亦引乙丙至庚引丁丙至辛
作甲辛及戊庚线并引长之
防于己成辛庚长方为一四
相乗之积是先有比例而成
同实之长方
如图乙丙乗丙丁为乙丁长
方辛丙乗丙庚为辛庚长方
两长方以角相连于丙次引
己辛及乙壬防于甲引己庚
及壬丁防于戊乃作甲戊线
则辛丙与丙丁若乙丙与丙
庚是先知同实而成其比例
也
问三角形两又术用外角切线何也曰此分角法也一角在两邉之中则角无所对之邉邉无所对之角不可以正为比例今欲求未知之两角故借外角分之也然则何以用半较角曰较角者本形中未知两角之较也此两角之度合之即为外角之度必求其较角然后可分而较角不可求故求其半知半较知全较矣此用半较角之理也
如图甲丙乙形先有丙角则甲丙丁为外角外角内作
丙辛线与乙甲平行则辛
丙丁角与乙角等辛丙甲
角与甲角等
其辛丙庚角为两角之较而辛丙己角其半较也己丙丁及己丙甲皆半外角也以半较角与半外角相减成乙角【于丁丙己内减辛丙己其余丁丙辛即乙角度】若相加亦成甲角【于己丙甲加辛丙己成辛丙甲即甲角度】
半较角用切线何也曰此比例法也角与所对之邉并以正为比例今既无正可论而有其所对之邉故即以邉为比例【角之正可以例邉则邉之大小亦可以例角】是故乙丁者两邉之总也乙癸者两邉之较也而戊己者半外角之切线也壬己者半较角之切线也以乙丁比乙癸若戊己与壬己故以切线为比例也
然则何以不径用正曰凡一角分为两角则正因度离立不同在一线不可以求其比例其在一线者惟切线耳而邉之比例与切线相应切线比例又原与正相应故用切线实用正也
如图甲丙丁外角其弧甲
己丁于辛作辛丙线分其
角为两则小角之弧丁辛
其正夘丁大角之弧辛
甲其正甲丑【小角正当乙角之
对邉甲丙大角正当甲角之对邉乙丙】
今欲移正之比例于一线先作甲丁通割分角线于子则子甲与子丁若甲丑与夘丁【甲丑子与丁夘子两句股形有子交角等丑夘皆正角即两形相似而比例等然则子甲者大形之子丁者小形之而甲丑者大形之股夘丁者小形之股也与若股与股故子甲比子丁若丑甲与夘丁】而甲丁即两正之总【甲丁为子甲子丁之总亦即为甲丑夘丁之总】辰子即两正之较【以子丁减子甲其较辰子是辰子为子甲子丁之较亦即为甲丑夘丁之较】平分甲丁半之于酉则酉丁为半总酉子为半较其比例同也【全与全若半与半故甲丁与辰子为两正之总与较则半之而为酉丁与酉子亦必若两正之总与较】
于是作午戊切员线【引平分线丙酉至己分甲己丁弧于己自己作午戊线与己丙为十字垂线即此线为切员线】与甲丁平行引诸线至其上【引丙甲至午引丙丁至戊引丙辰割庚防至未引丙夘割辛防至壬】则午戊切线上比例与甲丁通等而正之比例在切线矣【先以甲丁与辰子当两正之总与较今午戊与未壬亦可当两正之总与较则先以酉丁与酉子为半总半较者今亦以己戊与己壬为半总半较矣】故曰用切线实用正也【切线与正所以能同比例者以有通作之合也】问三较连乗之理曰亦句股术也以句股为比例而以三率之理转换之则用法最精之处也故三较连乗即得容员半径上方乗半总之积
假如甲乙丙三角形甲丙邉
一百五十甲乙邉一百二十
二乙丙邉一百一十二术以
半总一百九十二较各邉得
甲丙之较四十二甲乙之较
七十乙丙之较八十三较连
乗得数二十三万五千二百
即容员半径自乗又乗半总
之积也
置三较连乗数以半总除之得数【一千二百二十五】平方开之得容员半径【三十五】倍之得容员径【七十】
置三较连乗数以半总乗之得数【四千五百一十五万八千四百】平方开之得三角形积【六千七百二十】
若如常法求得中长线【一百二十】以乗乙丙底而半之所得积数亦同
