长濶相差法是先有巳未较数故以上法反用之求得丙丑和得丙丑亦得甲乙与甲丙矣
四题
与句股较求句股
法曰自乗倍之较自乗用减倍数余开方得句股和于是和加较半之得长股和减较半之得短句
论曰甲乙丙句股形甲乙句也乙丁句上方也乙丙股也丙戊股上方也两方并共为上方辛壬亦句上方
庚已亦股上方两方并亦共为上
方此即自乗倍之之数也而两句
方两股方并为丙己大方则中间重
叠庚戊方矣此何方乎曰戊子即句股较也庚戊方即较上方也减之而重叠者去矣所存者为句股和上方矣故开之得丙丑为句股和也
又法曰自乗内减较自乗余半之以较为长濶相差法求之得短句加较得长股
论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也巳子较也己丑较上方也两方相减余壬辛午未四形半之余午未二
形而午形又即戊形则是余未戊二形也此未戊二形者句股矩内形也故以巳子较用长濶相差法求之得子丙短句句加较得巳丙长股
五题
股与句较求句
法曰股自乗内减较自乗余半之以较为法除之得句句加较得
论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也甲巳较也甲戊较上方也庚甲辛磬折形股自乗数也内减甲戊较上
方所余丙戊戊壬两形即为句与句较矩内形者二矣取其一如丙戊形以戊己较除之得己丙句【或不用折半倍较为法除之亦同】
又法曰股自乗以较为法除之得句和于是加较折半得减较折半得句
论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也丙己亦句也丁戊句上方也所余庚甲辛 折形即股自乗数也而壬辛形与戊丙形等即壬己矩形亦股自乗数也以甲巳较除之得甲壬为句和也
又法曰股自乗较自乗相并倍较为法除之得减较得句
论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也丁己为句上方即戊甲辛磬折形为股上方矣又己丙矩与庚壬矩等
即甲辛子磬折形亦股上方也加甲子较上方共得辛丑矩形其庚辛边即是倍较
六题
句与股较求股
法同五题
七题
与句股和求句股
法曰自乗倍之内减句股和自乗余开方得句股较于是较加和半之得长股较减和半之得短句
论曰甲乙丙句股形丙丁句股和也丁子和上方也丁午未子两句上方丙丑壬巳两股上方此即自乗倍之之数
也以较丁子和上方则其中重叠一壬丑方矣而此方之边即是句股较
又法曰句股和自乗内减自乗余半之以句股和用长濶相和法求之得句股
论曰丙丁为句股和丁巳为和上方午乙壬磬折形即上方两方相减余午丑壬磬折形分为午丑及丑壬两形形
之两边即句股
八题
股与句和求句
法曰句和自乗内减股自乗余半之以句和除之得句用减句和得【或不用折半倍句和除之亦同】
论曰甲乙丙句股形甲丁为句和甲巳为和上方又甲午为上方甲子为句上方即未午壬磬折形为股自乗而子丙矩与午辛矩等即戊辛矩形亦股自乗也于和方中减之所存者为未丁及戊己两矩形矣形之一边如甲丁即句和其一邉如甲未即句
又法曰股自乗得数以句和除之得句较于是用加句和半之得用减句和半之得句
论曰甲乙丙句股形甲丁句和也甲戊上方也戊己句上方也即午甲未磬折形为股自乗矣而卯巳矩与午丁
矩等即甲子矩形亦股自乗矣形之甲丁边即句和丁子边即句较
又法曰句和自乗股自乗相并倍和为法除之得减和得句
论曰甲丁为句和甲戊为和自乗
戊丑为句今试依庚戊矩作丁卯矩
即卯甲丑磬折形亦和自乗矣又甲
巳为上方未壬为句上方即未己壬磬折形为股自乗矣而壬子矩与子丑矩等即未丑矩亦股自乗矣然此犹在和自乗数中也今另加一股自乗如丑卯矩并
