在位用九归一遍进位定作十寸即横黍一百分而为度母古谓度本起于黄钟之长是也谓加一寸非也
大吕纵黍律长八寸三分七厘六毫
大吕纵黍度长九寸三分六厘四毫四丝二忽
置八寸三分七厘六毫在位先从末位毫上筭起用九归一遍得六毫六丝六忽奇却从次位厘上筭起再九归一遍得八厘五毫一丝八忽奇又从次位分上筭起再九归一遍得四分二厘七毫九丝八忽奇又从首位寸上筭起再九归一遍得九寸三分六厘四毫四丝二忽奇余律皆放此
太蔟纵黍律长八寸
太蔟横黍度长八寸八分八厘八毫八丝八忽
夹钟纵黍律长七寸四分三厘三毫三丝
夹钟横黍度长八寸三分二厘三毫九丝三忽
姑洗纵黍律长七寸一分
姑洗横黍度长七寸九分○一毫二丝三忽
仲吕纵黍律长六寸五分八厘三毫四丝六忽
仲吕横黍度长七寸三分九厘九毫○五忽
防賔纵黍律长六寸二分八厘
防賔横黍度长七寸○二厘三毫三丝一忽
林钟纵黍律长六寸
林钟横黍度长六寸六分六厘六毫六丝六忽
夷则纵黍律长五寸五分五厘一毫
夷则横黍度长六寸二分四厘二毫九丝五忽
南吕纵黍律长五寸三分
南吕横黍度长五寸九分二厘五毫九丝二忽
无射纵黍律长四寸八分八厘四毫八丝
无射横黍度长五寸五分四厘九毫二丝八忽
应钟纵黍律长四寸六分六厘
应钟横黍律长五寸二分六厘七毫四丝八忽
此章横黍之度即史记生钟分术也还原则依后术九因筭之不满忽者收作一忽即是原数其纵黍之律与蔡氏律吕新书所载全律分寸正同但古法置一而九三之以为法十一三之以为实得十七万七千一百四十七而黄钟大数立焉然后下生者倍其实三其法上生者四其实三其法实如法而一以生十二律其布筭烦琐不如新法简防易晓所谓殊途而同归也古法世多知之兹不具述其生钟分筭法已见二卷
密率律度相求第三
朱熹曰琴之有徽所以分五声之位而配以当位之律以待抑按而取声而其布徽之法则当随其声数之多少律管之长短而三分损益上下相生以定其位今人殊不知此其布徽也但以四折取中为法盖亦下俚立成之小数虽于声律之应若简切而易知但于自然之法象懵不知其所自来则恐不免有未尽耳臣尝宗朱熹之説依古三分损益之法以求琴之律位见律位与琴音不相协而疑之昼夜思索穷究此理一旦豁然有悟始知古四种律皆近似之音耳此乃二千年间言律学者之所未觉惟琴家安徽其法四折去一三折去一俗工口传莫知从来疑必古人遗法如此特未记载于文字耳礼失求诸野不可以其下俚而忽之也传曰今五音之无不应者其分审也宫征商羽角各处其处音皆调均不可以相违此所以不乱也夫音生于数者也数眞则音无不合矣若音或有不合是数之未眞也逹音数之理者变而通之不可执于一也是故不用三分损益之法创立新法置一尺为实以密率除之凡十二遍所求律吕眞数比古四种术尤简防而精密数与琴音互相校正最为防合惟博学明礼之儒知音善筭之士详味此术必有取焉者矣岂庸俗所能识哉
黄钟横黍度长十寸
黄钟纵黍律长九寸
十寸者一尺也史记所谓子一分汉志所谓象黄钟之一是也置十寸在位用九因一遍退位定作九寸即纵黍八十一分也是为律本古云黄钟九寸因而九之九九八十一故黄钟之数立焉此之谓也夫三分损益之法既非则九分为寸之説亦误今复着其术者何也为求纵黍之律故也虽然只用横黍之度亦足矣是故先之
大吕横黍度长九寸四分三厘八毫七丝四忽
大吕纵黍律长八寸四分四厘○六丝七忽
置九寸四分三厘八毫七丝四忽为实初九因至寸位住得八寸又九因至分位住得四分又九因至厘位住得四厘又九因至毫位住得○毫又九因至丝位住得六丝又九因至忽位住得七忽凡九因六遍共得八寸四分四厘○六丝七忽为大吕余律皆放此
太蔟横黍度长八寸九分○八毫九丝八忽
太蔟纵黍律长八寸○一厘四毫一丝六忽
夹钟横黍度长八寸四分○八毫九丝六忽
夹钟纵黍律长七寸五分一厘○一丝○
姑洗横黍度长七寸九分三厘七毫○○
姑洗纵黍律长七寸二分二厘五毫四丝二忽
仲吕横黍度长七寸四分九厘一毫五丝三忽
