相减开方得句股较于是用加和折半为股用减和折半为句
论曰甲乙丙形八倍之者即甲丙丙丁丁辛辛甲四矩形并也午戊为和戊壬为和上方内减四矩形并余子乙未丑
方开方得子乙为句股较
又法曰形倍之以句股和用长濶相和法求之得句句减和得股
论曰甲乙丙句股形倍之得乙巳
矩形甲乙股乙丙句并之为和今试
商得乙丙为句用减和余甲乙即股
又五题
句股形中求从直角【句股相联处】至作垂线【与相交为直角】分元形为两句股形
法曰上方句上方并之内减股上方余半之以除之得数为上作垂线之处于是以所得数与句依句求股法作垂线
论曰甲乙丙元形求从直角作乙午线为甲丙之垂线甲丙也甲丑上方也乙丙句也乙己句上方也
甲乙股也乙辛股上方也夫乙辛方中之子未方乙午
线上方也乙巳方中之丁申方亦
乙午线上方也即两方等矣又乙
辛方中之子辛未磬折形甲丑方
中之午壬方也今于甲丑乙巳两
方中减乙辛方即于两方中减丁申方与午壬方也两方中所存者为申巳丁磬折形午丑壬磬折形矣而申巳丁磬折形又与丑卯方等半之即得午丑矩故以丙丑除之得丙午【若乙辛方与甲丑方并内减乙巳方余半之以除之得甲午同上论按此法不但可施诸句股直角形凡鋭角钝角形俱可用此法求垂线】
又法曰句股相并得数相减得数两得数相乗以除之得数用减余半之得数为上作垂线之处
如图甲乙丙形甲乙股乙丙句相
加得甲丁相减得甲巳甲丁与甲
巳相乗得数以甲丙除之得甲
子用减余丙子半之于午即午防为上作垂线之处一论曰甲丁偕甲已矩内形及乙巳上方形并与甲乙上方形等如图壬丁矩甲丁偕甲巳矩内形也【甲壬与甲巳等】辛甲未磬折形即壬丁矩也【壬未矩与辛丁矩等】未辛方
乙巳上方也并之得甲戊方即甲乙上方
二论丁已甲线贯圜心于乙庚甲线切圜周于庚乙庚甲为直角夫丁甲偕巳甲矩内形与甲庚线上方形等何则乙庚庚甲两线上方形与乙甲线上方等而丁甲
偕巳甲矩内形及乙已上方并亦与
乙甲线上方等【一论之图可见】此两率者每
减一相等之乙庚乙巳两线上方则
甲丁偕甲巳矩内形与甲庚线上方形必等
三论曰丙甲线不贯圜心于乙庚甲
线切圜周于庚乙庚甲直角形乙午
甲亦直角形两形合一乙甲则乙
庚庚甲两线上方并与乙午午甲两线上方并必等又乙午子直角形则乙午午子两线上方并与乙子线上方等夫午甲上方形中原有【一论之图可见】丙甲偕子甲矩内
形及午子上方形今于乙甲上方形
中减乙庚上方形即减去同乙庚之
乙子上方同乙子之乙午午子两线
上方然则所余之丙甲偕子甲矩形与甲庚上方形必等四论曰前甲丁偕甲巳矩内形与庚甲上方等【二论之图】甲丙偕甲子矩内形与庚甲上方亦等【三论之图】则两矩形自
相等而等角防之各两边彼此互相
视何则试引戊子壬己两线相遇于
丑而成甲丑形夫甲戊与甲丑两形
同在戊丑丙己两平行线内等髙则两形之比例若其底甲丙与甲己之比例依显甲壬与甲丑两形之比例亦若其底甲丁与甲子之比例夫甲戊与甲壬两矩形元等则甲戊形与甲丑形即甲壬形与甲丑形也即甲丙与甲己之比例亦即甲丁与甲子之比例也更之则甲丙与甲丁之比例亦若甲己与甲子之比例
于是以甲丙为一率甲丁为二率
甲己为三率二三率相乗一率除
之得四率甲子也既得甲子用减
甲丙余丙子半之于午得午防为上作垂线之处何则试作乙子线与乙丙同为圜之半径即等而成乙丙子两边等角形则午点折丙子之半必是直角【此法不但可施诸句股形凡鋭角钝角形俱可用此法求垂线】
右既得乙午垂线即分甲乙丙原形为甲午乙乙午丙两句股形此两形者自相似亦与元形相似
又六题
句股形中求依一边容方
法曰先依又五题法求形中垂线次以与垂线相乗得数并与垂线为法除之得方边
