之即句股和】 较和较较【相和半之为
相较半相较半之之为为句股较】
较和句较和【相和半之为】较和句和较【相和半之为股与句较或与句股较】
【相较半之为句股较】 相较恰尽
较和句较较【相和半之为股】较较句较和【相和半之为句与股较
相较半之为句较】 相较恰尽
较较句和较【相和半之为】较较句较较【相和半之为句
相较半之相较半之为句股较为股较】
句较和句和较【相和半之为】 句较和句较较【相和半之为句
相较半之相较半之为句股较为股较】
句和较句较较【相和半之为股】
【相较半之为句较】
厯算全书卷四十七
钦定四库全书
厯算全书卷四十八
宣城梅文鼎撰
句股阐微卷三
句股法解几何原本之根
句股羃与羃相等图
甲乙丙句股形 乙辛大方为羃 羃内兼有句股二羃
论曰试于羃作对角之乙
子线与甲丙股平行而等又
作丙丁对角线与甲乙句平
行与乙子线遇于子成十字
正角则丙子与甲乙句相等
成乙子丙句股形与甲乙丙句股形等又作辛癸及庚戊两线皆与丙丁等亦与乙子等而皆与甲丙股等又辛丁及癸庚及戊乙皆与丙子等即皆与甲乙句等则幂内所作四句股形皆与原设句股形等于是以丙丁辛形移作乙壬庚以癸庚辛形移作甲乙丙成甲丙
丁癸庚壬磬折形末引丁癸
至巳截成大小二方形则丙
巳方形即股幂癸壬小方即
句幂也
若先有丙巳股幂癸壬句幂
则联为磬折形而移乙壬庚
句股补于丙丁辛之位移甲乙丙句股补于癸庚辛之位即复成乙辛大方而为幂
又法
甲乙丙句股形 乙丙 其幂乙戊丁丙
甲丙股其幂甲壬辛丙 甲乙句其幂乙庚癸甲法于原形之甲正角作十字线分幂为两长方【一为丑子丁丙】凖股幂【一为丑子戊乙】凖句幂又引之至己又自庚癸自壬辛并引之至巳而成方角
次移甲丑丙句股补巳子丁虚形又移巳壬甲句股补丁辛丙虚形即成股幂而与丑子丁丙长方等积又移甲丑乙句股补己子戊虚形再移己卯戊句股补戊癸寅虚形又移戊卯甲癸形补癸寅乙庚虚形即成句幂而与丑子戊乙等积
解几何二卷第五题 第六题
甲丙为 丁丙为句
丁甲句和 乙丁句
较【丁甲同丁壬甲癸并同】
庚辛戊己幂也 己句
幂也 戊庚辛较乗和之
长方幂也
移戊补戊移庚辛补庚辛而幂内净多一己形即句幂也故幂内有和较相乗之长方又有句幂也论曰凡大小方形相减则其余必为两形边和较相乗之长方是故己形者句自乗之小方也戊庚辛句较乗句和之长方也合之成戊庚辛巳形即自乗之大方矣
几何二卷第五题以倍为甲乙原线以甲丙为平分之线以甲丁和乙丁较为任分之两线以丁丙句为分内线其理一也
第六题以子丁倍句为原线以丁丙句为平分线以句较乙丁【即子甲】为引増线以丁甲句和为全线其理亦同
以数明之 甲丙八 丁丙句五 乙丁较三 丁甲和十三 和较相乗三十九 句自乗二十五 以句幂加和较长方共六十四与甲丙幂等
又论曰用股和较亦同
解几何二卷第七题
甲丁股幂【即甲乙元线上方】子戊
句幂【即甲乙方内所作已辛方乃任分线甲丙
上方也】并之成癸寅幂【即所
谓两直角方形并也】
幂内有戊甲股【即甲乙原线】戊癸句【即任分之甲丙线】相乗长
方形二【即己甲长方及丁辛长方亦即甲乙偕甲丙矩形二也】及句股较乙丙上方一【即壬丙小方亦即所谓分余线上方也】
何以明之曰试于戊癸线引长至丑令丑癸如已丁较【即乙丙】遂作子丑小长方【与丁庚等】以益亥癸成亥丑长方【与丁辛等亦与已甲等】
