法曰以乙丙分甲乙得数减一余
用归甲乙得之
解曰乙丙与甲乙原若丁戊与甲
丁故以乙丙分甲乙与以丁戊分甲丁所得之分数等然则减一者虽似于甲乙分数内减乙丙之一分实于甲丁分数内减丁戊之一分也【即乙丁之一分】故以减余分甲乙而得
【勿庵又法句股相乗为实句股较为法除之亦即得所引乙丁与乙戊同数】
句股形截股法
即依正角作方形于形内 又即截大形成小形甲丁戊句股形内今欲截甲丁股于乙甲戊于丙而
令乙丁与乙丙等
法曰以丁戊分甲丁得数加一共
用归甲丁得之 【勿庵又法句股相乗为实句股
和为法除之亦即得所截乙丁与丁丙同数即句股容方法】
解曰丁戊与甲丁原若乙丙与甲乙故以丁戊分甲丁与以乙丙分甲乙所得之分数等然则加一者虽似于甲丁分数外加丁戊之一分实于甲乙分数外加乙丙之一分也【即乙丁之一分】故以加共分甲丁而得
若欲令丙戊与丁戊等或欲令乙丙与丙戊等依法推之按后一法即句股容方也原法简易今鲍燕翼先生所设殊新要其理亦相通耳【勿庵补例】
设甲乙股十六 乙丙句八 今引甲乙股长出至丁
而令引出之乙丁股分与所当之丁
戊句等问若干答曰乙丁十六
法以乙丙句【八】甲乙股【十六】相乗得【一百】
【廿八】为实句股相减得较【八】为法除之得乙丁引出一十六与丁戊句相等 若如鲍法以句【八】除股【十六】得【二】内减去一仍余一用为法以除股【十六】仍得【十六】为乙丁又设甲乙股【四十八】乙丙句【十二】依法引出乙丁股【十六】与丁戊句等
法以句十二乗股【四十八】得积【五百
七十六】为实 句减股得较【三十六】为
法除之得【十六】为乙丁
或以句【十二】除股【四十八】得数【四】内减【一】余【三】为法以除股【四十八】亦得【十六】为乙丁
又设甲乙股【六】乙丙句【四】依法引出乙丁股【十二】与丁戊句等法以句乗股得【二十四】为实 句股较【二】为法除之得【十二】为乙丁
或以句【四】除股【六】得【一半】内减一余【半】为法以除股【六】
亦得【十二】为乙丁
解曰半为除法则得倍数此畸零除
法也详别卷
又设甲乙股【三十】乙丙句【十二】依法引出乙丁股【二十】与丁戊句等
法以句乗股得【三百六十】为实句股较【十八】为法除之得乙丁【二十】
或以句【十二】除股【三十】得【二半】内减
一余【一半】为法以除股【三十】亦得乙
丁【二十】
解两法相同所以然之故 葢此是依句股正角【即乙角】作正方形于形之外也本法以句较为法除句股形倍积【即句股相乗】今不用句股较之本数而用其除过之句股较为法【以句除股则股内所原带句数及句股较数并为句所除而减去其一即减去除过之句也用减余为法即是用其除过之句股较为法也】故亦不用句股形之倍积而用其除过之倍积为实【倍即是句股相乗之数若以句除之必仍得股今径以股数受除即是用其除过之倍积为实也】法实并为除过之数则其理相同而得数亦同矣
以上补第一条之例
设甲丁戊形甲丁股【廿八】丁戊句【廿一】甲戊【三十五】欲截甲
丁股于乙截甲戊于丙而令所截
之乙丁与乙丙等问其数若干
答曰乙丁一十二
法以甲丁股【二十八】丁戊句【二十一】相乗得【五百八十八】为实并句股得和【四十九】为法除之得【一十二】为所截乙丁与乙丙截句等
如鲍法以句【二十一】除股【二十八】得一【又三之一】又外加一数共二【又三之一】为法【通作七】用以除股二十八【通作八十四】亦得【十二】为乙丁截股
设甲丁股【三百四十五】丁戊句【一百八十四】甲戊【三百九十一】欲截乙丁与乙丙等该若干 答曰一百二十
法以句【一百八十四】股【三百四十五】相乗得【六万三千四百八十】为实句股和【五百二十九】为法除之得所截乙丁【一百二十】与截句乙丙等
