商数四其管长
九寸宫数五其
管长十寸除十
寸外余举成数
白防二十五黒防三十白黑共五十五防一者数之始十者数之终自一至十隂阳未分象太极也白防一三五七九此五位阳数也阳数自一至九而无十见其始而不见其终故曰精气为物黑防二四六八十此五位隂数也隂数自二至十而无一见其终而不见其始故曰游魂为变成变化行鬼神此之谓也洪范五行其序则先水而后土乐记五声其序则先宫而后羽数之少者于声为清数之多者于声为浊先后虽异其序同也一二三四五为生数六七八九十为成数少者为生多者为成此自然之理也生数之一成数之六合而为水其位在北方属羽故黄钟之羽其律长六寸生数之二成数之七合而为火其位在南方属征故黄钟变征其律长七寸生数之三成数之八合而为木其位在东方属角故黄钟之角其律长八寸生数之四成数之九合而为金其位在西方属商故黄钟之商其律长九寸生数之五成数之十合而为土其位在中央属宫故黄钟之宫其律长十寸五位相得而各有合此之谓也数之九与十天地之极致也黍之縦与横隂阳之至理也故黄钟之长以纵黍较之则为八十一分九九相乗之数也以横黍较之则为百分十十相乗之数也先儒未逹乃谓黄钟长九十分纵黍累尺则管太长横黍累尺则管太短岂能容黍千二百哉歴代造律不成盖由此也是乃律家开卷第一义不可不辨也淮南子曰规始于一一而不生故分而为隂阳隂阳合和而万物生故曰一生二二生三三生万物以三参物三三如九故黄钟之律九寸而宫音调因而九之九九八十一故黄钟之数立焉黄钟为宫宫者音之君也故黄钟位子其数八十一【纵黍尺黄钟长九寸其法本此】
隋书律志载祖
冲之所撰约率
圆径七圆周二
十二又撰密率
圆径一百一十
三圆周三百五
十五今按二皆
约率非密率也
冲之密率周径
相乗四归得积
一万而有余零
则知非真数也
今据周髀圆出
于方方出于九
九八十一求得
真数故著论焉
九者形圆
圆者象天
圆为周也
方为径焉
十者形方
方者象地
圆方求之
周径得矣
外圆象天
内方象地
方圆四九
三十六位
圆周四尺
容方九寸
股相求
是为定论
论曰甞观诸家筭术最疎谬者莫如圆田之属盖彼尊信围三径一之説而执守之不肯运一规于壁间以尺量之较其是否儒者之学以格物穷理为先务数居六艺之一规矩方圆之至此最易察者而尚莫能辨何况理之奥者乎无待运规不拘何等圆器但周径分明者皆可较耳用纸一条围器一周均作三折以较其径显然不相合矣是知围三径一之説姑举大槩而言非密率也古有周髀筭经首载周公与商髙相问荅此理甚明后人续以围三径一之术盖传讹也商髙所谓圆出于方方出于矩矩出于九九八十一又曰环矩以为圆合矩以为方方属地圆属天天圆地方方数为典以方出圆今详其意谓画方形若棋盘纹毎行九寸九行共有八十一寸却于四隅之外运规为圆与四隅适相投较量四面方外余圆各长一尺则其一周共有四尺是谓出于矩耳矩即今之曲尺是也规即今之料杖是也孟子曰不以规矩不能成方圆此之谓也昔有刘歆张衡王蕃刘徽祖冲之辈皆觉围三径一之非亦尝更定新率竟不能得其真惟元儒李冶善筭乃得其秘传而叹服之着于测圆海镜序中千载已来得此理者盖亦鲜矣呜呼今之学者小九九尚不熟何足以语其圆率之疎密也哉即有通筭术者亦以为丈量田地不过得其大略摠差一二歩何妨也殊不知圣人设此术岂専为圆田耶大而璇玑玉衡小而黄钟玉琯凡为圆器必求周径岂容一秒一忽而有错误宁于求圆之谬而竟不之察乎孟子曰规矩方圆之至也又曰不以规矩不能成方圆今编此书虽采古人成説而独详于求圆一事盖欲微显阐幽补其阙略而已详见律吕精义内篇
解曰按商髙古法谓圆出于方方出于矩者何也盖圆周之内必有容方之理其方之形虽不可见而其数却易推惟圆周虽可见而其数却难测是故测圆之术先求方之斜即知圆之周径当用求句股之法圆田径一百步其内所容方之斜亦与圆之径同皆一百步自乗得一万步名为羃羃即四方手巾可以覆罇所谓举羃酌酒是也筭家有相乗有自乗二种颇不同盖自乗之数其形必方故取名谓之羃以别之耳非真用手巾也凡羃中兼有句股二羃之数减去句羃余为股羃今羃一万步盖有句羃五千步股羃五千步在其中矣然正方者句股相同故云折半止存一羃作句作股皆可今开方所得七十余步乃圆中所容方面故不谓之句股但谓之方面也假令东边一面之方是九则其东边一段之圆是十若方周三十六则圆必是四十故用此为求圆之率四因即圆周也今圆径一百步不知其周但推得其内所容之方面七十步空七一空六七八以九为法归之得其东面一段之圆七十八步五六七四二欲知南西北三段则用四因而一全周之数得矣是故四十分之九者天地自然之数圆方相求之率也若周求径者亦同此率但应乗者除之应除者乗之耳句股三者亦须反求之径求周者先自乗折半开方所得而后用求圆之率乃求句也周求径者先用求圆之率所得而后自乗倍之开方乃句求也既
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