本一卷四十七题备论其理此则用法】置两正方形以角相切令其边为直线角之外为直角即成甲句股虚形其聨两元形之各一角即以为底作正方形其积与两元形并积等其变法作丙戊庚己丁
矩形及乙寅线又截壬形与子形庚形
等次截取癸实形移补丙丁虚形次取
丙子实形移补甲虚形次取壬实形移
补庚虚形次取庚丑实形移补戊【己庚】虚
形次取戊实形移补辛虚形
成夘辰午未正方形
其六设矩形求变为他矩形
其边各有比例如设一形欲
作他形等积而两边之比例
若五与四法分大边为五小边为四作平行分线如甲乙形次依丙丁罄折线截讫移就成戊己形
第四题
截形法
借题云设多边形截为多三角形求作多线以当各形
之比例如图甲乙丙丁戊多边形从甲
角作甲戊甲丁甲丙各对角线分元形
为四三角形求其比例法曰从各角向
各对线为垂线如己向庚戊向辛丁向
壬又向子丙向癸乙向丑丁壬丙癸因对角线短故垂线在形之外盖三角形论底论高不论垂线内外因几何六卷第一题增同底之形其比例若其高之比例今甲戊己甲戊丁两形同用甲戊为底即己庚壬丁两垂
线为两形之比例又甲戊丁甲丁丙
两形同用甲丁为底即戊辛丙癸两
垂线为两形之比例甲丁丙甲乙丙
两形同用甲丙线为底即丁子乙丑
两垂线为两形之比例也今欲作四线之比例与此四形之比例等依几何原本六卷第十九题三直线为连比例则一线上形与二线上形若一线与三线今以一垂线当一形以第二第三率通为一比例而求末率【即第三线】则一形与二形若一线与三线也如上图壬丁之形与戊辛之形同底而壬丁为一率戊辛为二率己庚之形与某线之形同底而己庚为三率某线为四率则以戊辛之数通为己庚之数而求其线即壬丁与戊辛若己庚【元数】与某线而某线之数为己庚之次数又丁子与丙癸若乙丑【元数】与某线而某线之数为乙丑之次数今一设三角形从一角命截几分之几法于角之对边平分如命数从角作线截取一分为得数如甲乙丙形从甲命分四之三即四平分丙乙线为丁戊己次从甲作甲丁分元形为二其比例如丙丁与丁乙
又命分四之一而其截线求与命角之对边【如丙乙】平行法四平分甲乙腰四乗三【命分数内减得分以其余乗命分】得十二开方得三又百之四十八即得甲向乙取四分之三有半至
丁作丁戊线与乙丙平行截元形为二其积如三与一而丁丙为四之一甲乙戊为四之三
二设多边形从一角命截几分之几法依前借题分本
形为若干三边形又如前次第求各形
之比例线【因形求线】合之成一直线如图为
乙丙丁戊己若命分为四之一即四平
分之若第一分在乙丙线内则分甲乙
丙形之乙丙边如乙丙比例线其一分
所至为乙壬作甲壬线截甲乙壬形为元形四之一若欲截分在甲己之旁则分甲己戊形之己戊边如戊己比例线其一分所至为己辛作甲辛线截甲己辛形为
元形四之一若命分之界不在元形之
角如甲乙边内取庚防为界法从庚向
各角作线求各形之比例线如前
上二法俱从甲或庚为截分之总界其他形若能为对角线在形之内者任用各边各角皆可为截分之界若作对角线而切本形边或出形之外则不能为截界如图
甲戊丁乙四角己庚三角其截分或出形外甲庚甲乙戊己戊丁诸线各切本边但可从丙截之
三设方形命截几分之几法任分一边
如命分数取得数作平行线或正方或
斜方或矩形皆同理若以角为截界则
与上文多边形同法
四设梯田命截几分之几如四分
之一法上下两【边各四平分而取其一作直线聨之】
或用角为截界则与前多边形同法
若命截线与底平行则用三率法依设形成三角形得其腰求两形之比例得全三角之积若干小三角形之积若干以小减大得梯形积若干因算梯形之防分得全形之几分随用前第
一设截三角形之法得所求