论曰甲乙丙元形乙丁为垂线求依甲乙作方边如子丑而成子午方形夫甲乙丙元形与己乙午分形相似何则以己午与甲丙平行故也次观己午与未丁等即乙未
与己午并是乙丁垂线也然则乙丁偕甲丙并而与甲丙若乙未偕己午并【即乙丁垂线】而与己午
又法曰垂线自乗并与垂线为法除之得数用减垂线得方边
论曰乙丁偕甲丙并【一率】而与乙丁【二率】若乙未偕己午并【三率即乙丁】而与乙未【四率】于是以乙未减乙丁余未丁即方边【此法不但可施诸句股形凡鋭角钝角形俱可用】
又七题
句股形中求分作两边等三角形二
法曰半之即是两边等之一边
论曰甲乙丙形半于丁于是以丁为心甲丙为界作圜必切乙角得乙丁与
半等因成乙甲丁乙丙丁两形皆两边等三角形也
又八题
斜三角形中求作中垂线分元形为两句股形
法具又五题
又九题
斜三角形中求积
先分别是锐角形或是钝角形【若是正角形法以句股相乗半之即得】法曰大中小三边用小中两边依句股求法求之若求得数小于大边即是鋭角形大则是钝角形
鋭角形求积法曰任取一角依又五题求中垂线【鋭角形求中垂线任取一角皆在形内】分元形为两句股形次以两分形句与股各相乗半之得积
论曰甲乙丙鋭角形先求得乙丁中垂线分为甲丁乙乙丁丙两句股形次以
甲丁与丁乙丁乙与丁丙各相乗得丁戊与丁己两矩形各半之得甲乙丙形之积【或以乙丁因甲丙之半亦得或以甲丙因乙丁之半亦得】钝角形求积法【于钝角至对边作垂线则垂线在形内法同前】于鋭角至对边作垂线则垂线在形外而引对边出形外凑之曰大边上方内减中小两边上方余半之以中边除之得引凑数与小边为股求句得垂线【或以小邉除半数得引凑数与中邉为句求股亦得垂线】既得垂线则与引凑数凑成一小句股形又以垂线与引凑数偕元形之边凑成一大句股形大小两句股形相减得所求
论曰甲乙丙钝角形【乙为钝角】求从丙鋭角作丙丁垂线而引乙丁线以凑之【从甲角作垂线亦在形外兹不备述】夫甲丙上方元包
丙丁与甲丁两边上方今于甲丙上
大方中减乙甲乙丙上两方即是减
丙庚与子午两方为乙丙上方减甲
子方为甲乙上方也而所存者为丁
子子辛两矩形矣半之为子丁一矩
形以中边乙子除之得乙丁为引数
也丙丁乙为小句股形丙丁甲为大
句股形两形相减得甲乙丙斜三角形积
又法曰三边数并而半之以每边数各减之得三较数三较连乗【任以二较相乗得数又以一较乗之】得数又以半数乗之得数开方得积
如后图甲乙丙元形求其积
一图一论曰壬乙矩形与元形等
论同前十七题所论乙亥矩
形与甲乙丙元形等
二论曰丁心方与乙戊相乗又与乙戊相乗开方与乙
二图壬矩形等如图子壬二丑壬三相
乗得六为子丑矩形今以子壬二
自乗得四为子卯方即壬寅边以
丑壬三乗之得十二为丑寅矩形又以三乗之得三十六为辰寅矩形即午丑方形故开方得辰午六与子丑
三图矩形等
三论曰丁心偕戊庚矩形与乙丁相乗其所得数与丁心方偕乙戊相乗所得
数等何则乙丁心形与乙戊庚形相似之形也戊庚与丁心若乙戊与乙丁则戊庚偕丁心矩形【即庚未矩形】与丁心方【即己戊方形】亦若乙戊与乙丁也
四论曰丙丁偕丙戊矩形与丁心偕戊庚矩形等【就一图观之】何则心丁丙形与丙戊庚形相似之形也夫庚乙线平分丁乙甲角庚戊为丙戊之垂线则戊为直角次依丙戊线截取丙卯线作卯庚线为丙卯之垂线则卯为直角此庚乙庚戊庚卯三线必相交于庚防三线既相
交于庚点则丙庚线必平分
卯丙戊角而卯丙戊角又即
己心丁角因得心丁丙形与
丙戊庚形为相似之形也两形既相似则丁心与丁丙若丙戊与戊庚也
解庚乙庚卯庚戊三线必相交于庚点所以然之故庚心乙界作圈 次依甲乙丙形作丙丁辛形 次引乙丁线至癸引辛甲线至壬乙庚线平分丙乙甲角则
