【外】即一邉上之垂线次以形周乘四率得数半之为形之积五邉形之周为六十乘得五四六又九之四为五邉形之并积
多邉有法形之比例 多边有法形之具三曰邉曰周曰积形大小不等其比例等故有一形某具之比例可得他形某具之比例
每形之边为一【一虚数也丈尺寸分唯所设之】
三边形之周三积为三十之十三
四邉形之周四积为一
五边之周五积为一又一一七七五七○六之八四六九七一九约为十一之八不尽
六邉形之周六积为二又五百万之二九九○三八一约为五之三不足
七邉形之周七积为三又八六七七六七四之五五○七二二一约为八之一而盈
八邉形之周八积为四又一九一三四一七之一五八五一二七约为十九之十六不足
九邉形之周九积为六又六八四○四○二之一二四三七五五约为十七之三不尽
十边形之周十积为七又一二三六○六八之八五八○八九约为三之二不足
用法设他形之边求积以其边数自之以上所列同类形之积数乘之若设他形之积求边则上所列同类形之积数除之所得之根设形之边也
旧法三角形每面十四以六乘面得八十四以七而一得十二为实半面七为法乘之得八四积也试用前法
分元形作两句股形各形有有句以
求股而求积得八四又三十之二十八
几为八五非八四
论曰所以然者古法正六面七谓丙乙十四则丙甲十二故七六相乘得四十二为丙乙丁之实八十四矣不
知丙乙十四乙甲七各自之相减开方
乃十二有竒非十二也且七除又七乘
安用之
旧法六角形每面十五以面数自之得二二五以三乘之得六七五今用几何四卷十五之系六邉等形内有
三角等边形六用古法得各形之积为
九十六又七之六六因之得五九一又
七之一非六七五
论曰所以然者十五自之为二二五彼以为此乙丙邉乘得乙丙丁戊形之实也不知二二五者乙丙上正方形之实此乙丙丁戊则斜方斜方与正方同邉而异积也斜方之积必少于正方之积故实少而误以为多古法八角田每面十四以面五乘得七十七而一得十倍之得二十求一面得三十四自之得一一五六为实面数自之得一九六为法减之余九六○八角形积也
正法作图每两邉引长之遇于甲成正
方形其内有元八邉形又有甲乙丙四
句股形以丙乙元形邉十四为求丙
甲而句股等法以十四自之得一九
六半之得九八开方为九又十九之十
七甲乙也甲乙甲丁等合之加于乙丁
元形之邉得三十二又十九之十七为甲甲正方之邉自之得一一四又三六一之二二五正方之积也次求句股四形之积得一九六弱以减正方积余九四四有竒元八角形之积也古法曰九六○谬矣
论曰所以然者古法方五斜七不知方五则斜七有竒不发之根也彼以甲乙等各句各股俱为十则乙丙邉与乙丙俱十四不知各率皆是而独乙丙非十四也故八角形之积实少而误以为多
新法算书卷九十
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>
钦定四库全书
新法筭书卷九十一明 徐光启等 撰测量全义卷五
圆靣求积
凡圆面积与其半经线偕半周线作矩内直角形之积等依此法则量圆形者以半径乘半周而已古髙士亚竒黙徳作圜书内三题洞烛圎形之理今表而出之为元本焉第一题
圆形之半径偕其周作句股形其容与圆形之积等解曰丙丁戊己圆形其心乙其半径乙丙即以为股形之周为句成午申酉句股形题言两形之容等
论曰设有言不等必云或大或小云圆形为大句股形小者索其较为亥形即于圏内作丙丁己戊正方形又作丙庚丁辛戊壬己癸八角直线形从心至八角形之各边作甲乙等中垂线试于圆形内减其大半所余又减其大半末所余以比较形亥必能为小矣【十卷首题】如先减丁丙己戊方形次减丙癸己等三角形八末余丙庚丙癸等二角杂形八必小于亥形也次作午未戌三边形与丙庚丁八角
形等必小于午申酉三边形何者
未午乙甲也小于圏半径乙庚先
