所求十二面体之容
又设一体之容欲知其边若干因此容与他容若此边上立方与他边上立方其法以例体之容为一率设体之容为二率例体边上之立方数为三率得设体边上之立方为四率开方得根即所求边也如有一四六八四又四之一为今设四面等之容求其边若干查前例其同类之体边一百其容一一七四七二又半依三率法得立方根为五十即所求设体边数
一率 一一七四七二半【例容】
二率 一四六八四又四之一【设容】
三率 一百万【例边】
四率得一二五○○○为所求边上立方开得五十为所求设体之边
量圆球之容
圆球之全体见亚竒黙徳圆球圆柱书并见几何一十四卷兹借数题明之
第一题
球上大平圜之积为本球圜面积四之一【此亚竒黙徳之一卷三十一题也大平圜者从大圏过心剖球体为二所分两平面是也圜面积者全球大曲面之平积也】系 凡周乗径生球圆面之积亦生大平圜积之四倍大圜周线上方形与球圆面之比例若大圜之周线与其径 解曰如图甲乙丙丁球上之大平圜也甲丙其径【与球径等】己辛与圜之周线等上成己壬方形形之庚辛与甲丙径等而己壬方形外复成庚戊方形题言己庚
矩形为大平圜之四倍壬戊矩形与
庚己矩形等盖壬辛己辛同为矩方
形之一边戊辛辛庚亦同为矩方形
之一边则两矩方形必等夫己壬周
线上之方形也壬戊为大平圜之四倍而与球之圆面等则其比例如己辛与辛戊矣【五卷二周与径比例之数为二二三之七一或二十二之七】又大圜径上方形与球之圆面若圜之径与其周盖己庚矩方形与球之圆面等庚戊为径上之方形则两形之比例必若己辛周与辛戊径矣
二系 球径上方形与球之圆面为一与三又七一之十或一与三又七之一
第二题
径三之二乗大平圜之积生球容之数【亚竒黙徳之一卷三十二题】解曰设大平圜之周一【凡大测当以全数为母则易推故设周为一自之再自之恒为一】其大径为二二三之七一其半为四四六之七一以半周二之一乗之得八九二之七一此大平圜之盈积也又以六六九之一四二【此大径三分之二】乗之约之为二九八三七四之五○四一得球容之数
又大平圜之周再自之恒为一知大圜周上立方与球容之比例何者全数为母【即一几何谓之命分数】是周上之立方也子数【几何之得分数】为球容则球容与大圜周上立方之比例若五○四一与二九八三七四而盈用小径之数得四九与二九○四
又球径上立方与球容之比例若二十一与一十一而盈若四二六与二二三而朒法置球径一大平圜之大积为十四分径上方之十一以径三之二乗之得四十二之二十二约之得二十一之十一为球之容又球径上立方为一则其与球容之比例为二十一与十一而盈或用朒法则大平圜之小积得四二六与二二三亦径上立方与球容之比例也【右径上立方与球容之比例】因前论置球之径 一求球之圜面以二十二乗径数以七除之以所得之径乗之得圆面之积【用二十二与七而盈用二二三与七十一则朒】 一求球之容以二十二乗径以七除之得数以径三之二乘之得球之容【右以径求圜面积及球之容】又径上立方与球之容若二一与一一而盈若四二六与二二三则朒 置大圜之周大圜周上之立方与球容若二九八三七四与五○四一而盈若二九四与四九则朒 置径置球之圆面相乗六而一
置径【四之一乗圆面三之二三之一乘圆面二之一】 乗大圜之积三而二或径乗积三分之二 或径三分之二乗积俱得球之容
或半径乗大圜积三分之二所得为球容之半 或大圜半积乘径三分之二所得亦半
量球一分之曲面
凡截球面过心其一分为全球之若干量法与全球无
异【或半球或四之一或五之一俱同法】 若截球面不
过心为直面而曲面界为球上之圏
则借天球之界以明之
解曰甲丁己辛为子午圏甲比己南
