角形章第五
如甲乙直线以甲为心或长或短用一度如前作短界线次以乙为心甲度长今用短度甲度短今用长度于甲乙不
等作短界线交处为丙从丙至甲至乙作两直线即所求
有直线角求两平分之章第六
如乙甲丙角求两平分之先于甲乙线
任截一分为甲丁次于甲丙线截甲戊
与甲丁等次或用元度或任取一度以
丁为心向乙丙间作一短界线次以戊
为心亦如之两线交处为己从甲至己
作直线即所求若向乙丙无地可作短
界线则宜仍以丁以戊为心向甲上作短界线为己从己至甲作直线即所求【如上图】
有直角求三平分之章第七
如甲乙丙直角求三平分之先任于一
边立平边角形为甲乙丁次分对直角
一边为两平分丁戊从此边对角作垂
线至乙即所求
有角任分为若干分章第八
如乙甲丙角欲分为四为八为十六等分则先分两分又各两分之得四又各两分之得八又各两分之得十六愈分愈倍如任欲分为几分如三五七九之类则先以甲为心向乙作一圜分次以规分圜分任作几何分末从所分度
至甲作直线即所求如上图
有三直线求作三角形其三边如所设三直线等章第九
如甲乙丙三线毎两线并大于一线任以一线为底以底之甲为心第【二三】线为度向上作短界线两界线交处为丙次
向下作丙甲丙乙两腰即所求
设一三角形求别作一形与之等章第十
以所设三角形之三边当甲乙丙三线以前法作之即所求或又用前所备三髀规以规形所设三角形度移于别处
即所求
一直线任于一防上求作一角如所设角等章第十一
如甲乙线上有丙防求作一角如所设丁戊己角等先于戊丁线任取一防为庚于戊己线任取一防为辛
自庚至辛作直线次以前法于甲乙线
上作丙壬癸角形与戊庚辛角等即所
求
有三角形求两平分之章第十二
如有甲乙丙三角形求两平分之任于
一边两平分之于丁向角作直线即所
求
凡角形任于一边任作一防求从分两形为两平分章第十三
有甲乙丙角形从丁防求两平分之先自丁至相对甲角
作甲丁直线次平分乙丙线于戊作戊
己线与甲丁平行末作己丁直线即分
本形为两平分
有三边直角形以两边求第三边长短之数章第十四
如甲乙丙三角形甲边直角先得甲乙甲丙两边长短之数如甲乙六甲丙八求乙丙边长短之数其甲乙甲丙上
所作两直角方形并旣与乙丙上所作
直角方形等【原本卷四十七】则甲乙之羃【自乗之数
曰羃】得三十六甲丙之羃得六十四并之
得百而乙丙之羃亦百百开方得十即
乙丙数十也又设先得甲乙乙丙如甲
乙六乙丙十而求甲丙之数其甲乙甲
丙上两直角方形并旣与乙丙上直角方形等则甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百百减三十六得甲丙之羃六十四六十四开方得八即甲丙八也求甲乙仿此
新法算书卷八十五
钦定四库全书
新法算书卷八十六明 徐光启等 撰几何要法
界説章第一【凡八则】
第一界
方形者四直线两纵两横相遇所成亦谓之四边形如上甲图
第二界
四边形之四线等而四直角者为直角方形如上甲图
第三界
四边两两相等而俱直角者为长直方形如上乙图
第四界
四边等但非直角者为斜方形如上丙图
第五界
四边两两相等但非直角者为长斜方形
如上丁图
第六界
已上方形四种谓之有法四边形四种之外他方形皆谓之无法四边形如上
戊图等本卷多以直方形为论为其多有用也
第七界
凡形毎两边有平行线为平行线方形如上已图
第八界
凡平行线方形若于两对角作一直线其直线为对角线又于两边纵横各作一平行线其两平行线与对角线交罗相遇即此形分为四平行线方形其两形有对角线者为角线方形其两形无对角线者为余方形如甲乙丙丁方形于丙乙两角作一线为对角线又依乙丁平行作戊巳线依甲乙平行作庚辛线其对角线与戊巳庚辛两线交罗相遇于壬即作大小四平行线方形矣则庚壬巳丙及戊壬辛
乙谓之角线方形而甲庚壬戊及壬己丁辛谓之余方形
审矩章第二