次于癸寅内作甲酉寅辰午未癸卯四线皆与甲乙股等 自然有甲卯寅酉午辰癸未四线皆与戊癸句等又自有未卯卯酉等句股较与乙丙较等 即显
幂内有句股形四较幂一也
试于鼏内移午辰寅句股补癸戊甲之位成戊卯长方【与己甲等】又移癸未午句股补甲戌寅之位成戌酉长方【与亥丑等】而较幂未酉小方元与壬丙等又子丑小长方元与丁庚等
合而观之岂非丁甲股幂及子戊句幂并即与己甲亥丑两长方及壬丙小方等积乎
解几何二卷第八题
庚甲乙句股形 取丁乙如
庚甲句则丁甲为句股和
和之幂为丁己大方【即元线甲乙偕
初分线上直角方也】于大方周线取戊
丑己子皆与庚甲句等即丑
丁戊子己庚皆与甲乙股等【即甲乙元线也句线则初分线】
次作丑癸庚辛乙壬子卯四线皆与外周四股线平行而等
自有丑壬子癸庚卯乙辛四线皆与外周四句线平行而等
又有壬癸癸卯卯辛辛壬四句股较线自相等【即分余线也】丁已和幂内有长方形四皆句乗股之积【即元线偕初分线矩内形四也】又有句股较自乗幂一即分余线上方形也
解几何二卷第九题
甲丙为股 丁丙为句
丁甲句股和 乙丁句股
较 壬庚为句幂 辛丙
为股幂 丑丁较幂 丁
癸和幂 戊巳线上方为
句幂之倍 戊甲上方为
斜线上方倍于元方图股幂之倍并和较幂倍大于句幂股幂之并古法倍幂内减句股和幂开方得较若减较幂亦开方得和即其理也
论曰己丁较上方与丁
甲和上方并之即己甲
上方也戊巳线上方与
戊甲线上方并亦即巳
甲上方也 而戊巳为句幂斜线戊甲为股幂斜线凡斜线上方形倍于原方故较幂并和幂亦倍大于句幂股幂之并也而句幂股幂并之即幂古人所以用倍幂也
此第十题与前题同法 甲
丙即句 丁丙即股 丁甲
全线即和 丁乙引増线即
较
准前论丁庚【即丁乙】较上方幂与丁甲和上方幂并成庚甲线上幂而庚甲幂内原兼有丙丁股【即巳戊亦即己庚】及丙甲句二幂【己壬为股幂辛丙为句幂】之倍数【庚戊为股斜线其幂必倍于股幂戊甲为句斜线其幂必倍于句幂】故庚甲幂内能兼戊庚及戊甲二幂
丙丙线皆也丙丙方幂
也甲丙之长者皆股也【亦即丙丁
丁】甲丙之短者皆句也【亦即丙丁】丁丁线句股较也丁丁小方
较幂也甲丙甲句股和也甲甲大方和幂也
丁甲长方皆句股相乗即倍句股形积也
合而观之则幂内有句股积四及较幂一也和幂内有句股积八及较幂一也 若倍幂则有句股积八及较幂二也故以和幂减倍幂得较幂 若以较幂减之亦得和幂矣
以句股法解理分中末线之根
即几何二卷第十一题 六卷第三十题四卷第十第十一题
古法句较 癸庚 其鼏庚乙 丙癸
乘句和开 句 其鼏丙戊
方得股之图 引庚甲至壬使甲壬如丙
癸句则庚壬为句和丙庚
原为句较 以较乗和成
丙壬长方 长方内截甲丁
小长方与戊辛等 其余庚辛
合而观之是鼏内兼有句较乗和之积及句鼏也
夫鼏内原有句股二鼏而今以句较乗和之积可代股鼏是句较乗和即同股鼏也
句和及股用法
及句较为有句和 有句较
连比例图 求股法以较乗和开方得股
或有股有句和求句求
法以股自乗为实以句
和除之得较以较减和
半之得句句加较得若
先有较以除股鼏亦得和矣
如图 丙戊丁句股形 丙丁与丁乙等【亦与丁庚等】丁戊句 亥戊为倍句 乙戊为句较与庚亥等戊庚为句和与亥乙等
亥巳为句股和乗句较之
积与戊癸等
丙戊股 其方鼏甲丙
准前论甲丙方与亥巳长方
等积【戊癸亦同】则庚戊和与丙戊股若丙戊股与戊乙较也一 句和 庚戊
