得三十二又十五之十一为乙甲邉外数
三图
甲丁邉十五
全数十万
丙丁邉二十五
得一六六六七九为甲丁丙角之割线查得五十三度八分四图
全数十万
甲丁丙角之切线一三三四九
甲丁邉十五
得二十七又十五之四为甲丙邉外数
四支所设为锐角有两邉其旁为钝角
一法用正数如丁乙邉二十四歩半丁丙邉一十二歩乙锐角二十二度○二分丙为钝角用第二支图作丁甲垂线即甲丁乙直角形丁乙二十四歩可求甲丁甲
乙两邉【如一二图】甲丁丙直角形有甲丁丁丙两邉可求甲丁丙角【如三图】甲丙邉【如四图】
一图
全数十万
乙丁邉二十四歩半
乙角之正三七五一五
得九歩又一百之十九为甲丁邉
二图
或甲丁乙角之正九二六九七为三率
得二十二又一百之七十一为甲乙邉
三图
丁丙邉十二
全数
甲丁邉九又一百之十九
得七六六○一为甲丁丙角之正查得五十度四图
全数
丙丁甲角之正六四三○一
丁丙邉十二
得七又一百之七十五为甲丙邉外数
用割切两线法与前同
第十七题
三角形有三邉求三角
三邉等则三角亦等各角皆六十度于一百八十度为三分之一或两邉等如丁乙丁丙法从丁作丁甲垂线至乙丙底分本
形为甲丁乙甲丁丙两角形而等何者丁乙丁丙两腰等乙甲甲丙又等丁甲同腰则两形必等【一卷八】即甲乙丁角形有丁乙腰乙甲半底依角与角若邉与邉用三率法求之先置各腰五歩乙丙六半之为乙甲三推得乙丁甲角倍之得乙丁丙角以减两直角余为乙丙两角幷之数半之得两角数为两角等故
丁乙邉五
全数
乙丙邉三
得六○○○○为乙丁甲之正查得三十六度五十二分
甲丁乙三十六度五十二分即所倍乙丁丙为七十三度四十四分以减一百八十存一百○六度一十六分为乙丙两角之幷数半之得五十三度○八分为乙丙两角之各本数
或各邉不等如丁乙丙角形丁乙一十歩丁丙一十五歩丙乙一十八歩用丁角为心【此角在两小腰间】丁乙为界作戊乙己辛圈而以丙丁邉引长至戊依五题求甲乙得五歩半甲丙得一十二歩半即甲丙丁直角形有丁丙甲
丙两邉求得丙丁甲角【如一图】因得甲丙丁角又甲丁乙直角形有丁乙甲乙求得甲丁乙角【如二图】因得甲乙角又幷两角得丙丁乙角亦得丙乙两角为是丁上两角之余故
一图
丁丙邉十五
甲丙邉十二半
全数
得八三三三三为丙丁甲角之正查得五十六度二十六分二图
丁乙邉十
乙甲五半
全数
得五五○○○为甲丁乙角之正查得三十三度二十二分即丙角
新法算书卷八十七
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>
钦定四库全书
新法算书卷八十八 明 徐光启等 撰测量全义二
第一题
平靣测远【三支】
一支测两物之能到者 一法曰甲乙
为地平靣上江河之广或土田道里之
远欲从甲测去乙几何于甲角上平安
象限仪之心【后言象限或言仪平安言安省文】两边向
乙向丙作直角次从甲向丙行任取一十二步为丙防丙上再安象限边向甲窥衡望乙交象限之周线于丁定丙角为四十八度成甲乙丙直角形此形有甲丙边丙角而求甲乙边法为全数与甲丙边外数若丙角之切线与甲乙边外数也算得一十三步又三之一为甲与乙平靣相距之远【象限仪法见本篇第三卷窥衡或作指尺义同】二法曰丁乙为两所不能作直角或不欲或地非平靣【山水林木屋舍所隔】则丁安象限边向乙窥衡向丙定丁角为六十二度向丙行
任取一十二歩丙上再加象限边向丁窥衡望乙定丙角爲八十度成丁乙丙角形此形有丁丙边丁丙两角自有乙角而求乙丁边法乙角之正与丁丙边外数若丙角
之正与丁乙边外数算得一十九
歩又五之一爲乙与丁相距之逺丁
