直角则两圏之交在赤道极
七大圏三百六十平分之小圏亦然但小圏去离大圏一分其小圏之各分必小于大圏之各分
八两大圏相交其交角必等或上或下两角幷必等两直角与直线相交同理
九球上大圏不能相偕为平行弧一心止一圏故也若同心而能为多圏则是距等小圏非大圏矣
分球上三角形之各类
球上圏相交成三角形若三皆大圏之弧此形为大测之本【若有小圏之一弧即未能定圏大小之数安能定其弧数明大测不用小圏之弧也】
球上角形或三边等其角必等边之度若四之一【九十度】则角为直角过四之一则钝角不及则鋭角【如正球之赤道地平子午圏皆相交为直角则各边俱九十度】
或二边等其对角亦等若边过象限为钝角不及为鋭角或各边不等各角亦不等
球上角形或三直角其边皆四之一或两为直角其两对边皆四之一此二类自明勿论所论者一为直角余或钝或鋭各有本法如左
一圗外大圏内两大圏分皆相交为直角则各圏之极在他两圏之交【用号作十者指直角作○者指钝角作丨者指鋭角边云多者谓过四之一云少者谓不及四之一】
二圗两直角形第三角或鋭或钝【己上二圗俱不论】
三圗甲乙丙形甲为直角余皆鋭其边少甲丙戊形甲直角丙钝戊鋭钝角之对边大即甲已戊弧鋭角之对边小即甲丙弧或一直角两钝角如乙丙丁形乙丙两钝角其对边过四之一即乙壬丁弧
凡两角或鋭或钝若同其间所容弧不及四之一直线三角形与球上曲线三角形异理
一直线形之三角幷与两直角等曲线形之三角幷其数不定但不能及四直角【四直角者三百六十度也】
二直线形得两角即得其三曲线形否
三直线直角形有两边以句股开方法求其三曲线形否四直线形有三角不能求三边若干但得其比例耳曲形设三角可推三边若干
五直线形各边能当全数曲线之各边否
六两直线形等角即两形之边有比例曲线等角形之边必等
七直线形但有一易法以垂线分元形是也曲形有六易法
八直线形不过二种一直角二或钝或鋭角其边虽有长短不变其曲形边有大小其法不同
球上斜三角形因各角各边不等分为九种【或恒用或否俱见下文】第一三角皆鋭其边皆小于四之一【如第一图甲形】
第二三角皆钝其一边适足四之一其二边大于四之一【后凡四之一皆言足小于四之一者皆言少大于四之一者皆言多如第二圗乙形】
第三三角皆钝其两边多一边少【如三图丙形】第四三角皆钝其三边皆多【如四图丁形】第五一角钝两鋭其三边皆少【如三圗戊形】第六一角钝两鋭其两鋭间之一边多钝角之两旁少【如四图己形】
第七一角钝两鋭一鋭角之对边少余皆
多【如三图庚形】
第八一角钝两鋭钝角之对边足余皆少【如二图壬形】第九一角钝两鋭其边皆不等一多一少一足【如二图辛形】
球上三角形相易其法有五
第一甲乙丙直角形甲为直角于乙甲乙丙各引长之满象限为乙丁乙戊又甲丙边引长之作甲丙己象限次聨丁戊引至己亦作象限【乙丁乙戊俱象限则丁戊己弧心为乙又丙甲乙为直角乙丁戊亦直角则甲己丁己遇于己而己为乙丁弧之心】得丙戊己直角形若甲乙丙形设甲乙乙丙两边若干
即有甲丁丙戊两余弧次丙戊己形有戊直角有丙戊边即有己角【其弧甲丁】
若元形有直角之对边及直角旁一边即次形有直角旁一边及其对角【一图】若元形有二角即次形有一角一边【二图】
若元形有一角及直角之对边即次形有直角旁两边
【三图】
第二甲乙丙直角形于甲乙引长作乙丁象限弧乙丙引至戊甲丙引至己皆满象限次作丁戊己象弧得丙戊己形次丙戊引至庚丙己至辛戊己至癸皆象弧次作
庚辛癸弧成辛己癸形此形与元形甲乙丙相当何者元形有乙丙两角即次形有两边【有乙角之弧戊丁即有其余弧戊己有戊己弧卽有己癸边与乙角之数等有丙角即辛庚丙形之丙角弧为庚辛其余弧为辛癸】