仲吕纵黍律长六寸六分六厘一毫一丝六忽
防賔横黍度长七寸○七厘一毫○六忽
防賔纵黍律长六寸三分二厘四毫二丝八忽
林钟横黍度长六寸六分七厘四毫一丝九忽
林钟纵黍律长六寸○○四毫八丝四忽
夷则横黍度长六寸二分九厘九毫六丝
夷则纵黍律长五寸六分○二毫一丝四忽
南吕横黍度长五寸九分四厘六毫○三忽
南吕纵黍律长五寸三分一厘四毫一丝六忽
无射横黍度长五寸六分一厘二毫三丝一忽
无射纵黍律长五寸○四厘一毫二丝一忽
应钟横黍度长五寸二分九厘七毫三丝一忽
应钟纵黍律长四寸六分八厘一毫五丝一忽
右縦黍十二律若要还原依前术用九归即得横黍度数
密率求方积第四
自乗为平方再乗为立方此筭家所共晓殊不知筭律亦然也平方谓之羃立方谓之积夫羃之名本疏布手巾也古人用覆饮食之器今世所谓举羃酌酒是也羃形方正纵横有纹筭术自乗其数必方纵横正等有类乎羃故取名谓之羃非眞羃也夫积者如筭仓窖中五谷积实耳借立方术以求之者立方所得即是积实之数故也凡筭脩短度数则以十忽为丝十丝为毫十毫为厘十厘为分十分为寸十寸为尺十尺为丈平方之术与此不同乃以百忽为丝百丝为毫百毫为厘百厘为分百分为寸百寸为尺百尺为丈盖平方者形如方砖东西南北四面皆方假如每面皆方十寸则中积百寸矣是为方一尺也故曰百寸为尺立方之术则又不然乃以千忽为丝千丝为毫千毫为厘千厘为分千分为寸千寸为尺千尺为丈盖立方者形如方台上下左右前后六面皆方假如毎面皆方十尺则中积千尺矣是为方一丈也故曰千尺为丈平圆立圆其积生于平方立方之术方术未解而欲测圆难矣律孔本圆今欲求圆先求方者数乃无形之物方分实诸圆器之中则无不随其圆若作圆分则有空隙而不实矣自宋范镇创以圆分为积此乃臆説非正理也圆分之法在理必无而纵黍之法于理则有假如横黍平方每寸百分纵黍则毎寸惟八十一分横黍立方每寸千分纵黍则每寸惟七百二十九分葢以九为法也求之亦各有术然约十而为九布筭烦无益于事故自此至终篇专以横黍言之不复更求纵黍先儒亦云凡律径围之分以十为法者天地之全数也以九为法者不过因三分损益而立耳则圆分之説不能通于围径亦可见矣
求十二律积实新法
置黄钟横黍度长十寸自乘得一百寸倍之得二百寸为实开平方法除之得一十四寸一四二一三五六二三七三○九五○四进一位命作立方积一百四十一寸四百二十一分三百五十六厘二百三十七毫三百○九丝五百○四忽为实别将律数十二自乗得一百四十四为法除之得黄钟积实
黄钟积实九百八十二分○九十二厘七百五十一毫六百四十七丝九百八十二忽
置黄钟积实在位以十兆乘之为实以十一兆二千二百四十六万二千○四十八亿三千○九十三万七千二百九十八为法除之得大吕积实余律皆放此
大吕积实八百七十四分九百四十五厘一百七十三毫五百三十八丝一百○六忽
太蔟积实七百七十九分四百八十七厘五百三十三毫五百四十八丝一百七十五忽
夹钟积实六百九十四分四百四十四厘四百四十四毫四百四十四丝四百四十四忽
姑洗积实六百一十八分六百七十九厘六百六十五毫三百七十五丝二百三十五忽
仲吕积实五百五十一分一百八十厘○九百二十毫○八百二十二丝二百九十一忽
防賔积实四百九十一分○四十六厘三百七十五毫八百二十三丝九百九十一忽
林钟积实四百三十七分四百七十二厘五百八十六毫七百六十九丝○五十三忽
夷则积实三百八十九分七百四十三厘七百六十六毫七百七十四丝○八十七忽
南吕积实三百四十七分二百二十二厘二百二十二毫二百二十二丝二百二十二忽
无射积实三百○九分三百三十九厘八百三十二毫六百八十七丝六百一十七忽
应钟积实二百七十五分五百九十厘○四百六十毫○四百一十一丝一百四十五忽
密率求圆羃第五