或以句【一百八十四】除股【三百四十五】得一【又八之七】又外加一共二【又八之七】通作【二十三】为法以股【三百四十五】通作【二千七百六十】为实法除实亦得【一百二十】为乙丁截股
解两法相同所以然之故 葢此是依句股形正角作方形于内【即句股容方】也本法以句股和为法除句股形倍积【即句股相乗】今不用句股和本数而用其除过之句股和为法【股被句除既变为除过之股而得数中之一其本数皆与句同今于得数又加一是又加一除过之句合之则共为除过之句股和矣】故即用股为实以当除过之倍积法与实并为除过之数则其理相同而得数亦同矣以上补第二条之例
按数度衍有在逺测正方形之算立破句名色不穏图亦不真今于此第一例中生二法补之
分角线至对边【亦系鲍法】
甲乙丙句股形 今平分乙方角作乙丁线至对边欲知丁防之所在
法曰先依句股求方求得己丁戊乙正方形
次用丁戊丙形或丁己甲形求得丁丙或甲丁即得
甲乙丙句股形 今平分乙鋭角作线至甲丙股欲知丁防所在
法以甲丙股乙丙句相乗得丙庚长方亦即乙辛长斜
方其辛戊小长斜方又即戊壬长斜
方取甲子癸小句股形补壬寅丑虚
句股形成甲寅长方此即句股相乗
实以句和除之也【甲乙为乙壬即句】得壬寅边
丙甲辛句股形中【即甲乙丙原设形】作甲卯垂线至丙辛【法另具】于是一率甲卯二率甲辛三率甲子四率甲癸【即丁己】成丁己乙戊四斜方形
次用丁戊丙形或丁己甲形依句求股求得丁丙或丁甲即得
按上鲍法此寅甲长方为句和除句股形倍积所得壬寅边必小于句股容方之边其内容丁己乙戊四斜方形之丁己边又必大于句股容方之边二者之间可以得容方边矣【容方邉除倍积得句股和以减句和得股较即其他可知】
求丁己线法 一率甲丙股 二率甲乙 三率壬寅 四率丁己【即壬丑】
甲乙丙鋭角形 求分乙角作线至甲丙边之丁防
法于形中求得辰丙垂线【丙辛甲形即甲乙丙
形故其垂线等】用丙长线乗乙丙所得即辛
乙长斜方形自此以下至成丁己乙
戊四斜方【并同前法】
次用比例法 一率甲乙 二率甲丙 三率丁戊四率得丁丙
或一率甲乙 二率甲丙 三率甲己 四率甲丁甲乙丙钝角形 法先从形外求得甲辰外垂线 引乙丙线与之相遇 次以甲辰垂线乗乙丙得乙辛长
斜方形 余同前法
甲乙丙钝角形 甲辰垂线在形外
与右图同法
鼎按若依几何六卷三题法甚防
句股容员
甲乙丙句股形 求容员径卯戌【即丁辛】
法于甲丙上截丁丙如句【乙丙】又截甲辛如股【乙甲】因得丁辛即容员之径
试依所截丁丙为句作戊丁丙句股形【自丁作之垂线至戊又引乙丙句遇于戊即成此形】又依所截甲辛为股作甲辛氐句股形【自辛作之垂线长出至氐引甲乙股遇于氐】又作戊戌房句股形【引戊丁股至房如之度自房作垂线至戌即成】乃自甲自戊各为分角线遇于己成十字则己即容员心也又引十字线透出而以甲己为度截之于癸于女乃自癸作线与丙戊平行至辰又自女作
辛氐及房戊之垂线穿而
过之与癸辰线遇于辰又
引氐辛线至癸引房戌线
至女得女辰女房癸辰癸
氐四线皆如甲丙女卯
女亢癸丑癸未四线皆如
甲乙股卯辰房亢丑氐辰未四线皆如乙丙句又成女卯辰女亢房癸未辰癸丑氐四句股形共八句股形纵横相叠并以容员心己防为心此同心八句股形各线相交成正方形二其一卯戌丑乙形依原形之句股而立其乙方角即原形之所有也其一丁辛亢未形依原形之而立即所谓和较也此两形者皆相等而其方边并与容员径等即容员径上之方幂也
然则何以又为和较试即以原论之甲丙上所截之丁丙即句也甲辛即股也句股相并即重叠此丁辛一边是句股和多于之数古人以和较为容员径葢谓此也八句股形即有相等之八每一上各有此重叠之线以成两四方形相等之八边可以观矣【因鲍图改作之彼原有八角形外小句股形辏成一等面八角形之论但图欠明显】