假如大底为十上边为六斜边得四上下边之较四半之得二为第一率大底半数五为二率斜边四为三率算得全形之腰为十此全形有两腰有底求其积得四十三又三之一其小形有两腰各六有底六求其积得十五又五之三以减全积得二十七又三之二弱为元梯形之积今欲截取四之一以四而一得六又五之四弱以除全积得六有五之二弱为元形四之一亦为全形六分五之二分用平行截三角形之法六有竒为母五有竒【减一得子】为子相乗开方得五○○即从全形上角分全腰为六分有五之二弱内取五又五之四强作平行线分元形如所求【或取三十二而取二十九】
若近小底命作截线其理同上但母子数不同上得元形四之一分为六又六十之四十六畧约五之四今所求者四之三则三倍之得二十又三十之九以倍数与全数相乗得数开方得二十九半即从上角如法取作平行线分元形如所求【或分全腰为四十三又三之一从上角取二十九半作线】凡梯田在平行线内但底等即其积等
不论角大小
若两梯田截法先求各形之积次算此
形所截之分为彼形之防分其用法如
前
【有本法本论于法算诸书中详之此不及备着】
【新法算书】
【卷九十一】
此外别形尚多各
钦定四库全书
新法算书卷九十二 明 徐光启等 撰测量全义卷六
论体
厯家所重全在测量所当测者略有三事一曰线测其长短二曰面测其长短广狭三曰体测其长短广狭厚薄所以测体者何也即如交食一法日与月各有不同心本天各有最髙度最髙冲度其去人逺近也恒不等其自相去之逺近恒不等人目所见二曜之体大小恒不等若此者必于地体推之故有日与月与地三大之比例【别有本书】不用此比例何繇知交食之歳月日时地影【即闇虚】比于月体小大之数几何乎不因地月之比例何从推日轮之视体几何大去人几何逺乎则何繇知日食旣之有无金环乎何繇知月食过分之闇虚几何大乎何繇定食限之几何时刻乎不知地球之大何繇定东西相去几何里即交食前后相去几何时刻南北相去几何里即日食应有应无有则几何分秒乎则安得不讲于量体之法乎然则测线测面者何也曰体者诸面之积也未能测面安能测体面者又诸线之积也未能测线安能测面又测候七政行度皆以句股弧诸法诸法则皆线也诸线之积为面不知面理则亦不能晰线之体势故三测为并重也虽然测天皆曲线曲面也直线与平面何为乎曰曲线法从直线出也曲面法从平面出也犹圆体法从方体出也故繇线而面而体繇直线而曲线平面而曲面方体而圆体譬之跬步前步未行后步不可得进也是测量之全义也
体者面之积或实如金木土石等或空如盘池陶穹等俱同理同法
其界为面面居体之周【面截面生棱如线遇线生角也又棱为两面之共界】一面之体如球如卵
二面之体如半球半卵圆角圆堆
三面之体如剖球卵之一分
四面之体如三面角体而四面等
即三面角体第因各面俱等故属四面
五面之体如四面角体【因角体之面无定数故左方不列其名】六面之体如立方正立方斜立方
八面之体八面俱等
十二面之体十二面俱等
二十面之体二十面俱等【自四六八十二二十面之外不能为等面胥无法之体也】公量如斗如升皆足为体之量总之以立方为本如用尺寸分为度而一尺之体其长其广其袤各一尺八俱直棱八俱直角乘法一千实寸为一实尺一千实分为一实寸则以立方之体再自之耳此为物数均齐推算简易者也
几何原本一十一卷详解其理今略引一二如左有法之体二其上者各面俱等盖设一边即知其面其容也其次则对面为平行面或同类之体有公法如角体者是也球亦有法之体盖其径其周其外面其容之比例恒相等第以比例无尽分之数亦属次焉
第一体名立面体如正立方斜立方多边立体正立圆体扁圆体【因其上下为平行面亦属等面】公法以高乘底之积得其容【高深两名互用】其高之度则垂线也
几何原本十二卷七增题曰两平行面内之体或同高两体其比例为体与体若底与底但取同类相求以正高为据不论体势直与不直
又本卷三十二题曰同类之体与体【凡比体者皆以其容积相比】为