爲钝角亦如之 三法曰或从丁向
丙线持象限前却取得甲直角是乙
丁为直角之对边也法全数与外甲
丁若丁角之交线与外乙丁
四法曰若丁爲钝角上安象限面移丁丙线外边向乙衡向任取之丙表定戊丁丙角爲五十度以并戊丁乙直角得钝角一百四十度末定丙角二十四度成丁乙丙角形此形有丙丁边一丈二尺丙角二十四度法乙
角之正与外丁丙若丙角之正
与外乙丁得一丈七尺七寸
五法曰丁安象限边向乙衡向任取
之丙表得二丈从丁直视过丙至己
任定丙己爲一丈以上安象限边向
戊衡向丙令己角与丁角等末前却令戊过丙至乙作直线则丙己与己戊若丙丁与丁乙
论曰丁乙丙丙己戊两角形相似何者
己丁两角等丙上两交角又等是形与
形相似【六卷四题】即相当边之比例必等用
三率法丙己一丈为一率己戊三丈为次
率丁丙二丈为三率算得六丈为乙丁
六法曰甲乙为两所从乙引长任取二
十步为丙又任作丙丁戊直线任取丙
丁二十五步丁安象限边向乙衡向丙定乙丁丙角次持象限前却取戊令戊角与丁角等量丁戊得六十一步法丙丁与丁戊若丙乙与乙甲【六卷二】算得十二步又
一十五之四
不用布算法
七法曰乙丁为两所乙安象限边向任取之丙衡向丁得丁乙丙外角七十度次从丙乙直线上求戊令戊角半于丁乙丙角则戊乙与乙丁等
论曰丁乙丙外角与相对之两内角等【一卷三十二】戊角半丁角亦半两角等两腰亦等
八法曰乙上安象限作六十度角次于乙丙直线上求丙亦作六十度角则乙丙与乙丁等
论曰乙丙两角各六十度则丁角
亦六十度而乙丁丙为三边等形
九法曰若乙丙短则向乙向丁求
甲直角得甲乙为乙丁之半
论曰丁乙甲直角形乙角既六十
度则丁角三十度因角与角之正若边与边是三十度之正全数之半也故乙甲为乙丁之半也十法曰任设乙角为四十度次以半周上余度平分为七十度于乙丙线上前却令丙角亦七十度则乙丙与乙丁等论曰丙角为外角之半丁角亦半乙丙与乙丁两线必等
用矩度法 用矩度者以器上小形当所测大形也如所测为甲乙则矩度之边壬丙或己辛与甲乙平行其相当数为比例必等所设两在边为甲丙则矩度之边壬辛或丙己与甲丙平行其相当数为比例必等【一卷
二十九三十二题】置法同前甲恒为直角
十一法曰一解窥衡交线【后省曰交或曰视交】在对角则丙甲与甲乙等
论曰丙己辛丙甲乙两角形相似何
者两形有己甲各直角同用丙角则
两相似【六卷四题】而矩形丙己与己辛等
则丙甲与甲乙亦等二解视交在两
所平行边如戊则丙己与己戊若丙甲与甲乙论曰丙己戊丙甲乙两角形相似何者两形有己甲各直角同用丙角则两形相似【六卷四题】而矩形之丙己与己
戊若甲丙与甲乙
三率法丙己一百分为首率己戊七十
分为二率丙甲一十五步为三率算得
甲乙十一步半【两所平行边后省曰平边】
三解视交在两测平行边如丁则丁壬
与壬丙若丙甲与甲乙【两测平行边后省曰立边】
论曰丁壬丙丙甲乙两角形相似何者两形有直角有相等之壬丁丙乙丙甲两角在平行线内则相当线之比例必等 三率法丁壬六十分为一率壬丙百分为次率丙甲一十二步为三率算得二十步为甲乙
省算法 十二法曰交戊甲丙六十
步即于丙己边自己至未取六十分
与甲丙比例等自未至视线作未子
为丙己之垂线从子作子午为辛己
之垂线得子午戊形戊午之若干分
为甲乙之若干步
论曰子午戊丙甲乙两角形相似何者两形各有直角
有相等之戊角与乙角则各边之比
例等先作未己或子午与甲丙比例
等则戊午甲乙比例亦等 若交在
丁从壬至午取六十分作午子垂线
二支测两所之不能到者
一法曰乙丙为两所俱不能到独甲
