曰如甲乙丙丁为面欲审其平即用直尺施于甲角绕面运转不碍不空全合直尺是平面也
引线章第六
有一短直线求平引长之
法曰如有甲乙线欲平引长之先以甲为心以乙为界画小半圜以乙为心任取一度于小半圜上下各作规界线为丙为丁次以丙丁为心任取一度向前作短界线相交为戊末引甲乙线至戊则得所求若欲
更引长仍依此法
平分直线章第七【法有二】
有有界之线求两平分之
第一法
如有甲乙线求两平分先以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半愈长愈凖向上向下各作一短界线次用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末用尺作丙丁直线即甲乙有
界之线两平分于戊矣
第二法
若所分之线下面无地可作短界线即于甲乙线上先画两短界线于丙次或开或收规度仍前从甲从乙向上又作两短界线于丁规度愈相逺画线愈凖末以丙丁二交用尺
如前画线则得所求
作垂线章第八【法有四】
有一直线任于一上求作垂线
第一法
甲乙直线任指一防于丙求丙上作垂线先于丙左右任用一度愈逺愈凖各截一界为丁为戊次以丁为心任用一度但须长于
丙丁线向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之两界线交处为己从己至丙以尺画线则得所求
第二法
于丙左右如上法截取丁与戊即任用一度以丁为心于丙上下方各作短界线次用元度以戊为心亦如之则上交为己下交为庚末作己庚直线视直线交于丙防即得所求若丙防在
甲乙端上则当暗引长甲乙线后如前作亦得
第三法
若直线甲端上求立垂线又甲防外无地可暗引线则先以甲乙原线上方任取一防为
丙以丙为心甲为界作大半圜圜界与甲乙线相遇为丁次自丁至丙依前法作直线引长之至戊为戊丁线戊丁与圜界相遇为己末自己至甲作直线即所求
第四法
若甲乙线所欲立垂线之防乃在线末甲界上甲外无余线可截则于甲乙线上任取一防为丙如前一二法于丙上立丁丙垂线次
以甲丙丁角两平分之【分法在后三卷第四章】为己丙线次以甲丙为度于丁丙垂线上截戊丙线又用元度以戊为心向己作短界线为庚末自庚至甲作直线得所求立垂线章第九【法有四】
有无界直线线外有一求自彼作垂线至直线上
第一法
如有甲乙无界直线直线外有丙防求自丙防作垂线至甲乙线先以丙为心向直线两处各作小半圜或两短界线为甲为乙次仍用一度以甲为心向丙防相望处作短界线
又以乙为心亦如之两线相交处为丁末自丙至丁作直线截甲乙线于戊则丙戊为垂线
第二法
于甲乙线上近甲或乙任取一防为心以丙为界作一圜界于丙防及相望处各稍引长之次于甲乙线上视前心或相望如前图或进或退如后图任移一为心以丙为界作一圜界与前圜交处得丁末自丙至丁作直线得丙戊垂线
第三法
若丙防垂于甲乙线之界不能于丙左右画圜如前二图又或不能暗引长甲乙线则当以甲为心于丙及相望处各作短界线于丙于丁又进以乙为心以丙为界仍相望作两短界线末从丙丁二交处作直线则得
所求
第四法
若甲乙线在面之邉且下无地可措规如前四图则当用前章第三法或以丙为心任指甲乙线上两为丁为戊次任取一度以丁为心向丙上作短界线次用元度以戊为心仍向丙上作短界线交于己末自己至丙作直线引长之至庚得所求又有便法在后平行线中
作平行线章第十【法有三】
一求作直线与原设直线平行
第一法
于甲求作直线与乙丙线平行先任作甲丁线与乙丙斜交次以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界稍长于戊己次取戊己圜线为度于庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛作直线即所求
第二法
先以甲为心于乙丙线近乙处任指一作短界线为丁次任用一度以丁为心向丙截取一分作短界线为戊又用丁戊元度以甲为心对甲平行作短界线为己次用甲丁
元度以戊为心对甲平行作短界线于己末自甲至己作直线即所求