设午申酉三边形及亥较形始与
圏等今午未戌三边形及八两角
杂形适与圏等夫午申酉三角形
大于午未戌三角形亥形又大于
八两角杂形是合两大形【即午申酉及亥
较形】与圏等者复谓合两小形【即午未戌
及八两角杂形】与圏等有是理乎
次论曰若言圏形为小句股形大
者索其较为亥形即于圏外作子
寅丑己正方形又作卯辰八角形
夫寅己方形大于午申酉三角形
者方形之周线大于圎形之周线
也内减其大半【即元圈】又减其大半
【即卯辰子等四三角形也】末余丙卯庚庚辰丁
等三角杂形八必小于较形亥又
作午申亢三角形与丙卯辰八角
形等兹形为圏之外切必大于元圏而午亢为外形之周必大于午酉内圏之周先设圏及亥形与午申酉三角形等今并圏及三角襍形八【即丙卯庚等八杂形也】反大于午申酉三角形是圜偕八杂小形而为大者又偕亥大形而为小可乎
第二题
凡圏周三倍圏径有竒【二支】
此有二法其一云三倍又七十之十则朒其二云三倍又七十一之十则盈先解其一曰甲乙戊丁圏戊为心甲戊乙戊为两径辏心作直角从甲作午子切线从乙从丁作乙己丁壬线与乙戊等乙戊己角六十度己戊甲角必三十度为六边形之半角也末从心过己过壬作戊午戊子线成戊午子等角形己戊壬既六十度则午子为等形之边设甲午股一百五十三【任设此数以便推算】午子或午戊必三百○六各自之股方得二万三千四百○九方得九万三千六百三十六相减余七万○二百二十七为句方开得二百六十五有竒为戊甲句半径也则戊甲与甲午之比例为二六五有竒与一五
三次平分午戊甲角作戊庚
线任分午甲于庚则午戊与
戊甲若午庚与甲庚【六卷三题】合
之戊午偕戊甲而与戊甲若
午庚偕甲庚而与甲庚更之戊午并戊甲而与午甲【即午庚偕甲庚】若戊甲与甲庚先定戊午戊甲并得五七一有竒午甲为一五三则戊午并戊甲与甲午之比例若五七一与一五三若设甲庚一五三则戊甲与甲庚之比例为五七一与一五三矣即以两数自之并而开方得五
九一又八之一不尽为庚戊
线【戊甲甲庚之】则庚戊与甲庚之
比例若五九一又八之一不
尽与一五三次平分庚戊甲
角作戊辛线则戊庚并戊甲一一六二又八之一与庚甲一五三若戊甲与甲辛若设甲辛一五三则戊甲为一 一六二又八之一有竒两数各自之并而开方得二七二又八之一为辛戊线【甲戊甲辛之】则辛戊与辛甲之比例若二七二又八之一与一五三次平分辛戊甲角作戊寅线则辛戊并戊甲二三三四又四之一与辛甲一五三若戊甲与甲寅若设甲寅为一五三则戊甲为二三三四又四之一有竒两数各自之并而开方得二三三九又四之一有竒为寅戊线【戊甲甲寅之】则寅戊与寅甲之比例若二三三九又四之一有竒与一五三次平分寅戊甲角作未戊线则寅戊并戊甲四六七三半有竒与寅甲一五三若戊甲与甲未若设甲未为一五三则戊甲为四六七三半有竒
论曰午戊子元角为三等角形之一即一直角三之二
午戊甲其半则三之一庚戊
甲其半则六之一辛戊甲其
半则十二之一寅戊甲其半
则二十四之一未戊甲其半
则四十八之一复作甲戊申角与甲戊未角等成未戊申角形其戊角为直角二十四之一而未申为象限二十四之一于全周为九十六之一未甲申其切线也为九十六边形之一边此边与圈全径之比例若戊甲四六七三半与甲未一五三末置九十六边形之一边为一五三因周为一四六八八径为四六七三半有竒则九十六边圈外形之周与圏径之比例为一四六八八与四六七三半约之为三又七之一不足则径为一九十六边圏外周为三又七之一不足夫形在周之外尚不及三又七之一况圏周乎
二解三倍又七十一之十而盈者曰圏内作乙丙径从丙作六边形之一边丙甲与半径戊丙等【四卷十五】从乙作乙甲成乙甲丙形在半圏之内则甲为直角【三卷三十一题】设甲丙句七百八十○乙丙一千五百六十○两数自
之相减开方得一千三百五十
