丁
钝角正又作丁斗半径与乙丙
平行则斗牛为丙角正又截女
丑弧如辰斗作女丁半径则女亢
为乙角正合而观之丁角正【辰午】最大故对邉乙丙亦大丙角正【斗牛】居次故对邉乙丁亦居次乙角正【女亢】最小故对邉丁丙亦小
又问若此则三邉任用其一皆可为半径而取正是已然此乃同径异角之比例也若以三邉为三正为股则同角异邉之比例也两比例之根不同何以相通曰相通之理自具图中乃正理非旁证也试于前图用乙丁次邉为其股乙癸与斗牛平行而等则丙角
正也又截酉丁如丁丙小邉为
其股酉壬与女亢平行而等则
乙角正也又辰丁大邉为【即乙
丙】其股辰午原为丁大角正也
于是三邉并为三对角之正
并为股成同角相似之句股形而
比例皆等可以相求矣
一大邉【乙丙即辰丁】一丁角正【辰午】
二丁角正【辰午】二大邉乙丙
三次邉乙丁 小邉【丁丙即酉丁】三丙角正【乙癸】乙角正【酉壬】四丙角正【乙癸】乙角正【酉壬】四次邉乙丁 小邉丁丙此如先得大邉【乙丙即辰丁】与所对大角【丁】故用辰午丁大句股形为法求余二句股也【乙癸丁酉壬丁】皆同用丁角而形相似故法可相求其实三正皆大邉为半径所得故其理相通未有理不相通而法可相求者故曰皆正理非旁证也
又试于乙丙丁形【或钝角或鋭角同理】以丁丙小邉为半径作房箕壁象弧【以乙为心】如上法取三正【以尾壁弧为丁角度其正尾虚又箕壁弧为丙角度其正箕危又戍壁弧为乙角度其正戍申】成同径异角之比例又如法用三邉为三正为股【乙戍即丁丙小邉配乙角正戍申原如与
股又本形乙丁次邉为则丁甲为股与箕危平行而等
丙角正也又引乙丁至子成子乙即乙丙大邉以为
则子寅为股与尾虚平行而等丁角正也】则并
为相似之句股形而比例等
一小邉丁丙【即戍乙】
二【乙角正】戍申
三大邉乙丙【即乙子】 次邉丁乙
四【丁角正】子寅【即尾 丙角虚正】丁甲【即箕危】
此如先得小邉【丁丙】与所对小角【乙】故以戍申乙小句股形为法求两大句股也【丁甲乙子寅乙】皆同用乙角而形相似又试以乙丁次邉为半径作象限如前【以丙为心】取三正【张娄为丁角弧度张井其正氐娄为丙角弧度氐参其正室娄为乙角弧度室奎其正】成同径
异角之比例又仍用三邉为三正
为股【引丁丙至翌与大邉乙丙等成翌丙其股翌胃与张井
平行而等丁角正也又乙丁次邉成氐丙其股氐参原为丙角正
又丁丙小邉为其股丁柳与室奎平行而等乙角正也】即复
成相似之句股形而比例等
一次邉乙丁【即氐丙】
二【丙角正】氐参
三大邉乙丙【即翌丙】 小邉丁丙
四【丁角正】张井【即翌 乙角胃正】丁柳【即室奎】
此如先得次邉【乙丁】及所对丙角故以氐参丙句股为法求大小二句股也【求翌胃丙为以小求大求丁柳丙为以大求小】皆同用丙角而比例等
问员内三角形以对弧为角倍度设有钝角小邉何以取之【或问内原设锐角两邉并大于半径故云】曰法当引小邉截大邉作角之通【如图乙甲丙钝角形在平员内以各角切员而乙甲邉小于半径则引乙甲出员周之外乃以甲角为心平员心丁为界作子丁丑弧截引长邉于子截大邉于丑则丑甲子甲并半径与丁甲等而丑子为
通】又平分对邉作两通【从员心作
丁乙丁丙两半径截乙戊丙员周为甲角对邉所乗之弧而半
之于戊作乙戊丙戊二线成两通】则此两通
自相等又并与丑子通等夫
子丁丑弧甲角之本度也丙戊
弧乙戊弧皆对弧之半度也而今乃相等【通等者弧度亦等】是甲角之度适得对弧乙戊丙之半而乙戊丙对弧为甲角之倍度矣