相似两句股并求简法
假如癸辛己大形癸壬乙小形其癸角等则为相似之两句股形今欲求两形之两句合线【两句者一为己辛大句一为壬乙小句即辛甲也则己甲为两句合线】
法以两【一癸己大一癸乙小】并之为三率以癸角之正【两癸
角等只用其一】为二率二三相
乗为实半径全数为法
实如法而一得四率己
甲即【己辛壬乙】两句之合
数
何以知之曰试引癸己
至丁截己丁如癸乙则丁癸即两合数也乃以癸角之正乗之半径【全】除之即得丁丙而丁戊即壬乙【以己丁即癸乙也亦即甲辛】戊丙即己辛【同在直线限内也】则所得丁丙亦即己甲矣
有句股和有求句求股【量法】乙甲句股和 丙甲
原法以甲为心作乙己卯
象限 又以丙甲半之
于丁以丁为心作甲戊丙
半圆
次于丙戊半员上任以辛为心丙为界作丙己小员屡试之令小员正切象限如己乃作己辛甲及辛丙二线则辛丙为句辛甲为股如所求按此法不误但己防正切处难真今别立法求己防
法曰自丁防作垂线分半圆于戊以戊为心用丙为界作丙己庚丑甲全员全员与象限相割于己从己向甲作直线割半员于辛乃作辛丙为句即辛甲为股合问如此则径得辛防不用屡试得数既易且真确矣论曰凡平员内作两通至员径两端必为句股而员径常为今既以丙甲为半员径则其辛丙与辛甲两通必句与股也而己辛甲线与乙甲等即句股和也今以辛为心作小员而其边正切己则己辛与丙辛等为小员之半径即等为句线矣于己甲句股和内截己辛为句则辛甲必为股故此法不误也
又论曰半员内所容句股形以半方形为最大【即甲戊丙也其余皆半长方形之句股故小】其句股和亦最大【丙戊句甲戊股相等其和甲戊庚为最大其余股长者句反甚小故其和皆小于甲戊庚】即上方幂之斜径也【甲未庚丙为上平方幂甲戊庚为其斜径】以此为象限之半径【如辰庚亥象限其半径辰甲及亥甲并与庚戊甲等】则能容上平方【如甲未庚丙平方必在辰庚亥象限内】又戊心所作平方外切之平圆亦能容上平方【此员以戊为心以平方四角为界其全径甲戊庚即平方之斜径也】三者相切于庚防惟相切不相割其余句股和并小【如乙甲和必小于辰丙】不能包平方之角即不能外切平员而与之相割矣【如乙甲和为半径作乙己卯象限不能包庚防即与平员相割如己】其自庚至丙并可为相割之己防而四十五度之句股具焉【八线表所列之句股只四十五度互相为正余句为正股即余也分言正则初度小而九十度最大也若合正余为和数则初度与九十度皆最小惟四十五度最大】己足以尽句股之变态矣【若过庚向末亦四十五度己防至此其和数反小而与前四十五度为正余】句股和之最大者以略小于上斜线而止【凡句股有和有较皆长方形之半非正半方也若半方形则有和无较可无用算非句股所设】其最小者以稍大于线而止【若同线即无句股】无有不割平圆故可以己防取之也
又论曰以方斜为半径作象限则能容平方以方斜为半径作半圆则能容方斜上平圆【如庚己丙甲未平圆其径甲戊庚方斜是即方斜上之平圆也若以甲戊庚半径作大半圆即能容之】凡半圆内所容之圆度每以两度当外周半圆之一度何则论度必以角惟在心之角一度为一度若在边之角则两度为一度【如辰庚亥半圆从甲心出两线一至庚一至辰作辰甲庚角其度辰庚四十五度是一度为一度也若庚己丙甲未圆从甲边出两线一遇戊至庚一至丙作庚甲丙角其度庚己丙象限只作四十五度是两度当一度以同用甲角故也】凖此论之则上半圆所作之戊甲丙角亦必四十五度矣【既同用甲角则戊辛丙象限亦两度当一度】若是则庚己丙之度与
戊辛丙等【并同用甲角以庚辰为度故也】而
己防所割之己丙弧及辛丙
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