庚防必是圈心戊防折乙癸线之
半则戊防必直角 卯防折壬辛
线之半则卯防必直角 乙癸与
乙己等 乙丙辛丙为大边甲丙
丁丙为中边甲壬丁癸即小边
总论曰二论丁心方与乙戊相乗又与乙戊相乗所得数开方与乙壬矩形等夫乙戊半数也亦既得之矣次欲求丁心与乙戊相乗而丁心不可得 三论丁心戊庚矩形与乙丁相乗所得数与丁心方偕乙戊相乗所得数等夫乙丁三较之一也则又得之矣次欲求丁心与戊庚两线而两线又不可得 四论丁丙偕丙戊矩形与丁心偕戊庚矩形等夫丁丙丙戊三较之二也则尽得之矣 今法于四论用丁丙偕丙戊二较相乗于三论用乙丁一较乗之于二论用乙戊半数乗之开方得数与乙壬矩形等
又十题
斜三角形中求容圆
法曰先依又九题求积次取三边数并而半之用除积得员之半径【或置二较连乗数以半数除之得开方亦得圆半径】
论曰先依又九题求得乙壬矩
形为甲乙丙元形积次以乙戊
除之【即三边数之半也】得丁心即圆之半径【若以三边之全除元形之倍亦得圆半径若以三边之全除元形之四倍得圆全径】
又十一题
斜三角形中求容方
法同又六题
又十二题
斜三角形有三和数求三边
法曰三和数相减得三较数各置三较数各以非所较之边加减之各半之其加而半者得大边或中边减而半者得小边或中边
如图戊己庚为三和数【戊为大中两和数己为大小两和数庚为小中两和数】甲为戊庚两和之较乙为己庚两和之较丙为戊己两和之较于是置甲较数以己为非所较之边加而半之得大边减而半之得小边置乙较数以戊为非所较之边加而半之得大边减而
半之得中边置丙较数以庚为非所较之边加而半之得中边减而半之得小边
论曰戊者大中两和数也加减用乙者乙为己庚两和之较庚者小中两和数己者大小两和数此两和数中皆有相等之小数而余为大中两数矣此乙所以爲大中两数之较也余仿此
又十三题
句股测髙【测逺测广测深同法】
法曰先准地平【地平者必令所测地面自所测之处至髙之根如水之平也】次立表与地平为垂线退后立望竿令所测髙表尖竿头叅相直末自竿至髙根量得若干逺然后以表竿差与逺相乗而以表竿相去若干除之加竿长若干得所求之髙如图丙乙髙乙甲逺丁甲竿己戊表己子为表竿差戊甲为表竿相去夫丁子己形与丁辛丙形相似故丁子与己子若丁辛
与丙辛也
又十四题
句股重测髙逺【测广测深同法】
法曰若无髙根之可量者则用重测法谓一次立表竿令表竿与髙叅相直二次立表竿令表竿与髙防相直【两表两竿要各相等又要或前或后立成一直线】然后以表竿之较乗两表相去而以两表竿相去之较除之加表髙若干得所求之髙又以前表竿相去乗两表相去而以两表竿相去之较除之加前表竿相去得所求之逺
如图甲乙髙乙丙逺各不知数用重
表测之 丁子为前表己丙为望竿
子丙为表竿相去甲丁己三防叅相
直午壬为后表丑辛为望竿壬辛为
表竿相去甲午丑三防叅相直丁亥为表竿之较子壬为两表相去未辛为两表竿相去之较己上用以测髙借丁卯【元是表竿相去】为表竿相差借卯己【元是表竿相差】为表竿
相去辰戊亦借为表竿相差戊癸亦借为表竿相去甲辰癸三防亦叅相直丁辰亦借为两表相去与丁午等即庚癸亦为两表竿相去之较与辛未等以上用以测逺解庚癸线与辛未线必等所以然之故
如图甲乙矩内形甲乙为对角线丙丁及戊己两线与
矩形之边为平行而交角线
于庚 次任作辛壬线亦交
角线于庚 次截甲癸线与
甲辛线等作癸子线亦交角
线于庚则子乙线与壬乙线必等
论曰试作午丑及午未两线与甲辛
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