厯算全书卷五十三
钦定四库全书
厯算全书卷五十四
宣城梅文鼎撰
三角法举要卷五
测量【三角用法算例已具兹则举髙深广逺以徴诸实事亦与算例互相补备也】
一测髙
一测逺
一测斜坡
一测深
附隔水量田
附解测量全义
三角测髙第一术
自平测髙
假如有塔不知其髙距三十丈立表一丈用象限仪测得髙二十六度三十四分弱依切线术求得塔髙一十六丈
一半径一○○○○○
二戊角切线 五○○○○
三距塔根【丙乙即戊丁】 三十丈
四塔顶髙【甲丁 是截算表端以上】 十五丈
加戊丙表一丈【即丁乙】共得塔髙十六丈【甲乙】
凡用象限仪以垂线作角与用指尺同理【指尺即闚衡亦曰闚管亦曰闚筩】若戊丙表立于髙所当更加立处之髙以为塔髙
省算法从表根丙平安象限
以一邉指塔根乙一邉指癸
乃顺丙癸直线行至癸得三
十丈与丙乙等复于癸平安
象限作癸角与戊角等邉指
丙尺指壬则壬丙逺即甲丁之髙【亦加丁乙为塔髙】
论曰癸角同戊角丙癸同丙乙丙
与乙并正角则两句股形等立面
与平面一也
又术自丙向癸却行以象限平安
邉指丙尺指乙求作戊之余角得
己丙之距即同甲丁之髙
又省算法用有细分矩度自戊数至癸令其分如丙乙
之距【或两倍三倍】从癸数壬癸直线之
分即甲丁之距也【先以二分为丈或三分为丈今
亦同之】
用矩度以垂线作角其用亦同
三角测髙第二术
平面则不知逺之髙法用重测
假如有山顶欲测其髙而不知所距之逺依术立二表相距一丈二尺用象限仪测得髙六十度十九分退测后表得五十八度三十七分查其两余切线以相减得
较数为法表距乗半径为实算
得山髙三十一丈
一 余切线较○○四○○○
二 半径一○○○○○
三 表距戊己 一丈二尺
四 山髙甲丁 三十丈
加表一丈共三十一丈
省算法用矩度假令先测指线
交于辛后测指线交于庚成辛
庚戊三角形法于两指线中间
以两测表距【即戊己】变为分如壬
癸小线引长之至丙即丙戊所当测髙
论曰此即古人重表法也或隔水量山或于城外测城内之山并同
三角测髙第三术
从髙测髙 又谓之因逺测髙
假如人在山颠欲知此山之髙但知山左有桥离山半里用象限测桥得逺度一十八度二十六分强依切线法求得山髙一里半
一 甲角切线 半径【一○○○○○】二 半径 甲角余切【三○○○二八】三 桥逺【戊丁】 一百八十步
四 山髙【甲丁】 五百四十步【○五尺】省算法用矩度作壬癸线以当
戊丁则己壬当甲丁
三角测髙第四术
从髙测不知逺之髙 法用重测
假如人在山上欲知本山之髙然又无可防之逺但山有楼或塔量得去山二十一丈以象限仪指定一处于楼下测得五十五度二十六分又于楼上测得五十三度五十分用余切线求得山髙三百四十四丈五尺
一 两余切较 四二
二 下一测余切 六八九
三 楼髙【两测之距】 二十一丈
四 山髙 三百四十四
丈五尺
省算法用矩度上测交庚下测
交辛成辛己庚三角形法于两
指线中间以上下两测之距变
为分如壬癸小线引长之至丙
即壬丙当所测本山之髙
三角测髙第五术
若山上无两髙可测则先测其【但山上有两所可以并见此物即可测矣】
甲乙为山上两所【不拘平斜但取直线】任
指一处如戊于甲于乙用噐两
测之成甲乙戊形此形有甲乙
两角又有甲乙之距为两角一
邉可求甲戊邉法为戊角之正
与甲乙邉若乙角之正与甲戊
再用甲戊丁句股形为半径与甲戊若甲角余与甲丁即山之高也