方者象地圆者法天方圆相求自然眞率其数出于河图雒书而非人所为也河以通干其数十雒以流坤其数九乾坤交泰互藏其宅故九为地而十为天天包地外地居天内天有四方毎方十寸其周为四尺则圆之周率也地有四方毎方九寸其为一尺二寸七分二厘七毫九丝二忽二微有奇则圆之径率也周公嘉量之制测圆之术葢已具焉所谓方尺而圆其外得一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五防六纤有奇是名方圆纵率其测圆周径相求与半九为乘除积径相求与倍九为乘除半九者四寸五分也倍九者一尺八寸也黄钟倍半自然之理律度量衡所由生也因而九之即得前率九归还元复得今率此二法相通也推理而论圆中必容方焉方无形圆有形其方居圆十分之九是故测圆之术必先求其容方而后知其周径径求周用求勾股之术得其一面之方四因其方而九除之即圆周也周求径九因其圆而四除之用勾股求之术得其两角之斜即圆径也此古法之妙欤战国已来数学失传至汉张苍掇拾民间猥浅之法用补黄帝九章后世宗之以为数学根本张丘建夏侯阳孙子五曹复推演之其测方圆乃有直五斜七围三径一之説筭家指此名为古率然实非古法也夫直五斜七斜实有余围三径一径实不足浅陋之士岂能察哉刘歆王蕃祖冲之辈盖尝订正之矣其测圆或以为径七周二十二或以为径四十五周一百四十二或以为径一百一十三周三百五十五虽颇密于径一围三要之皆未得自然之理也祖氏制率初意盖谓圆积一亿分则其径一百一十三尺乃一万一千三百分周三百五十五尺乃三万五千五百分试以其法筭之半径半周相乘得积一亿而强二十八万七千五百分盖周径之分太多也号为密率密安在哉天地自然真率及周公方圆总率筭律之士诚不可忽今详解之其法如左
天地自然真率诀曰
容方九寸 以象雒书 天地自然 岂不妙欤试騐之法用纸大小二幅其方中矩用意比对四面相同小者每面皆方九寸大者皆方一尺三寸置于平处小者在大者上中心定针于小者四角外运规仅容四角丝毫不可多也片纸作寸移量圆周针尖防识恰好四十整寸欲求圆之径数即是方之斜勾股求术横方九寸为勾自乘得八十一寸纵方九寸为股自乘得八十一寸并之得一百六十二寸为实开平方法除之得一尺二寸七分二厘七毫九丝二忽二防有奇即圆周四尺之径数也是故以四尺为周率以一尺二寸七分二厘七毫九丝二忽二防有奇为径率凡平圆以周求径置周若干为实先以径率乘之后以周率除之以径求周置径若干为实先自相乘又以十寸乘之得数后以径率除之以积求径置积若干为实先以径率乘毕而以十寸除之得数然得开方以周求积置周若干先自相乘进一位为实以径率乘毕后以周率除二遍以积求周置积若干为实先以周率乘二遍以径率除毕退一位然后开方诀曰圆周四十容方九勾股求数可知遂以此为求径率求周求积亦如之也
周公方圆总率诀曰
容方十寸 取法河图 圣人制作 不亦善乎试騐之法同上其纸小者方一尺大者方一尺四寸五分圆周四尺四寸五分四厘四毫四丝四忽四防四纤九分纤之四其内容方一尺勾股皆十寸各自乘并之得二百寸为实开平方法除之得一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五防六纤亿分纤之二千三百七十三万○九百五十有奇是为方圆总率凡测圆径求周者以总率乘径进一位如四十五而一周求径者以四十五乘周退一位如总率而一周径求积者如前求得周径半周半径相乘或径自乘以总率乘之如十八而一积求周径者以十八乘积如总率而一开方得径四归径为法除积得周夫四十五乃九寸折半之数十八乃黄钟加倍之律而与方圆总率反复乘除故能尽幽防之理趣极古今之妙者矣已上诸条乃防法也律吕精义所载乃正法也
求十二律面羃新法
置黄钟积实九百八十二分○九十二厘七百五十一毫六百四十七丝九百八十二忽为实以林钟横黍度长一百分为法除之得黄钟面羃
黄钟面羃九分八十二厘○九毫二十七丝五十一忽置黄钟面羃在位以十亿乗之为实以十亿○五千九百四
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