元形之乙丙易为癸角【乙丙边余为丙戊丙戊之余为戊庚是癸角之度】元形之甲乙边易为辛己癸角【甲乙弧之余为甲丁其对角为丁己甲或辛己癸皆甲乙之余弧角】
元形之丙甲边易为辛己边【甲丙弧之余为己丙己丙弧之余为辛己则辛己与甲丙等】
第三斜角形【两腰等角或鋭或钝】两腰引长至半周必相遇成他形与元形相当如图甲乙甲丙两腰引至丁成丁乙丙他形从乙丙作乙丙己成全圏引乙甲至己丙甲至戊又成甲戊己他形此两他形者皆与元形相当何者有甲乙边自有其半周内之余乙丁亦有其半
周内之余甲已即乙丙与戊己等【丙乙戊乙戊己皆半周故】又丁角与甲角等【凡两大圏相交为两角必等如黄赤二道相交于春秋分是也】丁乙丙为甲乙丙之余角乙丙丁为甲丙乙之余角甲戊己为乙丙甲之余角甲己戊为丙乙甲之余角则元形变易而生两形各相似相当 问本用曰元形边大【多于象限】角钝易为次形边小角鋭三角形六问中所用也【六问详见后篇】第四甲乙丙三不等形从乙甲弧作甲辰戊全圏次甲
角为心作丁壬辰大圏分乙角为
心作戊癸寅大圏分丙角为心作
己丑夘大圏分三圏分必相交成
癸寅丑形此形与元形相当而元
形之边易为角角易为边何者甲
壬弧满一象限丙午同之减同用之丙壬即午壬与丙
甲等壬午弧限壬丑午角之度其
余角为癸丑寅又甲丁乙戊皆象
弧减同用之乙丁即甲乙与丁戊
等丁戊为寅癸丑交角之度又乙
辛丙子皆象弧减同用之丙辛即
辛子与乙丙等辛子弧即辛寅子角之度则元形甲乙边易为次形之癸角甲丙边易为癸丑寅余角乙丙边易为寅角元形之三边易为次形之三角【边易为角】又元形乙角之余易为癸寅边甲角易为癸丑边丙角易为寅丑边【角易为边】
第五凡斜角形设一角二边法从他角作垂弧至其对弧为直角如一图【若不能则引长其对弧令受垂弧如二图】若设二角一边法从他边之对角作垂弧如图乙丁丙形有丙角丙乙丙丁两边即作乙甲垂弧分为两直角形其甲丙乙形有一角一边可求其余甲丁乙直角形先得甲乙甲丁两边可求其余
凡底边两旁角为同类垂弧在形内若异类垂弧在形
外
凡曲线三角形如得实球即指画易明直角形直角之对边名底斜角形大角之
对边名底
凡言直角其边小于象限则用之大于象限则依前法变为小而用之
球上直角形各边角正等线之比例
第一题
直角形人数数【即直角之本数】与某角之正若底弧之正与某角对边之正
欲明此论宜以浑体解之今权设浑象以坚厚楮作一圆形中心折作直角半平者其弧如赤道之半周也半立者其弧如极分交圏之半周也又作一半周形合于全形之直角两径相切共为半圏面三一平一立一中居中者其弧如黄道之半周也中圏面上下防移任作若干度角如黄赤道之相距又作九十度之两弧上合下分一置三半周之中如极至交圏为定弧一以下端防移平弧上恒与平弧为直角上割中弧而遇定弧于极防之上谓之防弧防弧之上容中平二弧之距度而此一定一防两弧者皆如过极之经圏也恒偕平弧为三弧两边等直角形
今于平面作图拟彼圆象用意推测聊足可明其诸名义亦借浑天以便识别也如上图乙丁寅圏为赤道乙丙癸为黄道乙寅为春秋分癸为夏至午辰为南北极午癸丁辰为极至交圏午丙甲为过极经圏以限黄道
之经度容赤黄二道之距度
平置乙丁寅赤道圏从黄癸
下垂线为极至圏上癸丁相
距弧之正从赤丁上立垂
线遇夘癸半径之引长线于
戊得戊丁与癸己平行为癸
丁弧之切线夘戊其割线也己夘则癸丁弧之余也又从黄道若干度之防如丙作两线一丙辛垂线为过极经圏上丙甲斜弧之正辛壬【乙寅径之垂线】其余一丙壬为寅乙极线之垂线即丙乙黄弧之正次从赤道过极两圏之交甲立甲子直线又于寅乙【黄赤交之对截线】上作甲丑垂线次于乙丙癸圏黄平面上从丑作丑子为乙寅之垂线过甲子于子子甲者过极圏上丙甲弧之切线也而甲丑为甲乙赤弧之正丑夘其余则图中有直线直角形四一癸己夘二戊丁夘三丙辛壬四子甲丑因夘壬丑三角等故三形俱相似