丁辛为夏至之圏从夏至圏截之甲至丁作直线用此线为半径作甲丁别圏亚竒黙徳之一卷四十题曰甲丁别圏之积与丁甲辛球分之曲面等又从巳至丁作直线为他圏之半径其圏之积亦与丁己辛球分之曲面等若曲面非全球之若干
分则为无法之形
量球一分之容
取球之一分截面过心其曲面之界为圏亚竒黙德曰想圆角体其底之圏几何与所截凸面之一分等其高为球之半径此体之容与今所解之球分等
如甲丁己辛球丁甲辛庚为截分丁甲辛为凸面丁庚辛庚截面过心则先求丁甲半径倍之以二二乗之以七除之所得之
半以半径乗之为凸面之积次以甲庚半径乗之三而一为丁甲辛庚球分之容
若截为直面不过心如甲丁辛之一分而求其容则先求甲丁辛凸面之积以径乗之六而一为丁甲辛庚体之容次丁辛截面至心则想丁辛庚圆角体求其容以减丁甲辛庚体之容余为丁甲辛球分之容
量撱圆体之容
撱圆亦有法之体也又次于圆球其为体则长圆形之长径为轴旋转所生如一防直行生线一线横行生面一面上行生体平圆面以径为轴转轴环行是生圆球长圆面则有二径一长一短以长径为轴转轴环行是生撱圆之体以短径为轴转轴环行是生扁圆之体撱圆之体或名为卵体非也凡乌卵一端大一端小是为无法之体撱圆体则两端等亚竒黙徳之第一卷备解此体及分角体之理今略述之
凡截圆球生两圆面成两圏若平分之即过心过心之截分恒相等若撱圆体从小径横截之生两平圆面因小径过心故若从其长径直截之生两长圆面即元体之长圆也若横截与小径平行亦成平圆面若斜截之则其面皆不等皆成长圆形
凡圆角体其底之径为撱圆体之小径其高半长径则其体之容为撱圆体四之一
如甲乙为长径丙丁为小径
即丙戊丁甲半撱圆体倍大
于甲丙丁角体
解曰小径以二十二乗之七而一小径之周也得数以乗小径四而一小径之平圆面积也得数以乗半长径圆柱之容也三而一角体之容也得数四之撱圆半体
之容也
若截面与小径平行如庚己
壬求撱圆分体如庚甲壬之
容黙徳法曰先求庚壬甲角体之容次用三率法己乙【大分之轴线】与戊乙【半长径线】甲己【小分之轴线】并若角体甲庚壬之容与撱圆小分庚己壬甲之容
若求大分之容先求角体庚
壬乙之容次用三率法甲己
【小分之轴线】与甲乙【长径】戊乙【半长径】
并若角体庚壬乙之容与撱圆大分庚己壬乙之容
量无法之体
解曰以锡为正方椟各边一尺或五寸若用木则以三
和灰涂其罅令不漏实之以水投所
量物其中则水溢取出物量水减几
何得物之容如减一寸而椟边设一
尺则得一百寸为物之容盖各边一
尺上面积为一百寸水减一寸则为
一百寸若水减不及寸或过焉则量若干分以面积乘之得物之容
新法算书卷九十二
钦定四库全书
新法算书卷九十三明 徐光启等 撰测量全义卷七球面曲线形
圏内线相当之理
每弧毎角有八种线曰正曰正切线曰正割线曰正矢曰余曰余切线曰余割线曰余矢幷全数为九种诸线内各有相当之理皆依三边形等角比例法【防何六卷四题】
如上图丙丁为正弧甲丁为正
丙辛为正切线乙辛为正割线甲
丙为正矢戊丁为余己壬为余
切线乙壬为余割线戊己为余矢乙己乙丁乙丙皆全数也即辛丙乙壬己乙两形相似何者己丙两直角己乙辛丙为平行线辛乙直线割两平行即其相对两内角必等既丙辛乙壬乙己两角等即其对边相似
一全数为正余割线两率之中率
如丙丁弧之正为甲丁全数为
丁乙余割线为乙壬则甲丁与丁
乙若乙己与乙壬矣丁乙乙己皆
全数必等则甲丁与丁乙若丁乙与乙壬也
又全数为余正割线之中率如戊丁与丁乙若丁乙【与乙丙等故】与乙辛
一系凡四率全数为中率【或二或三】若第一率
为正即弃正而变余割线为中率全
数为第一省而一 若第一率为余则
变正割线为中率 若第一率为正割线则变余若第一率为余割线则变正 凡所变者皆以易全数而使为第一率