前卯甲丑磬折形共成一庚癸矩形
即为两自乗相并之数形之甲癸邉
即句和之倍形之甲庚边即是
也
九题
句与股和求股
法同八题
十题
句较股较求句股
法曰先以两较相减得即为句股较次以两较各自乗相并内减句股较自乗余开方得和较【和句股和也】于是加股较得句加句较得股以句较加句或以股较加股得
论曰甲乙丙句股形甲丙也甲巳即股也巳丙股较也甲壬即句也壬丙句较也壬己句股较也今试引甲壬句至丁令甲丁为句股和即丙丁为和较也次作甲戊为和上方午未为句较上方午子为股较上方【即庚辰方】两较上方相并共为午未辰磬折形内减
未子句股较上方余辰午癸磬折形
即戊午和较上方何则试观丑午
已磬折形句上方也子戊形亦句上
方也今于丑午已磬折形中减丑申及辛巳两矩形即是于子戊形中减卯子亥磬折形也然则所余之辰午癸磬折形非即戊午方乎
又法曰两较相乗倍之开方亦得
和较以下同前法
论曰甲乙丙句股形试引甲丙至丁
得甲丁为句股和甲戊为和上方【甲未股未丁句】丁子己子句也丁辛己壬也子辛子壬句较也未子亥子股也未申亥卯也子申子卯股较也然则卯辛与申壬两矩形即是两较相乘倍之之数也此两矩形者即戊午和较上方【丙丁为和较】何则未申亥磬折形句实也子戊方形亦句实也今试于未午亥磬折形减辛丙庚亥两矩形【辛未及亥壬皆是和较】及子午方即是于戊子方中减癸子丑磬折形也然则卯辛与申壬两矩形非戊午方乎
十一题
句股较句较求句股【句短股长看此题】
法曰先以两较相减得即为股较次以两较各自乗相减余为实倍股较为法用长濶相差法求之得句句加句股较得股句加句较得
论曰甲乙丙句股形丙乙股丙戊句
丙巳戊乙句股较戊己句较乙
巳股较乙丁亦为句丙丁为句股
和丙庚为和上方辛壬为句股较上方辛子为句较上方两较上方相减余丑子午磬折形夫乙子卯磬折形句实也壬庚方亦句实也今于壬庚方中作未庚未申两矩形与己丑寅卯两矩形等即所余壬申形与丑
子午磬折形等矣于是依壬申形作
壬亥形此形壬酉为长壬癸为濶与
壬辰等即辰未未酉为股较之倍
为长濶之差
按此法句股较句较相减得股较即三较皆备矣十题第一法句较股较相减得句股较即三较亦皆备矣既皆备三较则法可互用特以就题立法则法固各有攸属耳
十二题
句股较股较求句股【股短句长看此题】
法同十一题
十三题
句和股和求句股
法曰两和各自乗相并两和相减即为句股较自乗用减相并数余开方为和和【和也句股和也和和与句股和相并也】于是内减句和得股内减股和得句内减句股得
论曰甲乙丙形甲乙股也丁乙股
和也乙午股和上方也乙丙
句也丙子句和也丙未句和
上方也甲丙也丙丑股也丑巳
句也甲己和和也甲壬和和
上方也乙午丙未两方并较甲壬
方则两方多一句股较自乗之数何则试观甲壬方中股句三方即乙午丙末两方中句股三方也甲壬方中股矩二句矩二即乙午丙未两方中股矩二句矩二也无或异也所异者惟甲壬方中余句股矩二与乙午丙未两方中余方一则方一与句股
矩二其较为句股较上方何则试
观另图甲丙也甲丁上方也
甲乙股也乙丙勾也甲乙丙形句
股矩形之半也而丙巳丁丁子丑
丑午甲三形皆与甲乙丙形等共
四形即得句股矩之二也中余乙巳子午方即句股较上方然则乙午丙未两方并较甲壬方不多一句股较上方乎故于两方中减之即得甲壬方也
又法曰两和相乗倍之开方得
和和以下同前法
论曰甲乙丙形乙丁股和也丁
午句和也乙午两和矩内形也丙子句和也丙辛股和也丙未两和矩内形也甲丙也丙丑股也丑
巳句也甲己和和也甲壬和
和上方也乙午丙未两矩形与甲
壬方形等者两矩形中有两方