注曰凡有不等度须一度用一规始元度不爽如一规而数易其度则元度永不复矣此丁先生秘法
注曰以上二法以甲防定逺近若无甲防任指所欲逺近为界可当甲防
第三法
此法比前法更简易即西本防何亦未载乃敝师伯先生所授如有甲乙线任逺近求作平行线近甲取心向上以所求逺近为度作小半圜次用元度近乙取心向上复作小半圜末以尺依半圜为界作直线即所求
注曰以上平行数法可推用作沿邉直线之垂线如有甲乙线求乙线界上作一垂线先以乙为心向甲任取一防为丙又用元度以丙为心向甲指一防为丁又以乙为心任取一度向上方作一短界线愈逺愈凖又以丁为心用元
度仍向上方作一短界线与前界线相交于戊次自戊至丙作垂线末以前作平行线法随用一法以丙乙为度作平行线正垂在乙防上即得所求
求分一直线任为若干平分章第十一【法有四】
凡造厯象数欲分直线为不等分不谙其法大费手力抑且不凖宜熟后法以便用
第一法
如甲乙线求五平分先从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作五平度为甲丁丁戊戊己己庚庚辛次作辛乙直线末用平行线法作丁壬戊癸己子庚丑四线皆与辛乙平行即壬癸子丑与甲乙为五平分
第二法
如甲乙线求五平分即从乙任作乙丙线为丙乙甲角次于乙丙任取一防为丁作丁戊线与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸线令小于
甲乙次从甲过癸作甲子线遇乙丙于子末从子作子壬子辛子庚子己四线各引长之而分甲乙于丑于寅于卯于辰为五平分
第三法
如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分次用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四线相聨即分甲乙于己于辰于卯于寅为五平分
第四法
此法极简极神可分百千不等之线与百千不等之分
先作一噐如丙丁戊己为平
行线任平分为若干格噐愈
大格愈宻其用愈广格毎分
作平行线相聨今欲分甲乙
为五平分即规取甲乙之度以一规髀任抵戊丙线上一规髀抵第五庚辛线上如不在庚辛者即渐移之至线界而止既至壬即戊壬之分为甲乙之分
又如有甲乙线求十七平分先以规取甲乙之度以一
规髀抵戊丙
线一处以一
规髀抵此噐
庚辛第十七
格为壬次从
戊至壬画一直线次取所过两格相距之度以此为凖分甲乙直线则得十七分矣或图小而所分者大欲广其用则逓倍之如图一尺欲分一丈为十九分须取一丈十分之一为一尺用前法为十九分后以尺逓十倍之则一丈己分为一百九十分矣毎十分作识如所求余以此推之
一直线求截所取之分章第十二【法有二】
第一法
如有甲乙直线求截取三分之一先从甲任作一甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命三分之平度如甲丁丁戊戊己为三分也次作乙己直线末作丁庚线与己乙平行即
甲庚为甲乙三分之一也
第二法
如甲乙直线求截取七分之三先以前章法分甲乙线为七分后取其三于庚则得所求如欲截取十分之七十四分之九等不均之数亦如之
有一直线求截各分如所设之分章第十三【一法】
法曰甲乙线求截各分如所设甲丙任分之丁戊者谓甲乙所分各分之比例若甲丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙两线相聨于甲任作丙甲乙角次作丙乙线相聨末从丁从戊作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己于庚若甲丙分于丁戊焉
有直线求两分之而两分之比例若所设两线之比例章第十四【一法】
法曰如甲乙线求两分之而两分之比例若所设丙与丁先从甲任作甲庚线为庚甲乙角次截取甲己与丙等己庚与丁等次作庚
乙线聨之末作己辛线与庚乙平行即分甲乙于辛而甲辛与辛乙之比例若丙与丁
有两直线求别作一线相与为连比例章第十五【法有二】