凡作方形必欲用矩故先论审矩法后论弃矩求方之法矩以两尺纵横而成然必成直角方准若稍出入必为鋭钝两角而不成矩今欲审直角先审两尺之棱如首卷第
一法后于他坚体上作半圜中画径线次以矩角倚半圜之界视二尺棱正切径线与圜相交处则矩准而可用矣若有出入则当更改或于坚体上作一直线更作一垂线四边作直角以一矩准四直角不爽则至准矣
一直线上求立直角方形章第三
如甲乙线上求立直角方形先于甲乙两界各立垂线为丁甲为丙乙皆与甲乙线等次作丁丙线相联即得所求
有直线形求作直角方形与之等章第四
甲直线无法四边形求作直角方形与之等先作乙丁形与甲等【本卷第五第六章】而直角次任用一边引长之如丁丙引之至己而丙己与乙丙等次以丁己两平分于庚其庚防或在丙防或在丙防之外若在丙即乙丁是直角方形与甲等矣若庚在丙外即以庚为
心丁己为界作丁辛己半圜末从乙丙线引长之遇圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等如上图丙辛壬癸
有三角形求作平行方形与之等而方形角又与所设角等章第五
设甲乙丙角形丁角求作平行方形与甲乙丙角形等而有丁角先分一边为两平分如乙丙边平分于戊次作丙戊己角与丁角等次自甲作直线与乙丙平行而与戊己线遇于己末自丙作直线与戊己平行为
丙庚而与甲己线遇于庚则得己戊丙庚平行方形与甲乙丙角形等而有丁角
有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角又与所设角等章第六
设甲乙丙五边形丁角求作平行方形与五边形等而有丁角先分五边形为甲乙丙三【三角】形次依前章法作戊己庚辛平行方形与甲等而有丁角次于戊辛己庚两平行线引长之作庚辛壬癸平行方形与
乙等而有丁角末复引前线作壬癸子丑平行方形与丙等而有丁角即此三形并为一平行方形与甲乙丙并形等而有丁角自五边以上可至无竆俱仿此法
有多直角方形求并作一直角方形与之等章第七
如五直角方形以甲乙丙丁戊为边任等不等求作一直角方形与五形等先作己庚辛直角而己庚线与甲等庚辛线与乙等次作己辛线旋作己辛壬直角而辛壬与丙等次作己壬线旋作己壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线
旋作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线而己子线上所作直角方形即所求
有平行方形求作三角形与之等而三角形角如所设角等章第八
如有甲乙丙丁平行方形戊角先作丁乙己角与戊等遇甲丙线于己次以乙丁线引长之为庚取丁庚度与乙丁等
末作己庚直线乙丙庚三角形与甲乙丙丁平行方形等而有戊角即所求
一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角又与所设角等章第九
设甲线乙角形丙角求于甲线上作平行方形与乙角形等而有丙角先依本卷第五章法作丁戊己庚
平行方形与乙角形等而戊己庚角与
丙角等次于庚己线引长之作己辛线
次作辛壬线与戊己平行次于丁戊引
长之与辛壬线遇于壬次自壬至己作
对角线引出之又自丁庚引长之与对
角线遇于癸次自癸作直线与庚辛平行又于壬辛引长之与癸线遇于子末于戊己引长之至癸子线得丑即己丑子辛平行方形如所求如欲即于甲线立形则先依本章法作己辛子丑方形次于甲线一界作寅角如辛己丑角等次取寅卯如己丑等末成平行方形即得所求
设不等两直角方形如一以甲为边一以乙为边求别作两直角方形自相等而并之又与元设两形并等章第十
先作丙戊线与甲等次作戊丙丁直角
而丙丁线与乙等次作戊丁线相联末
于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半
于直角己戊己丁两腰相遇于己而等
