明这个公式，刘徽从圆内接正六边形S6（称为六觚）开始割圆，依次得圆内接正十二边形S12，圆内接正二十四边形S24，……S6。2的n次方……所有S6。2的n次方 然后他证明 而 。于是刘徽就把圆化为与之合体的内接正多边形来求面积，再把这个正多边形分割成以每边为底以圆心为顶点的无穷多个小三角形之和，所谓"觚而裁之，每辄自倍。 故以半周乘半径而为圆幂"。从明证明了S＝l/2。r。刘批评了以往"圆径一而周三"的错误，指出此公式中周径是"至然之数"，即圆周率π。他以此公式为基础，求出了π的两个近似值157/20和3927/1250，在中国首次创立了求圆周率的科学方法，奠定了我国圆周率研究在世界长期领先的基础。 刘徽注关于体积问题的论述已经接触到现代体积理论的核心问题，指出四面体体积的解决是多面体体积理论的关键，而用有限分割和棋验法无法解决其体积。为了解决这个问题，他提出了一个重要原理"邪解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。 阳马居二，鳖臑居一，不易之率也"，今称为刘徽原理。刘徽平分壍堵的长、宽、高，通过出入相补，可以证明在壍堵的3/4中上述原理成立；而剩余的1/4与原壍堵的结构相同，可以重复上述分割，又可以证明其3/4中这个原理成立。这个过程可以无限继续下去，"半之弥少，其余弥细。至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉？"完成了该原理的证明。由壍堵的体积公式v＝1/2abh，便证明《九章算术》提出的阳马体积公式v＝1/3abh，鳖臑的体积公式v＝1/6abh。近代数学大师高斯、希尔伯特才讨论这个问题，已是近100多年以来的事。 刘徽注多方面表述了今天称之为祖暅之原理的命题，并由此证明了《九章算术》中球体积公式的错误。他设计了牟合方盖，指出球与牟合方盖的体积之比是π∶4，只要求出后者的体积就可以求出球体积了。他尽管没能求出牟合方盖的体积，但诚恳地表示"以俟能言者"，表现出一位伟大学者的坦荡胸怀。这个问题后来由祖冲之父子彻底解决，李淳风注释《九章算术》时详细记述了祖氏的方法。 刘徽注中还有不少有价值的成就。如对开方不尽，提出继续开方，求其"微数"，以十进分数逼近无理根，开十进小数之先河；他还认识到不定方程有无穷多组解，等等。刘徽注形成了一套数学体系，他说"事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已。"把数学看作一株枝条虽然分开但本干相同的大树。他认为数学是"规矩"与"度量"亦即空间形式与数量关系的统一。基于这些深刻的认识，他的证明除个别失误外，都论点明确，论据充分，条理清晰，推理严谨；而且大都使用演绎推理，没有循环论证。是严格的数学证明。有了刘徽的证明。《九章算术》的公式解法，才建立在真实可靠的基础上。 《九章算术》及其刘徽注，以杰出的数学成就，独特的数学体系。不仅对东方数学，而且对整个世界数学的发展产生了深远的影响，在科学史上占有极为重要的地位。它的出现，标志着从公元前1世纪开始，中国取代古希腊成为世界数学的中心，为此后中国数学领先世界1500多年奠定了基础。今天，随着计算机的出现和发展，它所蕴含的算法和程序化思想，仍给数学家以启迪。吴文俊先生指出"《九章》所蕴含的思想影响，必将日益显著，在下一世纪中凌驾于《原本》思想体系之上，不仅不无可能，甚至说是殆成定局，本人认为也绝非过甚妄测之辞。"
【打 印】
【来源：读书之家-dushuzhijia.com】