第一法
有甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例者任合两甲乙甲丙为甲角而甲乙与甲丙之比例若甲丙与所求他线也先于甲乙引长之为乙丁与甲丙等次作乙丙线相聨次从丁作
丁戊线与丙乙平行末于甲丙引长之遇于戊即丙戊为所求线【若以甲丙为前率仿此】
第二法
以甲乙乙丙两线聨作甲乙丙直角次以甲丙线聨之而甲乙引长之末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁即乙丁为所求
线
三直线求别作一线相与为断比例章第十六
法曰甲乙乙丙甲丁三直线求别作一线相与为断比例者谓甲丁与他线之比例若甲乙与乙丙也先以甲乙乙丙作直线为甲丙次以甲丁线合甲丙任作甲角次作丁乙线相聨次从丙作丙戊线与丁乙平行末自甲丁引长之遇丙戊于戊即丁戊为所求线
两直线求别作一线为连比例之中率章第十七法曰甲乙乙丙两直线求别作一线为中率者谓甲乙与他线之比例若他线与乙丙也先以两线作一直线为甲丙次以甲丙两平
分于戊次以戊为心甲丙为界作甲丁丙半圜末从乙至圜界作乙丁垂线即乙丁为甲乙乙丙之中率
新法筭书卷八十三
钦定四库全书
新法筭书卷八十四明 徐光启等 撰防何要法
总説
圜成于线线有二种为曲为直直线或单或众前卷已详之众线或三而成三角形或四而成方形或多而成诸不等形曲线或半或全半线有不等之用全线或成圜形或成卯形等角形及方形卯形详见后卷今先论圜形
界说章第一【十二则】
第一界
圆形于平地居一界之间为圜
第二界
外圆线为圜之界
第三界
圜之中处为圜心
第四界
自圜之界作一直线过中心至他界为圜径如上图甲
丁乙戊为圜界丙为心甲乙为径
第五界
凡直线切圜界过之而不与界交者为切线如上图甲乙丙线是也若先切圜界而引之入圜内则谓之交线如丁戊是也
第六界
凡两圜相切而不相交者为切圜相切而相入者为交圜加上图
第七界
凡直线形居他直线形内而此形之各角切他形之各邉为形内切形如上图丁戊己为甲乙丙形内切形
第八界
凡直线形居他直线形外而此形之各邉切他形之各角为形外切形如前图甲乙丙为丁戊己形外切形其余各形仿此二例
第九界
直线形之各角切圜之界为圜内切形如上图甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙是也圜之界切直线形之各角为形外切
圜同上图
第十界
直线形之各邉切圜之界为圜外切形如上甲乙丙形之三邉切圜于丁于己于戊是也
第十一界
一圜之界切直线形之各邉为形内切圜如前图
第十二界
一直线之两界各抵圜界为合圜线如上图之甲乙线
造规章第二【法有四】
圜形以至圆为凖至圆必出于规规必欲极凖极顺其用甚活乃堪造厯凡造规之法有四详列于后
第一法
先以铜或鐡范成二股上濶下窄至末而鋭近头小半截作凹凸状令可相合次以钉钉其圆头贵寛得宜任意可开收规下半截为规髀一规髀作墨池如首卷第三章法以适用凡欲造厯象必须备规其造式见后规图
第二法
凡规有三用一画虚线则须铅条当先以铜叶为管虚其中横开小路上套小铜圜可上下松以出入铅条末畧奓出以留小圜如下甲图一画墨线则当作墨路如前章法如下乙图一画铜板线须以纯钢为末如下丙图右三髀俱另作不相连本规其本规如前法造但截去一髀临截处长半寸许作一小箱状虚其中亦令方可受规髀柄如下图丁处箱面作旋螺用时任入一规髀以铜消息如旋螺者贯定之如下戊图则任意可画线而一规可具三用矣此为第二法如下图
第三法
造厯恒用规依比例法分线分圜或以大形移变小形或以小度移变大度其分法稍难今作一四髀规或铜或鐡畧如剪形上下作四规髀上短下长令上凖下度或半或三之一或十之一及种种不等则作线圜时或欲以大变小先以下髀取度次以上髀移度或欲以小变大先以上髀取度次以下髀移度则得所求其或半或三之一或十之一俱从髀之长短而分下愈长则度愈
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