题言癸夘【全数】与癸己【癸乙丁角之正】若丙壬【丙乙底弧之正】与丙辛【丙甲为乙角之对边丙辛其正】
如上图甲乙丙形【凡称甲者恒为直角】全数【一率】与乙角之正【二率】若丙乙边之正【三率】与丙甲边之正【四率】此比例用防何五卷之六理
云更之则一与三若二与四又反之二与一若四与三又反而更之三与一若四与二
系若以大圏割本形作戊丁直角弧则丁戊与甲丙若乙戊与乙丙【俱用正】
第二题
全数与某边【如甲丙】之余【即丙戊弧之正】若他边【甲乙】之余【即戊角之正】与底【直角之对弧如丙乙】之余【即丁丙弧之正】
若直角形内有一钝角或二钝角其理同本题
第三题
直角形全数与某角【丙】之正【即丁丙戊角之正】若设角【丙】旁边【甲丙】之余【即戊丙底之正】与其边对角【乙】之余【即丁戊边之正】此题之丁丙戊形与一题之甲乙丙皆有底有一角其
理同也
一系依相当第四法及此第一题显全数与乙角【乙丙角互用】之正若角对边【甲丙】之余
割线与底弧【乙丙】之余割线【三四率各有正可用其余割线当之】二系依相当第四法及第一题显全数与底【乙丙】之正若某边【甲丙】之余割线与对角【乙】之余割线【三四率有正互易为余割线】
三系依相当第一法及此第一题显全数与某角【乙】之余割线若对边【甲丙】之正与
底【乙丙】之正【第一题之比例为角之正与全若角对边之正与底之正相当法则以正当余割线也】
四系依相当第一法及此第一题显全数与底【乙丙】之余割线若边【甲丙】之正与对角【乙】之正【一题内底之正与全若边之正与角之正今易底之正为余割而居第二以全为第一】
五系依相当法第四及第二题显全数与某边【甲丙】之余若底【乙丙】之割线与他边之割线【二题云全与边之余若他边之余与底之余此云底之割线与边之割线葢以割线当余而为三四率也】
六系依相当第一法及第二题显全与某边【甲乙】之割线若底【乙丙】之余与他边【甲丙】之余【第二题之四率反用之为二与一若四与三则第一率为余第二率为全数也今依相当一法易之为全与割线】
七系依第四相当法及三题显全数与角【乙】之正若他角【丙】之割线与他角对边【甲乙】之割线【三题言全与角之正若设角旁边之余与他角之余今用相当第四法反四率为三三率为四易余为割线葢两弧之余与其正割线为互相视之线】
八系依三题第四相当法显全与边【甲丙】之余若边对角【乙】之割线与他角【丙】之余割线【三题三四率边旁角之正与他角之余今互变边对角之割线与他角之余割线】
九系依相当第一法及第三题之四率前后易之显全数与角之余割线若他角之余与其对边之余十系三题之四率前后相易用第一相当法显全与边之割线若边对角之余与他角之正
十一系因一系反理及相当一法显全与角之割线若底之余割线与角对边之余割线
十二系因上五系反用其率及相当一法显全与边【甲丙】之割线若他边之割线与底之割线
十三系因九系反用其率及相当一法显全与角之余
割线若边之割线与其对角之割线
第四题
曲线直角形其全数与角【乙】之切线若角旁边【甲乙】之正与角对边【甲丙】之切线【如前圗】
解用一题平面全图之甲乙丙
形甲为直角戊丁为甲乙丙角
之切线甲丑为甲乙边之正
子甲为丙甲边之切线可见夘
丁与乙角之切线丁戊若乙角旁边甲乙之正甲丑与乙角对边甲丙之切线甲子【三角形皆相似故见一题】
系用相易第一法则全与边【甲乙】之余切线【或丁甲弧之正切线或戊己丙角之正切线】若边旁角乙之余【即戊
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