一不足为乙甲股则乙甲与甲
丙之比例为一三五一与七八
○次平分甲乙丙角作乙丁线
又作丁丙线成乙丁丙丙丁己
两直角形相似盖同用丁直角
在半圏内甲丁丁丙两所乘之
等则丁丙己丁乙丙两之
角必等【三卷二十一】夫两形有两角
等者各腰俱相似则乙丁【大形之股】与丁丙【大形之句】若丁丙【小形之股】与丁己【小形之句】又乙丙【大形之】与丁丙【大形之句】若己丙【小形之】与丁己【小形之句】更之乙丙与己丙【两】若丁丙与丁己【两句】是乙丁与丁丙【两股】丁丙与丁己【两句】乙丙与己丙【两】三比例皆等又乙丙与己丙【两】若乙丙并乙甲【两腰】与甲丙底之两分【见前解】则乙丁与丁丙亦若乙丙并乙甲与甲丙先定乙甲一三五一弱乙丙一五六○是乙甲乙丙并为二九一一弱甲丙先设七八○则乙丁与丁丙亦为二九一一弱与七八○各自之并而开方得三○一二又
四之一弱为乙丙【乙丁丁丙之】则乙
丙与丁丙之比例为三○一三
又四之一弱与七八○次平分
丁乙丙角作辛乙线因前比例
论得乙辛与辛丙比例之数盖
丁乙并乙丙与丙丁若乙辛与
辛丙先定乙丙三○一三又四
之一乙丁二九一一弱并为五
九二四又四之一弱今丙丁为
七八○则乙辛与辛丙为五九二四又四之一弱与七八○欲省数改设辛丙二四○依三率法辛丙七八○乙辛为五九二四有竒今辛丙二四○即乙辛为一八二三弱两数自之并而开方得一八三八又十一之九弱为乙丙线【乙辛辛丙之】则二四○与一八三八又十一之九为丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬壬丙两线辛乙乙丙两数并为三六六一又十一之九弱与辛丙二四○为乙壬与壬丙之比例又改设壬丙六六依三率法乙壬为一○○七弱两数自之并而开方得
一○○九弱则六六与一○○
九为壬丙与乙丙两线之比例
末平分壬乙丙角作乙庚庚丙
两线乙庚与庚丙若壬乙并乙
丙二○一六又六之一与丙壬
六六两数自之开方得二○一
七又四之一弱为乙丙【乙庚庚丙之】则庚丙与乙丙两线之比例为
六六与二○一七又四之一弱
论曰丙甲为全圏六之一丙丁十二之一丙辛二十四之一丙壬四十八之一丙庚九十六之一是丙庚为九十六边内切圏形之一边也以九六乗六六得六三三六为九六边内切形之周乙丙径为二○一七又四之一弱两数约之一得三又七一之十强形之周也一得一圏之径也夫圜周在多边形之外即大则谓三倍径又七十一之十不又盈乎
第三题
圜容积与径上方形之比例
解曰一为十一与十四而朒一为二
百二十三与二百八十四而盈先解
朒者乙戊辛圈甲丙戊方引长甲丙
边为甲丁其大于甲丙为三倍又七
之一则与周等为句甲乙边圈之半
径也为股成甲乙丁角形其积与圈
积畧等【不甚差故】又乙甲丙直角形因丙
甲与甲丁若七与二十二则甲乙丙
与甲乙丁两形之积亦若七与二十
二【六卷一题】甲乙丁与圏等则甲乙丙形与圈积亦若七与二十二夫甲乙丙为方形四之一四之得二十八即两形积之比例为二十八与二十二约之为十四与十一也次解盈者甲丙设七十一甲丁二百二十三与圏周等则甲乙丙与甲乙丁两形之积为七一与二二三四倍七一得二八四全方之积与甲乙丙形之比例为二二三与二八四
一题之系 半径全周成三边形与圏积等依句股法半径偕半周矩内方形与圏积等若全径偕全周矩内方形则四倍圏积几何【六卷二题】曰相似形之比例为两相似边再加之比例故边倍则实四之二题之一系 设圏径求周求容 凡设径求周用盈法七为一率二十二为二率所设径为三率得四率为所求周 用朒法为七十一与二二三若径与周古士论圏大小大都准此二论反之以周
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