然则何以见其为句股比例曰试从形心如法作线分为六句股形【形心即容员心】又引甲丙邉至夘使夘丙如乙戊引甲乙邉至辰使乙辰如己丙则甲夘甲辰并半总【六小句股形之句各于其两相同者而取其一即成半总】而丙夘为甲丙邉
之较【即乙戊或乙辛】乙辰为甲乙邉
之较【即己丙或辛丙】甲己为乙丙邉
之较【己丙同辛丙又丙夘同乙辛则夘己同乙丙而
甲己为其较若用辰戊以当乙丙则甲戊为较亦同】又
从夘作夘壬十字垂线至壬
【此线与丁己员半径平行】引甲丁分角线出形外遇于壬成甲夘壬大句股形与甲己丁小句股之比例等【从辰作辰壬线成甲辰壬大句股与甲戊丁小句股为比例亦同】术为以丁己比壬夘若甲己与甲夘也次以丁己自乗方为一率以丁己乗壬夘之长方为次率则其比例仍若甲己三率与甲夘四率也【乗之者并丁己故所乗之丁己与壬夘比例不变也】
以数明之甲己八十甲夘一百九十二为二倍四分比例丁己三十五壬夘八十四亦二倍四分比例丁己自乗一千二百二十五丁己乗壬夘二千九百四十亦二倍四分比例故曰比例等
又移辛防至癸截丙癸如丙夘则乙癸亦如乙辰引丙夘至午使夘午同乙辰【亦同乙癸】引乙辰至未使辰未同丙夘【亦同丙癸】则午丙及未乙并同乙丙又作丙壬乙壬午壬未壬四线成午丙壬及乙未壬及乙丙壬各三角形皆相等【丙夘壬句股形与未辰壬等则丙壬必等未壬又午夘壬句股形与乙辰壬等则午壬等乙壬而午丙壬及乙未壬两三角形必等矣其乙丙壬三角形既以乙丙与两三角形同
底又同用丙壬乙壬两亦不得不等】于是自
癸作癸壬垂线【夘壬辰壬并垂线故癸壬
亦必垂线】成丙癸壬句股形与丙
夘壬形等即成癸丙夘壬四
邉形与丁己丙辛小四邉形
为相似形【夘与癸俱方角而小形之己与辛亦方】
【角则大形之丙角与壬角合之亦两方角也而小形之丙角原为大形丙角之外角合之亦两方角也则小形之丙角与大形之壬角等而小形之丁角亦与大形之丙角等是大小两形之四角俱等而为相似形】则丁己丙句股形与丙夘壬形亦相似而比例等【大小两四邉形各均剖其半以成句股则其相似之比例不变全与全若半与半也】术为以丁己比己丙若丙夘与夘壬也
一 丁己
二 己丙
三 丙卯 即甲丙之较戊乙
四 卯壬
凡三率法中二三相乗一四相乗其积皆等则己丙乗丙卯之积即丁己乗卯壬之积可通用也先定以丁己自乗比丁己乗卯壬若甲己与甲卯今以三率之理通之为以丁己自乗比己丙乗丙卯亦若甲己与甲卯
一 丁己自乗方 即容员半径自乗
二 己丙乗丙卯长方 即甲乙之较乗甲丙之数
三 甲己即乙丙之较
四 甲卯即半总
复以三率之理转换用之则三较连乗之积【以己丙较乗戊乙较为二率又以甲己较为三率乗之是二三相乗即三较连乗】即容员半径自乗方乗半总之积也【以丁己半径自乗为首率以甲卯半总为四率乗之是一四相乗也凡一四相乗必与二三相乗之积等】
以数明之丁己【三十五】卯壬【八十四】相乗得二千九百四十己丙【七十】丙卯【四十二】相乗亦二千九百四十故可通用
己丙乗丙卯【二千九百四十】又以甲己【八十】乗之得二十三万五千二百丁己自乗【一千二百二十五】又以甲卯【一百九十二】乗之亦二十三万五千二百故可通用
问三较之术可以求角乎曰可其所求角皆先得半角即锐钝通为一术矣
术曰以三边各减半总得较各以所求角对边之较乗半总为法以余两较各与半径全数相乗又自相乗为实法除实得数平方开之为半角切线捡表得度倍之为所求角
假如甲乙丙三角形甲丙边
七十五甲乙边五十六乙丙
边六十一与半总九十六各
相减得甲丙之较二十一甲
乙之较四十乙丙之较三十
五
今求乙角术以乙角所对边
甲丙之较【二一】乗半总【九六】得数
【二○一六】为法以余两较【甲乙较四○乙
丙较三五】各乗半径全数又自相
乗得数【一四○○○○○○○○○○○○】为
