五十六丈何则股较乗和亦
开方得句故也
然则句股和较之法又安从生曰生于割圜
试以丁壬为半径作戊丁丙己圜 全径二百一十二 半径一百○六 乙丁正九十【即癸壬股】 乙壬余
五十六【即癸丁句】 丙乙正矢五
十【即句较】 乙庚大矢一百六十
二【即句和】 正矢乗大矢得数八
千一百开方得正【即句和乗较开方
得股】
然则此八千一百者既为正矢大矢相乗之积又为正自乗之积故以正自乗为实而正矢除之可以得大矢大矢除之亦得正矢【即乙丁股自乗为实而以句较丙乙除之得乙庚为句和若以句和除之亦得句较】
更之则正矢乗大矢为实以正除之仍得正矣【即句较丙乙乗句和乙庚为实以乙丁股为法除之而仍复得股】
论曰句股形在平圜内其半径恒为若正余则为句为股可以互用故其理亦可互明【以丁壬及丁癸二邉取和较求壬癸邉为句求股以丁壬及壬癸二邉取和较求丁癸邉为股求句一而已矣】
问数则合矣其理云何曰仍句股术也
如上图于圜径两端【如丙如庚】各作通线至正【丁乙】之锐
【如庚乙丙乙】成丙乙庚大句股形又
因中有正成大小两句股形
【乙丁庚为大形乙丙丁为小形】而相似【以乙丁线分正
角为两则小形乙角为大形乙角之余而与庚角等即大形乙
角亦与小形丙角等故两形相似】则乙丁正
既为小形之股又为大形之句其比例为丙丁【小形句】与乙丁【小形股】若乙丁【大形句】与丁庚【大形股】也故正矢【丁丙】乗大矢【丁庚】与正【乙丁】自乗等积【丙庚全径为正所分其一丁丙正矢为小形之句而乙丁正为其股其一丁庚大矢为大形之股而乙丁正为其句】
一 丁丙正矢 小形句凡二率三率相乗与一二 乙丁正 小形股四相乗等积故乙丁自三 乙丁正 大形句乗即与丁丙丁庚相乗四 丁庚大矢 大形股等积也
论曰凡割圜算法専恃句股古法西法所同也故论句股者必以割圜而论割圜者仍以句股如根株华实之相须乃本法非旁证也
或疑切线分外角以正为比例恐不可施于钝角作此明之
甲丙乙钝角形先有丙角及丙甲丙乙二邉求余角一率丁乙【邉总】二率癸乙【邉较】三率己戊【半外角切线】四率壬己【半较角切线】
论曰试作壬丙线与乙甲平行分外角为两则壬丙丁即乙角其正卯丁又甲丙壬即甲角其正甲丑以两句股【丑子甲卯子丁】相似之故能令两正【丑甲卯丁】之比例移于通以成和较【丑甲与卯丁既若子甲与子丁则丁甲即两正之和辰子即两正之较】而半外角半较角之算以生【半外角为和半较角为较并与两正之和较同比例即与两邉之和较同比例】并如锐角
又论曰此所分大角为钝角故甲丑正作于形外然虽在形外而引分角线至丑适与之防即能成丑子甲句股形与卯子丁相似而生比例
【丙乙甲形先有丙角求余角 法为邉总丁乙与邉较乙癸若半外角切线戊己与半较角切线未己此亦因所分为钝角故卯丁正在形外 又大邉为半径故乙癸较亦在形外而丁乙为和余并同前】
【丙甲乙形先有丙角求余角 法为邉总丁乙与邉较乙癸若半外角切线己戊与半较角切线己壬 此因先得钝角故所分之内反无钝角而正所作之小句股并在外角之内同锐角法矣】
【丙甲乙形先得丙角及丙甲句乙丙如法作丙壬线与乙甲股平行分外角为两则句和丁乙与句较癸乙若半外角切线己戊与半较角切线己壬 此以丙甲为半径作外角弧而即用丙甲为正知所得为正角】
【甲乙丙形先得丙角求余角 如法作丙庚线与乙甲句平行次截辛丁如庚甲作辛丙线分外角为两则小角之正卯丁大角之正即丙甲而成两句股相似为切线比例 法为句和丁乙与句较乙癸若半外角切线己戊与半较角切线己壬 此以丙甲为半径作外角弧而即用丙甲为正知辛丙甲为正角而丁辛同庚甲即辛丙甲同丁丙庚又即同丙乙甲而乙为正角矣以乙正角减外角余为甲角】
论曰右并以先不知其为句股形故求之而得正角凡正角之弧九十度别无正而即以半径全数为正得此明之
【甲乙丙形先有正角求余角 法为句股和丁乙与句股较癸乙若半外角切线戊己与半较角切线己壬】论曰此因先得者为正角故其外角亦九十度而半外角四十五度之切线即同半径全数余并同前
又论曰句股形求角本易不须外角而外角之用得此益明
【以大邉为半径作外角弧分角线丙未与次大邉平行邉总乙丁与邉较乙癸若半外角切线戊己与半较角切线壬己】
【以次大邉为半径作外角弧分角线丙未与小邉乙甲平行大邉总丁癸与邉较乙癸若半外角切线己戊与半较角切线己壬】
问平三角形以一邉为半径得三正比例不识大邉亦可以为半径乎【小邉次邉为半径已具前条故云】曰可
如乙丙丁钝角形引乙丁至辰如
乙丙大邉而用为半径以丁为心
作丑辰亥半弧从辰作辰午为
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