其边与边三加之比例 解曰三加之比例者四几何为同理之连比例则一与二为一加与三为再加与四为三加也【五卷十界】此云三加者谓体之一与二若其边之一与四也如二 四 八 十六为四几何同理之连比例其首二尾十六为三加之比例则小体之边二大体之边四其小体之容与大体之容若小边之二与大边之十六也
系凡同类数体测定一体之容即其容与他体之容为其边与边三加之比例设有立方体其边八其容五一二又设次体其边十二即八与十二再加之得十八三加之得二七【其超法为一身有半】则初体与次体若八与二十七或用三率法八与二十七若五一二与一七二六或以四率连比例之第二率再自之得数同
第二体名角体底广上锐如堆垜锥亭峰之类其法同也几何十二卷七题之系曰同底同高之角体与平行面体【即同高体】之比例若一与三法曰如方锥之底边设九则底积八十一设髙十八以乘底积得一四五八以三为法而一得四八六方锥之容也又如圆堆之底周设十二尺设高五尺则先求周之径得三又十一之九相乗得四五又十一之九以四为法而一得十一又十一之五底积也以高乗之得五七实尺又十一之三以三为法而一得十九又十一之一为圆堆之容【系凡委粟及垣等角体皆求立体之容三除之为角体之容】
若不知其正高但知其底及棱则先求其正高
法曰若棱为偶数如上图得四甲乙
丙丁为底之四边各八又半甲丙对
角线十二弱戊为角顶戊甲戊乙戊
丁戊丙为四棱各十而求次图之中
长线戊己【次图何物如上图戊甲丁丙乙为全体若从戊顶向
甲丙对角线平分之为二即所截之两面各成戊甲丙三角形甲丙底十】
【二弱戊甲戊丙各十以此三边求中长线戊已即角体之高】
法以半底甲已自之得三十六【句方】以减腰方一百【方】余六十四【股方】开方得甲已八为角体之正高余如前若棱为竒数如五底之各边为十二棱之度为二十则先求一面之中长线【各体有底有面有棱底之边随体无定数面则恒各为三边形形之底线即底之一边两腰即棱也】依句股法半底边得六【为句】自之得三十六【句方】棱度自之得四百【方】相减得三百六十四
【股方】开方得一十九又一十三之一【即股即面形之中长线】次求底形之中长线用正法以五【底之边数】为法三百六十【全圈之周】为实【几何论凡有法之形形外可作圈切形之各角形内可作圈切形之各边】而一得七十二度为一边之弧半弧之正【即底之半边】为五八七七九第一率也【内】半边之数六为二率【外】半弧之余八○九○二为三率【内】算得八又四之一不尽【外】为五边底形从心所出之中垂线又正【内】与半边【外】若全数【内】与半径【外】得一十又五之一强【形外圈之半径】两数并得一十八又二十之九强为五边形之中长线次以面形之中长线底形之中长线及一棱之度三线相遇成一三角形【平分全体所分之两面】有三边之数求中长线得一十六又半不尽为所求元体之正高
底之周六十半之得三十以中垂线乗之得五七二又十三之四为底积以正高乗之得九四三八三而一为元体之容得三一四六也
若棱之度长短不等则用最长之棱及其对面之中长线求体之正高
论曰角体为立面体三之一者何也如正立方体自上而下对角平分之为两堑堵毎一堑堵得正立方二之一又于堑堵之两方面自上而下对角平分之成大小二分大者为阳马得堑堵三之二小者为鼈臑得堑堵三之一则一正立方分之为堑堵得二阳马则三鼈臑则六角体者阳马也故得立面体三之一也【说见九章算】
又外切圈之半径为句棱数为用句股法求股即元体之正高【此法甚简易但须各棱俱等乃可非公法也】
截圆角体法有五从其轴平分直截之所截两平面为三角形一也横截之与底平行截面为平圆形二也斜截之与边平行截面为圭窦形【顶不锐近底之两腰稍平行】三也直
截之与轴平行截面为陶邱形【顶曲渐下渐直
【打 印】 【来源：读书之家-dushuzhijia.com】