三角测髙第六术
借两逺测本山之髙
有山不知其髙亦无距山之逺但山前有大树从此树向山而行相去一百八十五丈又有一树人在山上可见两树如一直线即于山上以象限仪测此二树一测逺树四十三度三十二分一测近树三十度○七分用切线较得本山髙五百丈
一 切线较三七○○○
二 半径 一○○○○○
三 两逺之较 一百八十五丈
四 本山髙五百丈
省算作壬癸小线当两逺之距【己戊】而丙甲当本山髙【甲丁】
三角测髙第七术
用山之前后两逺测髙
甲为山颠可见戊己两树其树
与山参相直【如山南树直正子北树直正午】而
不知其距但山外有路与此树
平行为庚辛其长三里【如两树正南北
此路亦自南向正北行】即借庚辛之距为
两树之距以两切线并为法求之
先从甲测巳得甲角一十七度○四分又从甲测戊得甲角三十四度三十四分法为两切线并与己戊若半径与甲丁也
一率两切线并【○九九六○○】二率半径【一○○○○○】三率己戊即庚辛【三里】求得四率甲丁【三里○四步又三之一强】
三角测髙第八术
测山上之两髙
甲山上有塔如乙欲测其髙如
乙甲之距于戊安仪噐测乙测
甲得其两戊角之度【一乙戊丁二甲戊丁】各取其切线相减得较法为半
径比切线较若戊丁与乙甲
省算法数戊丙之分以当戊丁作壬癸丙小线则壬癸之分即当乙甲
用矩度亦同
三角测髙第九术
隔水测两髙之横距
有甲乙两髙在水外欲测其相
距之逺任于丙用仪噐以邉向
丁窥筩指甲得甲丙丁角【一百二十
五度】又指乙得乙丙丁角【五十度】次
依丙丁直线行至丁【得一百步】再用
仪噐以邉向丙窥筩指甲得甲丁丙角【三十九度】又指乙得乙丁丙角【一百零八度】又甲丁乙角【六十九度】得三角形三【一甲丁丙二乙丁丙三甲丁乙】
今算甲丁丙形有丁丙邉丁丙二角求甲丁邉
一率甲角【一十六度】正【二七五六四】二率丁丙【一百步】三率丙角【一百二十五度】正【八一九一五】求得四率甲丁邉【二百九十七步】
次乙丁丙形有丁丙邉丙丁二角求乙丁邉
一率乙角【二十二度】正【三七四六一】二率丁丙邉【一百步】三率丙角【五十度】正【七六六○四】求得四率乙丁邉【二百○四步】
末乙丁甲形有甲丁邉【二百九十七步】乙丁邉【二百○四步】丁角【六十九度】先求甲角
一率两邉之总【五百○一步】二率两邉之较【九十三步】三率半外角【五十五度半】切线【一四五五○一】求得四率半较角切线【二七○○九】查表得一十五度○七分弱以减半外角得甲角四十度二十三分强
次求甲乙邉
一率甲角正【六四七九○】二率乙丁邉【二百○四步】三率丁角正【九三三五九】求得四率甲乙邉二百九十四步弱
论曰此所测甲丁及乙丁皆斜距也或甲乙两髙并在一山之上于山麓测之或甲乙分居两峯于两峯间平地测之或甲在水之东乙在水之西于一岸测之并同若用有度数之指尺并可用省算之法
三角测髙第十术
隔水测两髙之直距
有两髙如乙与甲于戊于庚测
之
先以乙庚戊形求乙庚斜距次
以甲庚戊形求甲庚斜距末以
乙甲庚形【有乙庚邉甲庚邉及庚角】求乙甲邉即所求
三角测髙第十一术
若山之髙颠为次髙所掩则用逓测
山前后左右地势不同则用环
测环测者从髙测下与测深同
太髙之山则用屡测
癸极髙为甲次髙所掩则先测
甲复从甲测癸谓之逓测
乙丁与子丑居癸山之下为地
平而各不等则从癸四面测之如测癸辛
【打 印】 【来源：读书之家-dushuzhijia.com】