实法除实得数【六九四四四四四四四四】平方开之得数【八三三三三】为半
角切线捡表【三十九度四十八分一十九秒】倍之得乙角【七十九度三十六分三十八秒】
次求丙角术以丙角所对边甲乙之较【四○】乗半总得数【三八四○】为法余两较【甲丙二一乙丙三五】各乗半径全数又自相乗得数【七三五○○○○○○○○○○】为实法除实得数【一九一四○六二五○○】平方开之得半角切线【四三七五○】捡表【二十三度三十七分五十二秒半】倍之得丙角【四十七度一十五分四十五秒】
次求甲角术以甲角所对邉乙丙之较【三五】乗半总得数【三三六○】为法余两较【甲丙二一甲乙四○】各乗半径全数又自相乗得数【八四○○○○○○○○○○○】为实法除实得数【二五○○○○○○○○】平方开之得半角切线【五○○○○】捡表【二十六度三十三分五十三秒】倍之得甲角【五十三度○七分四十六秒】
问前条用三较连乗今只用一较为除法何也曰前条求总积故三较连乗今有専求之角故以对邉之较为法也然则用对邉何也曰对邉之较在所求角之两旁为所分小句股形之句今求半角切线故以此小句为法也
如求乙半角则所用者角旁小句股【心戊乙或心丁乙】其句【乙戊或乙丁】并二十一即对邉甲丙之较也术为以乙戊比心戊若半径与乙角【小形之角即半角也】之切线
其与半总相乗何也曰将以半
总除之又以小形句【即对邉之较】除
之今以两除法【一半总一对邉之较即小形句】相乗然后除之变两次除为一
次除也【古谓之异除同除】
用两次除亦有说乎曰前条三较连乗必以半总除之而得容员半径之方幂今欲以方幂为用故亦以半总除也然则又何以对邉之较除曰非但以较除也乃以较之幂除也何以言之曰原法三较连乗为实今只以两较乗是省一乗也既省一对邉之较乗又以对邉之较除之是以较除两次也即如以较自乗之幂除之矣余两较相乗先又各乗半径何也曰此三率之精理也凡线与线相乗除所得者线也幂与幂相乗除所得者幂也先既定乙戊句为首率心戊股【即容员半径】为次率半径为三率乙角切线为四率而今无心戊之数惟三较连乗中有心戊【即容员半径】自乗之幂【即三较连乗半总除之之数】故变四率并为幂以乙戊句幂为首率【即对邉之较除两次】心戊股幂为次率【即半总除连乗数】半径之幂为三率【即半径自乗】得半角切线之幂为四率【即分形之乙角】
一 乙戊今用乙戊自乗
二 心戊心戊自乗
三 半径半径自乗
四 乙角切线切线自乗
故得数开方即成切线
又术
以三较连乗半总除之开方为中垂线【即容员半径】以半径全数乗之为实各以所求角对边之较除之即得半角切线
一 乙戊【乙角对边之较】 丙戊【丙角对边之较】 甲己【甲角对边之较】二 心戊中垂线 心戊中垂线 心己中垂线【亦即心戊】三 半径全数半径全数半径全数四 乙半角切线 丙半角切縁 甲半角切线
此即用前图可解乃本法也
论曰常法三边求角倘遇钝角必于得角之后又加审焉以钝角与外角同一八线也今所得者既为半角则无此疑实为求角之防法
补遗
问以邉求角【句股第二术】因和较乗除而知正角乃定其为句股形何也曰古法句较乗句和开方得股今大邉【壬丁】与小邉【癸丁】以和较相乗为实癸壬邉为法除之而仍得癸壬是适合开方之积也则大邉小邉之和较即句之和较而癸为正角成句股形矣【凡句股形为大邉而对正角今丁壬邉最大即也故所对之癸角为正角】
试再以丁壬与壬癸之和较求之
如法用丁壬壬癸相加得和【一百九十
六丈】相减得较【一十六丈】较乗和【三千一百三十
六丈】为实丁癸【五十六丈】为法除之亦仍
得五
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