即己戊己丁两线上所作两直角方形自相等而并之又与丙戊丙丁上所作两直角方形等
两直线形不等求相等之较几何章第十一
甲与乙两直线形甲大于乙以乙减甲求较几何先任作丁丙己戊平行方形与甲等次于丙丁线上依丁角作丁
丙辛庚平行方形与乙等即得辛庚戊
己为相减之较矣
有圜求作一直角方形与之等章第十二
方圆圆方之法自古名贤究折而未准
吾师丁先生几何六卷之末设此神法
其法之用甚广今撮其要以推作方圆
圆方之法先设甲乙丙丁直角方形次
以乙为心以甲为界作甲丁限象任分
为若干度今姑分为九十度又分甲乙丙丁两线如前数为九十次自乙心至象限逐度皆作虚线次从甲乙丙丁两线对望作平行线其与限象线交处俱作次从甲作曲线贯诸防贯诸防之线则甲戊线为方圆圆方之根线而乙甲为边乙丁为底次自甲至戊作一直线若乙戊直线与所设欲方之圜半径等则甲乙线为所设圜限象之界线若圜半径长则于乙丁线上截乙己与半径等引长甲乙线作己庚与戊甲线平行庚至乙即长径圜限象之界线若圜半径短则于乙丁线上截乙辛与半径等作辛壬线与戊甲平行则壬至乙即短径圜限象之界线今有
子丑圜或大或小其半径与乙辛等先
作一寅卯直线立一辰己垂线次从己
起取己午午未各与乙壬等次取己申
与乙辛等次两平分申未于酉以酉为
心以申或未为界作半圜切垂线于辰
末取己辰作直角方形之一边则此方
形与所设圜等以此可推不特一方与一圜即方之一边线与圜一限象等方之半边线与圜半限象等
有直角方形求作一圜与之等章第十三
如有甲线为方之边先取一圜依前法
求其作方之线如前度得申己次作辰
申直线次截戊己如所设甲线等次自
戊作戊卯线与辰申平行末以己卯为
半径之度作一圜即得所求
推用一法
依两章方圆圆方之法可推任有直线形可作一圜与之等又任设一圜可作直线形与之等须先依前章法求多边直线形作一方形与之等次依本章法作一圜形与直角方形等则得一圜与所设直线形等若又有圜求作一三角形先依本章法作一方与所设圜等次依前法作三角形如所设方形等则所作三角形如原设圜等
新法算书卷八十六
钦定四库全书
新法算书卷八十七明 徐光启等 撰测量全义叙目
测量全义十卷前九卷属法原后一卷属法器法原者法之所以然也凡事不明于所以然则其已然者茫茫不知所来其当然者昧昧不知所徃即使沿其流齐其末穷智极虑求法之确然不易弗可得已况天之髙星辰之逺厯数之且隠也而不究其原可乎旋观徃代如二十一史所载汉以后诸家之厯详矣大都专求法数罕言名理即才士间出亦各窥一二莫覩大全杂以易卦乐律益增迷瞀何恠乎千八百年而未有定法也夫厯法之原有二其一则象纬之原也天事也其一则推测之原也人事也象纬之原如测天约说所论百中之一二耳其他散见于七政本论防而通之聊足着明矣此书所论则推测之原也古今言推测者又有二其可以形察可以度审者谓之叀术不可以形察不可以度审者谓之缀术此所论者又缀术也缀术之用又有二其一总物以为度论其几何大曰量法也其一截物以为数论其几何众曰算法也厯象之家兼用二法如鸟之傅两翼也则无所不可之矣凡几何之属有四曰防曰线曰靣曰体引为线线展为靣靣积为体究此四者诸有形有质之物细若纎芥钜若大圜悉可极其数而尽其变所以能范围不过曲成不遗也不可为度线不可为形必三线交始成三角形焉凡度与数不用此形即巧厯无从布算故三角者虽形体之始基实测量之纲要诸卷中当首论者此也凡言度数必通大小通近逺者也三角形繇两视线一径线径线者所测物之广也径之两端出两直线入交于目睛之最中而成形如分寸咫尺为近小之形乃至大圜七政为逺大之形形絶不等然其为三角等则比例必等因而用小推大用近推逺亡不合者故曰通大小通逺近也夫学难者必自近也学微者必自显也最难且微莫如天之三光最易且显莫如地之百物次卷所测测地与物以此故也然而测
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