可到即于甲上立表令甲乙丙为直
线安象限边向乙向丁行至丁得若干步安象限于丁边向甲衡以次向乙向丙成甲丁丙甲乙丁两直角形甲乙丁角形有甲丁边丁角可求甲乙边【本书首卷十二题二解】甲丁丙角形有甲丁边丁角可求甲丙边末以甲乙减甲丙所余乙丙用切线可求乙丙边如甲丁二十四步乙丁甲角三十四度丙丁甲角四十八度则甲丁为全数而甲乙为甲丁乙角之切线甲丙为甲丁丙角之切线两切线之较为乙丙用三率法全数一甲丁二十四步二切线较三算得一十步一十五之七为乙丙
二法曰乙丙为两所直线上更
任取两所如丁如庚次作庚壬
线任取壬防安象限边向丙窥
庚定壬角之度次辛防上安象限向乙向庚游移令辛角与壬角等次戊安象限向丁【乙丙直线上】向庚游移令戊角与壬角亦等未量壬辛戊庚及庚丁各几何用三率法与戊庚与辛壬若庚丁与乙丙
三法曰乙丙直线上任至一处如庚庚上安象限边向乙丙窥丁定丁庚乙角之度又从庚丁直线上至戊戊
上安象限作庚戊己角与丁庚【乙角】等即
戊己线与丙庚平行次于巳上窥过丁
到丙戊己之间游移窥过丁到乙得辛
则戊丁与辛己若丁庚与乙丙
论曰丙乙丁辛己丁两角形相似戊辛
丁乙庚丁两角形亦相似则各边之比
例自等
省算 四法曰乙庚为两所直线上取甲安象限作乙甲丁直角行至丁安象限边向甲窥乙窥庚作甲丁乙甲
丁庚两角次甲乙直线上寻戊作
甲戊丁为乙丁甲之余角寻巳作
甲己丁为甲丁庚之余角则得戊
己与乙庚等
论曰甲乙丁甲戊丁两形等何者
戊为甲丁乙之余角则与乙角等
同用甲丁边故两形等依显甲庚丁甲丁己两直角形亦等夫庚甲甲己既等减相等之甲乙甲戊所存戊己乙庚亦等
五法曰甲丁直线上取戊安象限窥乙
作戊角为四十五度丁上窥庚亦令丁
角为四十五则戊丁与乙庚等【戊甲乙为直角】论曰丁戊各半直角则庚与乙亦如之
甲丁甲庚必等又甲戊甲乙亦然减相等之甲乙甲戊
则所存亦等
六法曰若庚乙丁戊两线上所得角未
眞则于乙庚线上取丙安象限作六十
度角丙丁线上寻戊寻丁望乙望庚作
戊丁二角各六十度则戊丁与乙庚等
论曰丁丙庚角形之三角同为六十度乙戊丙亦如之减相等之戊丙乙丙所存丁戊乙庚自等
七法曰置丙角六十度令戊丁为
两直角则戊丁为庚乙之半
论曰庚丙丁乙丙戊两直角形有
丙角六十度乙角必三十度因边与边若角与角之正则三十度之正戊丙为全数乙丙之半又庚丙为全数丁丙为庚角之正视全数亦半庚丁乙戊既平行则庚丙与丁丙若乙丙与戊丙分之乙丙与戊丙若庚乙与戊丁戊丙为乙丙之半则戊丁亦乙庚之半八法曰若丙为钝角则以丙角之余度平分之次于丙丁线上寻戊寻丁各作丙角余之半则戊丁与乙庚等
论曰乙丙戊庚丙丁两角形相似乙戊庚丁四角等则边亦等减相等之戊丙乙丙所存
之戊丁乙庚亦等
用矩度
九法曰庚向乙直线上行取甲
甲上安矩度作甲丁垂线行至
丁得若干步安矩度边向甲窥
乙与庚各交矩度边 一解交
乙庚平行边于己于戊则丁壬
与戊己若丁甲与乙庚【戊己与乙庚平行故曰平行边】
论曰己丁壬庚丁甲两直角形同用丁角则相似是丁壬与壬己若丁甲与甲庚又丁壬戊丁甲乙两直角形同用丁角亦相似是丁壬与壬戊若丁甲与甲乙更之丁壬与丁甲若壬戊与甲乙夫壬戊甲乙乃壬己庚甲两全内所取之分也【五卷十一】则所余戊己与乙庚若壬己与甲庚亦若丁壬与丁甲矣
三率法丁壬一百分为首率戊己四十分为次率甲丁六步为三率算得二步又十分之四为乙庚
二解交立边于午于子
论曰午丁辛丁庚甲两直角
形
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