假如甲乙丙句股形求外切员
术任于句或股平分之作十字正线此线过线之防即为员心
如图甲乙丙形以甲乙股平分于
戊从戊作庚丁正十字线至乙丙
即分为两平分而丁即员心
从丁运规作外切员则甲乙丙三
防并切员周而乙丁丙丁庚丁皆半径
论曰若平分甲丙句于辛从辛作十字正线亦必至丁故但任分其一邉即可得心
又论曰若依第一术先得丁心从丁心作直线与句平行即此线能分股线为两平分【如丁庚线与甲丙句平行过甲乙股即平分股线于戊】若与股平行而分句线亦然【如丁辛线与甲乙股平行即分句线于辛】右句股形外切平员之心在线中央
假如锐角形求形外切员
术任以两邉各平分之作十字线引长之必相遇于一防即为员心
如图甲乙丙锐角形任以甲丙邉
平分之于戊作庚戊丁十字线又
任以乙丙邉平分之于壬作癸壬
丁十字线两直线稍引长之相遇
于丁以丁为心作员则甲乙丙三角并切员周而丁癸丁庚皆半径
论曰试于余一邉再平分之作十字正线亦必防于此防故此防必员心【如甲乙邉再平分之于辛作子辛丁十字线亦必相遇于丁防】
右锐角形外切平员之心在形之内
假如钝角形求形外切员 术同锐角
如图甲乙丙形甲为钝角任分甲
丙于戊分甲乙于辛各作十字线
防于丁心从丁作员则丁庚丁癸
皆半径而三角并切员周若用大
邉平分于壬作壬丁子线亦同
论曰试于丁心作线至丙至乙至甲必皆成员半径与丁庚丁癸同故丁为员心也
右钝角形外切平员之心在形之外
总论曰此与容员之法不同何也内容员之心即三角形之心故其半径皆与各邉为垂线而不能平分其邉然从心作线至角即能分各角为两平分此分角求心之法所由以立也外切员之心非三角形之心其心或在形内或在形外距邉不等而能以十字线剖各邉为两平分此分邉求心之法所由以立盖即三防串员之法也
附三防串员
有甲乙丙三防欲使之并在员周
术任以甲为心作虚员分用元度
以丙为心亦作虚员分两员分相
交于戊于辛作戊辛直线又任以
乙为心以丙为心各作同度之虚员分相交于庚于壬作庚壬直线两直线相遇于丁以丁为心作员则三防并在员周
员周有三防不知其心亦用此法
厯算全书卷五十二
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书卷五十三
宣城梅文鼎撰
三角法举要卷四
或问【三角大意畧具首卷中而入算取用仍有疑端喜同学之好问事事必求其所以然故不惮为
之详复以畅厥防】
一三角形用正为比例之理
一和较相求之理
一用切线分外角之理
一三较连乗之理
附三较求角
问各角正与各邉皆不平行何以能相为比例曰凡三角形一邉必对一角其角大者正大而所对之邉亦大角小者正小而所对之邉亦小故邉与邉之比例如正与正也
【打 印】 【来源：读书之家-dushuzhijia.com】