二 股 丙戊
三 股 丙戊
四 句较 戊乙
以戊乙较减亥乙和余亥戊倍句折半为句【丁戊或丁亥】或戊乙较与丙戊股若丙戊股与庚戊和也
一 句股较 戊乙
二 股 丙戊
三 股 丙戊
四 句股和 庚戊
又论曰以二图合观之凡倍句加句较即句和以倍句减句和余即句较
此不论句小股大如前图或句大股小如后图并同此可以明倍句与句较必为句和之两分线故以句和为全线则其内兼有倍句及句较之两线矣但倍句有时而大于较有时而小于较故不能自为
连比例而必借股以通之
今于句和全线内取倍句如股则先以股线为和较之中率者今以如股之倍句当之而倍句原系句和全线之大分于是和与倍句之比例若倍句与较亦即为全与大分若大分与小分此理分中末线所由出也下文详之
丙戊线上取理分中末线
先以丙戊线命为股 以丙戊折半成丁戊命为句取丙丁与丁乙等则戊乙为句较
变股为倍句成 亥戊倍句与丙戊股等 以理分中末线图 加较成亥乙即句和
亥巳为和较相乗积与丙亥
股鼏等【丙亥为丙戊股之方即为亥戊倍句之方】准前论亥乙和与丙戊股
若丙戊股与戊乙较
今亥戊即丙戊则又为亥乙
和与亥戊倍句若亥戊倍句与戊乙较也
夫亥乙者全线也亥戊其大分戊乙其小分也合之则是全线与其大分若大分与其小分
论曰此以丙戊股线为理分中末之大分而求得其全线亥乙与其小分戊乙也而大分与小分之比例原若
理分中末线全线与大分故即可以丙戊
比例图大分为全线而以小分戊子
【即戊乙也】为大分则子丙自为小
分矣
以亥乙为全线【亥戊大分即丙戊亦即乙】
【甲 戊乙小分即戊子】
亥乙与乙甲【即亥戊大分】若亥戊与子戊也【即亥戊与戊乙】
理分中末线此用亥乙甲大句股比亥戊
相生不穷图子小句股
若丙戊为全线
则又戊子为大分【亦即子巳】子丙
为小分【亦即巳甲】为亥戊与戊子
【即丙戊与戊子】若子巳与巳甲也【即子戊与子丙】
此用亥戊子大句股比子巳甲小句股
亥戊与戊乙若戊子与子丙又相视之理也
又若子巳为全线
则子庚又为大分 庚巳又为小分
其法但于大分子巳内截取子庚如小分丙子作丙庚小方则戊子【即子巳】与子丙若子庚与庚巳
似此推之可至无穷
解几何三卷第二十七题
甲乙丙句股形 以乙丙句
折半于巳 作已戊线与股
平行平分甲丙于戊 又
作戊庚线与句平行平分甲
乙股于庚成巳庚长方此即半句乗半股为句股积之半也
凡句股形内依正角作长方惟此为大 若于形内别作长方皆小【皆不及句股半积也】
今仍作卯丁形则小于巳庚何以知之曰试作丑戊线与丙巳半句平行而等又作丑丙线与戊巳半股平行而等又引壬辰至寅引壬卯至午即显壬丑形与壬巳形等又乙辰原与巳寅等则以巳寅加壬丑而成丑午壬辰巳之磬折形即亦与卯丁形等矣夫磬折形在丑巳方形内而缺午辰之一角即相同磬折之卯丁形以较已庚半积方形亦缺戊未之一角也葢丑巳等巳庚而所缺之午辰小方亦等戊未也 准此言之即凡作长方于丙戊界内者皆小于巳庚半积形也
又作子癸形则亦小于巳庚何以知之曰试作戊乙对角线引之至酉即显癸未形与卯未形等即卯丁形与子癸形亦等而其小于巳庚形为所缺之戊未小方亦等矣 准此言之即凡作长方于甲戊界内者皆小于巳庚半积形也
又知句股内容方之积亦皆小于
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