下
长二步除积十六步得原濶八步 以截长六步乗濶得四十八步加不足七步得截积五十五步
论曰此盈朒中方田也然无闗于方田之实用故入盈朒然不知宜入方程也
试更作问
今有方田欲截横头之积改为直田但云截濶五步则不足十二步截濶九步则如所截之积一有半问所截直田积并原田之方
如法列位
濶一歩半为法 积十八歩为实 法除实得原方一十二歩 以濶五歩乗方得六十歩加不足十二歩得截直田七十二歩
计开
原方田方十二歩 积一百四十四歩
截直田七十二歩 宜截濶六歩
若此条则盈朒不能御
今有米换布七疋多四斗换九疋适足问原米若干及布价
法列位
上 中 下
布二疋为法 四斗为实 法除实得布价每疋二斗 以九疋适足乗布价得原米一石八斗
论曰此盈朒中粟布法也
试更设问
今有谷换绢十疋余三石以谷之半换绢六疋不足五斗问原谷若干及绢价
法列位
法一免除 得绢每疋价二石 以十疋乗价加余三石得原糓二十三石
若此条则非盈朒所能御
论曰直田截积及米换布盈朒本法也愚所设方田截积及糓换绢非盈朒本法也乃带分盈朒之变例也【如旧法芝蔴粜银是其例也】虽盈胸亦有求法颇多转折非其质矣不如用方程之省约
今有芝蔴不知总但云取麻八分之三粜银十两不足二石取麻三分之一粜银八两适足问原麻总数及每银一两之麻
法先以麻【八 之三三 之一】用母相乗得二十四为母母互乗子得【之九之八】为所用之分而列之 依省算左加九之一而径减
法一两省除即以麻二石命为银每两之麻 以银八两麻八分适足省乗除径以二石为麻之一分以二十四分乗得原麻四十八石
计开
原麻四十八石银毎两麻二石
其八之三计一十八石 银十两该二十石 故不足二石
其三之一计一十六石 银八两恰该一十六石 故适足
若问麻每石之银则以二石为法转除一两得每石价五钱
按此条宜入方程旧列带分盈胸之末
问者若云有银买麻以麻八之三与之则余二石以麻三之一与之适足问原麻及银所买
依法求得二石为麻之一分 以总母廿四分乗之得原麻四十八石 以九分乗二石减负二石得银所买麻十六石
论曰此所设问则盈朒带分本法也然不能知每价以方程法求之亦同 观此益见前条之宜入方程也
今有黄连木香不知数但云取连三之一换木香七之二则连多二斤取连四之三换木香五之四则连少一斤若于五之四内减去木香三斤则连多一斤
法先以通分齐其分
乃列位
如法乗减 余木香二十二分为法 异并黄连二十二斤为实 法除实得每木香一分【即三十五分之一】换黄连一斤 以木香十分换黄连十斤异加正二斤共十二斤以黄连正四分除之得黄连每三斤为一分 以分母十二乗之得总黄连三十六斤
另并黄连多一斤少一斤共二斤为法除减木香三斤得每黄连一斤换木香一斤半【原少连一斤减木香三斤而转多连一斤故知其数】
此连所换之木香一斤半即其三十五分之一分也以三十五分乗之得木香五十二斤半
计开
黄连三十六斤
木香五十二斤半
每黄连一斤换木香一斤半
三分三十六斤而取其一得一十二斤为黄连三之一七分五十二斤半而取其二得十五斤为木香七之二该换连十斤今连有十二斤是连多二斤也
四分三十六斤而取其三得二十七斤为黄连四之三五分五十二斤半而取其四得四十二斤为木香五之四该换连二十八斤今连只二十七斤是连少一斤也
若于木香五之四减三斤余三十九斤该换连二十六斤今连有二十七斤是连多一斤也
论曰凡较数方程有若干物共几色又有其所较之价银若钱之类今所用较数即用其物之斤两而无银若钱微有不同乃古者贸迁有无交易之术也专用银若钱以权物价后世事耳
问绫每尺多罗价三十六文今买绫六尺罗八尺其共价绫比罗少三十六文
畣曰绫每尺一百六十二文 罗每尺一百二十六文