论曰凡有连比例之三率一率与二【如二与六】若二率与三【如六与十八】别有二数其比例若连理之一率与二【如八与二十四】即可代用或连理之一率与二【如二与六】若他数与别数【八与二十四】可也或连理之二率与三【六与十八】若他数与别数【八与二十四】亦可也为其比例等故也【皆三之一】今连理之一率为甲【正】二率为乙【全数】三率为丙【余割线】次有断理之第三率丁第四率戊即可代用谓一甲【正】与二乙【全数】若三丁与四戊可也谓二乙【全数】与三丙【余割线】若三丁与四戊亦可也是于连理之三率二比中弃前比而用后比初以全数为第二余割为三今以全数为一余割为二也如三十八度一十七分之正六一九五五与全数若三十度之正与某数常法二三率相乘以一率为法而一得第四今法用三十八度一十七分之余割线一六一四○七为二率以易全数而为第一以二三率相乘即得第四何者正全数余割线为连比例故也二系凡四率中无全数若第一率为正则变余割线为第一率若第一率为余则变正割线为第一率法用一二率相乘得数以全为法去后五位所存若干位与全数等而一又以乘第三率得数如前而一得四率【名为而一者再皆以全数为法止减末位不难也常法一乘一除此用两乗犹是防法】
假如一十八度四十○分之正三二○○六与二十五度三十七分之正四三二三一若六十三度三十二分之切线二○○八六二与某数其常法二三率相乘第一率而一今用防法取一十八度四十分之余割线三一二四三九乘第二率四三二三一得一三五○七○○○○○○为实以全数为法而一得一三五○七○又以第三率一二四三二二乘之得一六七九二二○○○○○以全为法而一得一六七九二二为四率
二三○七三五 六十四度十九分之正割线
又假设三率如一二二三四一
二三四三二
第一率变取六十四度十九分之余四三三四○以乗第二率得数减后五位以所存乘第三率得数又减
后五位所存即第四率
二全数为正余两切线之中率
如上圗辛丙与丙乙若乙己与己壬
何者丙乙乙己皆全数则辛丙丙乙【或乙己】己壬为三率连比例
系凡四率断比例全数为中率若第一为正切线变余切线为中率以易全为第一若第一为余切线变正切线为中率以易全为第一
三正与余若全数与余切线余与正若全数与正切线
如前圗甲丁与丁戊【即甲乙故】若乙己与己壬戊丁【即甲乙故】与甲丁若乙丙与丙辛
系四率断比例若一二率为正与余变为全数与余切线若为余与正变为全数与正切线
四凡两弧之正割线与其余为互相视之线两弧之余割线与其正为互相视之线
如上圗丙癸丙丁两弧丙癸弧之正
割线为乙寅丙丁弧之正割线为乙
辛丙癸弧之余为庚癸丙丁弧之
余为戊丁则乙寅与乙辛若戊丁
与癸庚
论曰全数在正弧【丙癸】为其正割线【乙寅】及其余【癸庚】之中率在他弧【丙丁】亦为其正割线【乙辛】及其余【丁戊】之中率两理之各前后矩内形各与全数上方形等【各为其中率故】即两矩内形自相等其边互相视【防何六卷十四】
五凡两弧之正切线与其余切线为互相视之线同上论卷中诸圏皆以曲线当圎球之大圏相交相截人目视球曲面或近或逺或上或下或左或右所见不同有时视曲线而为直线即同是曲线而形象不一葢平面图球不能尽球之理宜从论説中领其意义乃得耳
圆球原本内借论题古徳阿多西阿撰
一大圏皆与球同心 系大圏皆相等若从大圏分球过心必为两平分【一卷六】
二两大圏于球上相交各为两平分
三反之两圏于球上相分为两平分必两皆大圏【一卷十一十二如赤道黄道等】
四大圏过他圏之两极必相交为直角【一卷十五题如子午圏过赤道极则两圏交处皆为直角】
五大圏与本极距一象限九十度
六大圏交两大圏若作直角则元圏之极在两圏之交如赤道与极至交圏极分交圏为
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