甲壬形中有方一股方一句方
一亦即两方也两矩形中有股
矩二句矩二句股矩二甲壬形亦有股矩二句矩二句股矩二也然则乙午丙未两矩形不与甲壬方形等乎
十四题
句股和句和求句股
法曰先以两和相减得即为股较次以两和各自乗相减余为实倍股较为法依长濶相差法求之得句句减句股和得股句减句和得
论曰甲乙丙形甲丁句和也甲戊句和上方也巳丁句股和也子戊句股和上方也两和之较为甲巳两方之较
为壬甲丑磬折形此形中午甲未磬折形句实也癸戊方形亦句实也夫癸戊方形与壬甲丑磬折形其余为辛未午丁两矩形今试作癸寅寅申两矩形与之等即戊申矩形与壬甲丑磬折形等矣此戊申矩形戊庚为濶即句与庚癸等癸卯卯申为倍数为长濶之差
十五题
句股和股和求句股
法同十四题
十六题
句股形中求容方
先论曰凡于句股形中依句股两边作方形或矩形则作形之外所余之角形二自相似亦与元形相似如图甲乙丙元形作壬丁乙子方形则此形之外所余甲丁壬及壬子丙两角形自相似何则谓甲丁与壬子相似丁壬与子丙相似也若
作壬丁乙子矩形亦然又此两形之各两边与元形之两边相似何则谓甲丁壬子两边与甲乙边相似丁壬子丙两邉与乙丙边相似也于是遂生求容方之法如左【独不能生求容矩之法者以容方则甲丁丁壬两邉即甲乙邉壬子子丙两邉即乙丙邉也若容矩则否】
法曰句股相乗为实并句股为法除之得方边
论曰甲乙股乙丙句相乗得甲丙矩即未午矩矩之甲
午边甲乙股乙午即句乙子即方
边何则甲丙为甲丙矩形之对
角线亦为甲壬壬丙矩形之对角线则甲乙丙与甲丑丙甲丁壬与甲未壬壬子丙与壬亥丙各角形自相等今于甲乙丙甲丑丙相等之两形中各减去相等之角形所余之乙壬方与壬丑方必等次于两方各加一同用之子亥矩则乙亥矩与子丑矩亦必等而子午矩与乙亥矩等亦即与子丑矩等然则甲丙矩不与未午矩等乎
又法曰句自乗为实并句股为法除之得余句用减句余即方边
论曰甲乙丙句股形乙丙句自乗
得乙丁方即未已矩形形之戊丙
即股丙巳即句丙子即余句乙子即方边何则丑丁形即子巳形也壬乙形即壬戊形也然则乙丁方即未巳矩也
十七题
句股形中求容圆
法曰句股相乗倍之为实句股共为法除之得容圆径【或句股相乗为实句股共为法除之得容员之半径 或句股相乗半之为实句股并而半之为法除之得容圆之半径】
论曰试于形之三边截取己子未
三防令乙子与乙巳等甲巳与甲
未等丙未与丙子等次于已子未
三防各作己丁未丁子丁三线为
形三边之垂线必相遇于丁而相
等何则试先就己甲未丁四边形论之甲巳甲未两边等己未两角皆正即巳丁未丁两线必等依显未丁与子丁两线子丁与巳丁两线亦必各等然则丁即圆心三线即圆之半径矣果何术以求之乎曰试作甲丁丙丁乙丁三对角线平分甲乙丙三角及丁角因平分三个四边形为六个三边形各两相等次引乙丙至壬令丙壬与甲已等则乙壬线为甲乙丙三边之半何则乙子者乙子乙巳之半丙子者丙子丙未之半丙壬者甲未甲巳之半然则乙壬者甲乙丙三边之半矣次引长巳丁线至亥令己亥与乙壬等必相与为平行次作壬亥丙午两线与子丁线等而相与为平行末作丙亥对角线则乙亥矩形与甲乙丙元形等何则乙巳丁子方形在元形之内丙子丁角形亦在元形之内丁午丙角形虽不全在元形之内然即丙未丁形而倒置之凑合丙子丁形而成子午矩形者也至于壬午矩形全在元形之外然亦即甲巳丁甲未丁两形颠倒凑合而成者也然则乙亥矩形与甲乙丙元形等矣于是以句股相乗半之得甲乙丙元形即乙亥矩形以乙壬三边之半分之得子丁为圆半径或以三邉之全分元形之倍亦
得圆之半径或三边之全分元形
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