罗二尺除二百五十六尺得罗价每尺一百二十六文 加多三十六文得绫价每尺一百六十二文
问银二千九百二十八两买绫一百五十疋罗三百疋绢四百五十疋只云绫每疋比罗多四钱七分罗每疋多绢一两三钱五分 畣曰绫每疋四两三钱二分 罗每疋三两八钱五分 绢每疋二两半
绢九百疋为法除实二千二百五十两得绢价二两五钱 加多一两三钱半得罗价三两八钱半 又加多四钱七分得绫价四两三钱二分
今有兄弟三人不知年小弟谓长兄曰我年比汝四之三次兄比汝六之五比我多八歳
法以带分别之 皆变零从整
季弟二 除一百四十四歳得年七十二歳 加八歳得仲兄年八十 六因仲年五除之得伯年九十六歳
计开
伯九十六歳 仲八十歳【为伯年六之五】 季七十二歳【为伯年四之三】今有四人分钱但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之十七其丁与丙差四文
甲正五乙负六 空空 适足【此行不用乙无对故也】
丁四除二百七十二得丁钱六十八文
加四文得丙钱七十二文
四乗丙钱三除之得甲钱九十六文
五乗甲钱六除之得乙钱八十文
计开
甲九十六文
乙八十文
丙七十二文
丁六十八文
甲六之一得一十六以五因得八十文为六之五乙数也甲四之一得二十四以三因得七十二为四之三丙数也甲二十四之一得四以一十七因得六十八为二十四之一十七丁数也
论曰此虽四色实三色也故径以三色取之
今有七人逓差分钱但知首二人共七十七文次二人共六十五文不知各数亦不知余人数
法以逓差故知倍乙当甲丙倍丙当乙丁而列之
重列减余与三行 减余变较
重列减余与四行
丁八为法除实二百四十八文得三十一文为丁数倍丁数与六十五文相减得逓差三文 以差逓
加得甲乙丙数以差逓减得戊己庚数 皆加减丁数得之
计开 甲四十文 乙三十七文 丙三十四文 丁三十一文戊二十八文 己二十五文 庚二十二文
今有银二百四十两以四人逓差分之只云甲多丁一十八两
如前法以倍乙当甲丙倍丙当乙丁 又依省算移甲于丁位
和较列位
重列两减余
又重列减余与末行
甲四除二百七十六两得甲数六十九两 甲数内减十八两得丁数五十一两 以甲数减二百四十两余一百七十一两丙三除之得丙数五十七两 并丙数甲数一百廿六两半之得乙数六十三两计开
甲六十九两 乙六十三两 丙五十七两 丁五十一两 逓差六两
今有米二百四十石五人逓差分之其甲乙二人与戊丁丙三人共数等
如前法列位 依省算倒甲位自下而上
重列减余与三行
又重列减余与四行
又重列减余与末行
甲十五除九百六十得甲数六十四石 倍甲数减一百廿石余得逓差八石 以差逓减各数得乙丙丁戊数
计开
细分之逓差八石
论曰凡差分章竹筒七节盛米之类皆可以此法求之兹不烦列
厯算全书卷四十五
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
歴算全书卷四十六
宣城梅文鼎撰
句股阐微卷一
句股正义
首题
句股者横曰句纵曰股【亦可云勾纵股横】斜曰三线相聨而成句股形也
如图甲乙丙形甲乙为股乙丙为句甲丙为亦可云【甲乙为句乙丙为股】也 凡三角形或三角俱鋭或两鋭一钝或两鋭一
正【鋭钝正説具三角形算法中】句股形者两鋭一正形也其句股两线纵横相遇而成者为正角如乙防句两线及股两线相遇而成者为鋭角如甲丙两防 此三线者或三线俱不等其最大者必或两线等其等者必句股而无三线等何者以句股形一角正故也
一题
句股求
法曰句股各自乘并之开方得
如图甲乙句自乘得乙丁方乙丙股自乗得乙戊方两方相并即甲巳方开之得甲丙
论曰试移庚实形补辛虚形移丑实形补卯虚形移壬实形补子虚形移卯午实形补壬辰虚形所移者恰尽所补者恰足得乙丁与乙戊两方并恰与甲巳方等又论曰更以句与股相等之形观之夫句与股既等则句股各自乗固方也即句股互相乗亦方也【凡句股不等则句股互相乗必是矩形】如丁戊大方平分方边于方形中纵横作线中分四
小方形必等又句与股既等则上方边为句股各自乗两方之对角线亦为句股互相乗两方之对角线如于四小方形中作四对角线相聨而成一中方形也此中方形者割小方形四之半即涵小方形二之全就此图观之尤为明显
又法曰句与股相乗倍之另以句股差自乗并入倍数开方得
论曰甲乙股乙丙句相乗得乙丁矩形中分为庚戊两形夫庚形即辛形也倍之者再加癸卯两形也乙丙为句丙巳
为股乙巳为句股差自乗得乙子方并入倍数共成甲壬方为甲丙上方也
又法曰句自乗倍股依长濶相差法求之得股差加股为
论曰甲乙丙句股形甲丙也丁已亦也丁戊上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也余乙戊子磬折形即句自乗之数也而已壬矩与乙丑矩等即丙戊矩亦
句自乗之数也此丙戊矩形中乙丙为股加乙壬为倍股曰长濶相差者丙午为长午戊为濶与壬午等即壬丙倍股为长濶之差也依法求之得壬午为股差
二题
句求股
法曰自乗内减句自乗余开方得股
论曰一题句股求苐一法句股各自乗并之即自乗数则自乗数中有句股各自乗之数也今于自乗数中减去句自乗所存者即股自乗数矣就一题之图观之自见
又法曰句相并得数相减得数两数相乗得数开方得股
如图甲乙丙句股形乙丙句甲乙股甲丙与乙丙相并即乙丁线相减即乙巳线【乙巳与乙子等】两线【乙丁乙子】相乗得子丁矩即
甲乙股上方
论曰己午方者已丙线上方即甲丙上方也内减子午形为乙丙句上方所存卯巳未磬折形即甲乙股上方矣而巳未矩又与丁卯矩等则丁子矩形即卯巳未磬折形矣亦即甲乙股上方矣
又法曰句自乗倍依长濶相和法求之得股差用减得股
论曰甲乙丙句股形甲丙也丁己亦也丁戊上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也余乙戊子磬折形
即甲乙句自乗之数也而己壬矩与乙丑矩等即丙戊矩亦甲乙句自乗之数也此丙戊矩形中乙午为乙丙并午戊为倍曰长濶相和者丙午为长午戊为濶即丙午午戊并为长濶相和也依法求之得壬午为股差
三题
股求句
法同二题句求股
附长濶相和法
如图丁乙矩形积九百七十二尺丁甲为长乙甲为濶两边之和共六十三尺求甲丁甲乙二边各若干 法以和数
自乗得三千九百六十九尺次以积四倍之得三千八百八十八尺与和自乗相减存八十一尺开方得九尺【即丁甲乙甲二边之较数】以与和【六十三尺】相并折半得三十六尺为甲丁长边又与和相减折半得二十七尺为甲乙矩边长濶相差法【图同上】
丁乙矩形积九百七十二尺甲乙为濶戊乙为长丙戊九尺【乙丙即甲乙】为长濶相差数甲乙戊乙二边各若干法以较数【九尺】自乗得八十一尺次以积四倍之得三千八百八十八尺与较自乗相并得三千九百六十九尺开方得六十三尺【即戊乙甲乙二边之和数】以与较九尺相并折半得三十六尺为戊乙长边又与较【九尺】相减折半得二十七尺为甲乙短边
解曰甲午矩形作乙丙对角线成甲乙丙句股形甲丙长句也甲乙濶股也丙丑长濶和也【甲丑即乙甲】自乗得丙
子大方四倍矩积也并大方内戊丁
庚辛四矩形之积【大方内所容四矩俱与元形等如丙
壬矩即甲午矩其八句股形亦俱等元形】相减存己壬小
方开方得巳未边即甲乙甲丙二边之较数也【卯亥即甲乙股卯壬即甲丙句则壬亥为两边较数即长濶相差也】既得较数与所有和数相加减得甲乙甲丙二边矣
若
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